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拉格朗日插值与孙子定理

## 拉格朗日插值法和孙子定理

约在 2000 多年以前, 我国古代数学著作 《孙子算经》中提出了著名的 “物不知其数” 问题: “今有物不知其数, 三三数之余二,五五数之余三, 七七数之余二, 问物几何.” 答曰: “二十三.”

我国历史上还有很多人研究过这类问题, 其名称也多种多样.后来, 人们将这类问题的解法进一步发展和推广, 并称之为孙子定理, 在国外文献和教科书中称为 “中国剩余定理”.

设物数为 $x$, 那么 “物不知其数” 问题相当于解如下形式的方程组:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x \equiv 2(\bmod 3), \\
x \equiv 3(\bmod 5), \\
x \equiv 2(\bmod 7) .
\end{array}\right. ...(※)
$$

这种方程组, 我们称为**同余方程组**.

如果存在正整数 $k$, 使得 ( $※$ ) 中每个同余式成立, 那么 $k$ 就是 “物不知其数” 问题的一个解.

容易检验, 当 $k$ 使得 (※)中每个同余式都成立时, 所有模 $3 \times 5 \times 7=105$ 同余于 $k$ 的整数,也使得 (※)中每个同余式成立. 反过来, 如果还有整数 $l$ 使得 (※)中每个同余式成立, 那么

$$
l \equiv k(\bmod 3), l \equiv k(\bmod 5), l \equiv k(\bmod 7),
$$

于是 $3|l-k, 5| l-k, 7 \mid l-k$. 这表明 $l-k$ 含有素因数 $3,5,7$, 从而 $3 \times 5 \times 7 \mid l-k$,即 $l \equiv k(\bmod 105)$.

通常, 我们把 $x \equiv k(\bmod 105)$ 叫做同余方程组 ( $※)$ 的解. 在这个意义下, 同余方程组 (※)仅有一个解.
为了解同余方程组 (※), 我们首先建立拉格朗日插值公式.

## 拉格朗日插值
问：能否求一个多项式$f(x)$ 使得$f(1)=1,f(-1)=3,f(2)=3$?

由二次函数的知识知, 在平面上一定存在一条抛物线通过 $(1,1),(-1,3),(2,3)$这三个点. 因此, 我们先假定 $f(x)=a x^2+b x+c$, 由题意, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
1=a+b+c, \\
3=a-b+c, \\
3=4 a+2 b+c .
\e

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