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多元一次不定方程

## 多元一次不定方程

本节以三元和四元一次不定方程为例说明二元以上多元一次不定方程的解法.
三元一次不定方程的一般形式为

$$
a x+b y+c z=d ...(1)
$$

其中 $a, b, c$ 为非零整数, $d$ 为整数.
仿照讨论二元一次不定方程的方式, 首先看不定方程 (1) 有整数解时, $a, b, c, d$有什么特征. 设 $x=x_0, y=y_0, z=z_0$ 是不定方程 (1) 的整数解. 因为 $(a, b, c) \mid a$, $(a, b, c)|b,(a, b, c)| c$, 所以 $(a, b, c) \mid a x_0+b y_0+c z_0=d$.

$\text { 当 }(a, b, c) \mid d \text { 时，不定方程（1）是否一定有整数解呢？}$

我们记 $(a, b)=m$, 由于 $(m, c)=(a, b, c) \mid d$, 故二元一次不定方程

$$
m t+c z=d ...(2)
$$

有整数解, 不妨设 $t=t_0, z=z_0$. 考虑二元一次不定方程

$$
a x+b y=m t_0 ...(3)
$$

由于 $(a, b)=m \mid m t_0$, 所以不定方程 (3) 有整数解 $x=x_0, y=y_0$. 注意到 $a x_0+b y_0+$ $c z_0=m t_0+c z_0=d$, 所以 $x=x_0, y=y_0, z=z_0$ 是不定方程 (1) 的一组整数解.
综上所述, 我们得到不定方程 (1) 有整数解的一个判断准则.

> **不定方程 (1) 有整数解的充要条件为 $(a, b, c) \mid d$.**

从前面的分析可以看出, 当 $(a, b, c) \mid d$ 时, 要求不定方程 (1) 的全部整数解, 我们可以先求不定方程 (2) 的整数通解, 得到 $t$ 和 $z$ 的表达式. 然后用 $t$ 的表达式代替不定方程 (3) 中的 $t_0$, 求出它的整数通解, 得到 $x$ 和 $y$ 的表达式. 最后, 联合 $x, y$ 和 $z$ 的表达式就给出了不定方程 (1) 的全部整数解.
然而, 在实际解题时, 我们常常将三元的问题转化为二元问题, 即先分别解不定方程 $a x+b y=m t$ 与 $m t+c z=d$, 在解第一个不定方程时, 把 $t$ 视为给定的整数, 这样得到两个整数通解的表达式. 联立这两个表达式, 消去 $t$ 后便得到 $x, y$ 和 $z$ 的表达式即为所求.
看一个具体的例子.

`例`求不定方程 $5 x-8 y+3 z=2$ 的全部整数解.
解: 因为 $(5,-8)=1,(5,-8,3)=(1,3)=1 \mid 2$, 所以不定方程有整数解. 分别解不定方程 $5 x-8 y=t$ 与 $t+3 z=2$, 得到它们的整数通解为

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x = 5 t + 8 k , } \\
{ y = 3 t + 5 k ; }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
t=-1-3 l, \\
z=1+l,
\end{array}\right.\right.
$$

其中 $k, l$ 为任意整数. 联立上面的两个通解表示式, 消去 $t$, 便得到原不定方程的全部整数解

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=-5+8 k-15 l, \\
y=-3+5 k-9 l, \\
z=1+l,
\end{array}\right.
$$

其中 $k, l$ 为任意整数.

## 探究四元一次不定方程
探究四元一次不定方程

$$
a x+b y+c z+d w=e ...(4)
$$

其中 $a, b, c, d$ 为非零整数, $e$ 为整数, 有整数解的充要条件为 $(a, b, c, d) \mid e$.

下面介绍不定方程 (4) 的解法. 同样地, 我们可以将其化归为二元一次不定方程的情形.
记 $m=(a, b), n=(m, c)$. 作三个二元一次不定方程

$$
a x+b y=m u, m u+c z=n v \text { 与 } n v+d w=e .
$$

先求不定方程 $n v+d w=e$ 的整数通解, 得到 $v$ 和 $w$ 的表达式. 然后将 $v$ 代人不定方程 $m u+c z=n v$ 中, 求出整数通解, 得到 $u$ 和 $z$ 的表达式. 最后, 将 $u$ 代人不定方程 $a x+b y$ $=m u$ 中, 求出整数通解, 得到 $x$ 和 $y$ 的表达式. 那么, 联合 $x, y, z$ 和 $w$ 的表达式就给出了不定方程 (4) 的全部整数解.

在实际解题时, 我们常常先分别求不定方程 $a x+b y=m u, m u+c z=n v$ 与 $n v+d w=e$的整数通解, 在求每个不定方程时, 将等号右边的项视为整数常数, 这样得到三个整数通解的表达式. 联立这三个表达式, 消去 $u, v$ 后得到的 $x, y, z$ 和 $w$ 的表达式即为所求.

`例`求不定方程 $2 x+5 y+7 z+3 w=10$ 的全部整数解.
解: 因为 $(2,5)=1,(1,7)=1,(2,5,7,3)=(1,3)=1 \mid 10$, 所以不定方程存
在整数解. 作不定方程

$$
2 x+5 y=u, u+7 z=v, v+3 w=10,
$$

分别求得上面三个二元一次不定方程的整数通解为

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x = 3 u + 5 t _ { 1 } , } \\
{ y = - u - 2 t _ { 1 } ; }
\end{array} \quad \left\{\begin{array} { l } 
{ u = - 6 v + 7 t _ { 2 } , } \\
{ z = v - t _ { 2 } ; }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
v=1+3 t_3, \\
w=3-t_3,
\end{array}\right.\right.\right.
$$

其中 $t_1, t_2, t_3$ 为任意整数. 联合上述三个通解表达式, 消去 $u, v$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=-18-54 t_3+21 t_2+5 t_1, \\
y=6+18 t_3-7 t_2-2 t_1, \\
z=1+3 t_3-t_2, \\
w=3-t_3,
\end{array}\right.
$$

其中 $t_1, t_2, t_3$ 为任意整数. 这就是不定方程 $2 x+5 y+7 z+3 w=10$ 的全部整数解.

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