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初等数论
初等数论(高中版)
二元一次不定方程的特解
最后更新:
2023-11-09 19:06
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二元一次不定方程的特解
**二元一次不定方程的特解** 对某些较复杂的二元一次不定方程 $a x+b y=c$, 其中 $(a, b)=1$, 我们很难直接观察出它的一个特解. 这时候, 我们可以通过辗转相除法求它的一个特解. 其过程如下: 注意到, 当 $b=1$ 时, 我们容易观察出不定方程 $a x+b y=c$ 的一个特解 $x_0=1, y_0=c-a$. 下面假定 $b>1$, 并且对 $a, b$ 用辗转相除法得 $$ \begin{aligned} & a=b q_1+r_1, \\ & b=r_1 q_2+r_2, \\ & r_1=r_2 q_3+r_3, \\ & r_2=r_3 q_4+r_4, \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & r_{n-2}=r_{n-1} q_n+r_n \quad\left(r_n=1\right) . \end{aligned} $$ 我们规定, $k_0=0, k_1=1$, 然后由递推关系式 $k_i=k_{i-2}-q_i k_{i-1}(i=2, \cdots, n)$ 依次计算出 $k_2, \cdots, k_n$. 根据大衍求一术的算法原理知, $r_i \equiv a k_i(\bmod b)$, 于是 $b \mid r_i-a k_i$. 特别地, 当 $i=n$ 时, $b \mid 1-a k_n$. 我们选取 $$ \left\{\begin{array}{l} x_0=k_n c, \\ y_0=\frac{c\left(1-a k_n\right)}{b} . \end{array}\right. $$ 容易检验, $x=x_0, y=y_0$ 就是不定方程 $a x+b y=c$ 的一个特解. 例 3 求不定方程 $13 x+74 y=2$ 的一个特解. 解: 因为 $(13,74)=1$, 我们对 13,74 用轵转相除法, 得 $$ \begin{aligned} & 13=74 \times 0+13, \\ & 74=13 \times 5+9, \\ & 13=9 \times 1+4, \\ & 9=4 \times 2+1, \end{aligned} $$ 因此 $q_2=5, q_3=1, q_4=2$. 再由递推关系式依次计算得 $$ \begin{aligned} & k_2=(-5) \times 1+0=-5, \\ & k_3=(-1) \times(-5)+1=6, \\ & k_4=(-5)+(-2) \times 6=-17 . \end{aligned} $$ 因此 $$ \left\{\begin{array}{l} x=(-17) \times 2=-34, \\ y=\frac{2(1-13 \times(-17))}{74}=6 \end{array}\right. $$ 是不定方程 $13 x+74 y=2$ 的一个特解.
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