日期: 2023-11-09 19:06 查看: 152 次编辑

二元一次不定方程的特解

**二元一次不定方程的特解**
对某些较复杂的二元一次不定方程 $a x+b y=c$, 其中 $(a, b)=1$, 我们很难直接观察出它的一个特解. 这时候, 我们可以通过辗转相除法求它的一个特解. 其过程如下:
注意到, 当 $b=1$ 时, 我们容易观察出不定方程 $a x+b y=c$ 的一个特解 $x_0=1, y_0=c-a$.
下面假定 $b>1$, 并且对 $a, b$ 用辗转相除法得

$$
\begin{aligned}
& a=b q_1+r_1, \\
& b=r_1 q_2+r_2, \\
& r_1=r_2 q_3+r_3, \\
& r_2=r_3 q_4+r_4, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& r_{n-2}=r_{n-1} q_n+r_n \quad\left(r_n=1\right) .
\end{aligned}
$$

我们规定, $k_0=0, k_1=1$, 然后由递推关系式 $k_i=k_{i-2}-q_i k_{i-1}(i=2, \cdots, n)$ 依次计算出 $k_2, \cdots, k_n$. 根据大衍求一术的算法原理知, $r_i \equiv a k_i(\bmod b)$, 于是 $b \mid r_i-a k_i$.
特别地, 当 $i=n$ 时, $b \mid 1-a k_n$. 我们选取

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_0=k_n c, \\
y_0=\frac{c\left(1-a k_n\right)}{b} .
\end{array}\right.
$$

容易检验, $x=x_0, y=y_0$ 就是不定方程 $a x+b y=c$ 的一个特解.
例 3 求不定方程 $13 x+74 y=2$ 的一个特解.
解: 因为 $(13,74)=1$, 我们对 13,74 用轵转相除法, 得

$$
\begin{aligned}
& 13=74 \times 0+13, \\
& 74=13 \times 5+9, \\
& 13=9 \times 1+4, \\
& 9=4 \times 2+1,
\end{aligned}
$$

因此 $q_2=5, q_3=1, q_4=2$. 再由递推关系式依次计算得

$$
\begin{aligned}
& k_2=(-5) \times 1+0=-5, \\
& k_3=(-1) \times(-5)+1=6, \\
& k_4=(-5)+(-2) \times 6=-17 .
\end{aligned}
$$

因此

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=(-17) \times 2=-34, \\
y=\frac{2(1-13 \times(-17))}{74}=6
\end{array}\right.
$$

是不定方程 $13 x+74 y=2$ 的一个特解.

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