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一次同余方程

## 一次同余方程

前面已经提到, 剩余类可以看作特殊的 “数”, 剩余类环可以看作是定义了剩余类加法和剩余类乘法运算的“数集”. 类似于实数集情形, 我们也可以在剩余类环中解方程或方程组.

例如, 在模 6 的剩余类环中解方程 $[5][x]=[3]$, 这里, $[x]$ 是模 6 的剩余类环中的未知剩余类. 注意到在模 6 的剩余类环中, 有

$$
[5][x]=[3] \Leftrightarrow[5 x]=[3] \Leftrightarrow 6 \mid 5 x-3 \Leftrightarrow 5 x \equiv 3(\bmod 6),
$$

因此, 原方程可表示成下面含未知数的同余式:

$$
5 x \equiv 3(\bmod 6) .
$$

通常, 我们把含有未知数的同余式叫做**同余方程**. 方程 $5 x \equiv 3(\bmod 6)$ 是一类形式最简单的同余方程, 叫做**一次同余方程**. 一次同余方程的一般形式为

$$
a x \equiv b(\bmod n),
$$

其中 $n$ 为正整数, $a, b$ 为整数, 且 $a$ 不等于零.
若存在整数 $c$, 使得同余式 $a c \equiv b(\bmod n)$ 成立, 则把 $x \equiv c(\bmod n)$ 叫做一次同余方程 $a x \equiv b(\bmod n)$ 的解. 例如, $x \equiv 3(\bmod 6)$ 是 $5 x \equiv 3(\bmod 6)$ 的解.

如果 $x \equiv d(\bmod n)$ 也是同余方程 (1) 的解, 且 $c \equiv d(\bmod n)$, 那么我们将这两个解视作一样的. 实际上, 在这种意义下, 一次同余方程的解可理解为模 $n$ 的一个剩余类, 是一个集合, 而不是一个整数. 因此, 要判断一个模 $n$ 的剩余类是不是同余方程的解, 只需选取剩余类中的一个代表元, 看它是否使同余式成立即可.

由上面的分析可知, 解剩余类环中的方程总可以转化为解某个同余方程. 与我们熟悉的解一元一次方程、一元二次方程等过程类似, 对于一次同余方程, 我们关心下面几个问题:
(1) 一次同余方程 $a x \equiv b(\bmod n)$ 什么情况下有解?
(2) 有多少解?
(3) 有解时如何描述所有的解?
$1^{\circ}$ 先讨论特殊情形, 即当 $(a, n)=1$ 的情形.
我们知道, 当 $(a, n)=1$ 时, 存在整数 $k, l$, 使得 $a k+n l=1$, 于是 $n \mid n l=1-a k$,
即

$$
a k \equiv 1(\bmod n) .
$$

因此, $a x \equiv b(\bmod n) \Leftrightarrow a x \equiv(a k) b=a(k b)(\bmod n) \Leftrightarrow x \equiv k b(\bmod n)$.
因此, 同余方程 (1) 仅有一个解 $x \equiv k b(\bmod n)$.
$2^{\circ}$ 再讨论 $(a, n)=d>1$ 的情形.
若同余方程 (1) 有解, 不妨设 $x \equiv c(\bmod n)$ 为它的一个解, 则 $a c \equiv b(\bmod n)$, 从而 $n \mid a c-b$. 由于 $d|a, d| n$, 故 $d|a c, d| a c-b$, 从而 $d \mid a c-(a c-b)=b$. 这表明,同余方程(1)有解时, 必有 $d \mid b$.
那么, 当 $d \mid b$ 时, 同余方程(1) 是否一定有解呢?
记 $a=a^{\prime} d, n=n^{\prime} d, b=b^{\prime} d$, 则 $\left(a^{\prime}, n^{\prime}\right)=1$. 注意到,

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