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数论入门
不定方程与同余
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更新:
2025-06-21 10:06
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不定方程与同余
## 不定方程与同余 对于某些较特殊的不定方程,可以利用同余知识来解决.这种方法的要点是根据所给方程的特点选取某个大于 1 的正整数为模来导出矛盾,否定不定方程有解.现举例说明. `例` 证明方程 $x^2+y^2-4 z^2=3$ 没有整数解. 证明:取 4 为模.因对任意整数 $x$ ,有 $x^2 \equiv 0,1(\bmod 4)$ ,故对任意整数 $x, y, z$ ,有方程左边 $\equiv 0,1,2(\bmod 4)$ , 但 方程右边 $\equiv 3(\bmod 4)$ , 所以方程无整数解。 `例`证明方程 $x^2+2 y^2=8 y+5$ 没有整数解. 证明:取 8 为模.因对任意整数 $x$ ,有 $x^2 \equiv 0,1,4(\bmod 8)$ ,故对任意整数 $x, y, z$ ,方程左边 $=0,1,2,3,4,6(\bmod 8)$ , 但 方程右边 $\equiv 5(\bmod 8)$ , 所以方程无整数解. `例`证明方程 $x^3+2=7 y$ 没有整数解. 证明:取 7 为㮠.因对任意整数 $x$ ,有 $x^3 \equiv 0, \pm 1(\bmod 7)$ .故对任意整数 $x, y, z$ ,方程左边 $\equiv 1,2,3(\bmod 7)$ , 但 方程右边 $\equiv 0(\bmod 7)$ 。 所以方程无整数解. `例` 证明 $x^3+y^3+z^3=9 w^3+4$ 没有整数解. 证明:取 9 为模.因对任意整数 $x$ ,有 $x^3 \equiv 0, \pm 1(\bmod 9)$ ,故对任意整数 $x, y$ ,三。 w.有 方程左边 $\neq 4 ~(\bmod 9) ~$ , 但 方程右边 $=4 ~(\bmod 9) ~$ , 所以方程无整数解。
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