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一元一次不定方程

## 一元一次不定方程
不定方程是数论中最古老的一个分支. 我国古代对不定方程进行了大量研究, 且研究内容极为丰富. 早在公元前 1100 多年, 我国古代数学家商高就提出了直角三角形的 “勾广三, 股修四, 径隅五” 的著名论断, 这实际上给出了方程 $x^2+y^2=z^2$ 的一组正整数解 $x=3, y=4, z=5$.

大约 1500 年以前, 我国古代另一位数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里, 提出并解决了下面的数学问题: “鸡翁一, 值钱五, 鸡母一, 值钱三, 鸡维三, 值钱一, 百钱买百鸡, 问鸡翁、母、雉各几何?” 这就是人们常说的 “百钱买百鸡” 问题. 如果用 $x$, $y, z$ 分别表示鸡翁、鸡母和鸡维的个数, 那么我们可以得到下面的方程组:

$$
\left\{\begin{array}{l}
5 x+3 y+\frac{1}{3} z=100, \\
x+y+z=100 .
\end{array}\right.
$$

这两个问题最后都归结为求解一类方程或方程组的整数解. 由于其未知数个数多于方程的个数, 所以我们把这样的方程或方程组叫做不定方程. 由于公元 200 多年, 古希腊数学家丢番图 (Diophantus) 曾讨论了某些不定方程, 因而也有人把不定方程叫做丢番图方程.

## 二元一次不定方程

二元一次不定方程是最简单的不定方程, 它的一般形式为

$$
a x+b y=c ...(1)
$$

其中 $a, b, c$ 为整数, 且 $a, b$ 不等于零.
显然, 这类不定方程不一定有整数解. 例如, $2 x+4 y=1$ 没有整数解, 因为对任意整数 $x, y, 2 x+4 y$ 恒为偶数, 它不可能等于 1 .

我们感兴趣的是, 不定方程 (1) 何时有整数解? 有解时是否有无穷多个整数解? 这些整数解是否有统一的表达式? 当然, 还有一个问题就是如何求出所有的整数解.
首先看不定方程 (1) 有解时, 整数 $a, b, c$ 具有什么特征.
观察不定方程 $a x+b y=c$ 的形式, 自然联想到它与整除、同余之间的联系.

假定不定方程 (1) 有整数解 $x=x_0, y=y_0$. 因为 $(a, b)|a,(a, b)| b$, 所以 $(a, b) \mid a x_0+b y_0=c$. 也就是说, 不定方程 (1) 有解时, 整数 $a, b, c$ 必须满足:
$(a, b) \mid c$ ．

**整数 $a, b, c$ 的这种特征能否保证不定方程（1）有整数解呢？**

下面我们来检验一下. 设 $d=(a, b) \mid c$, 令 $a=a^{\prime} d, b=b^{\prime} d, c=c^{\prime} d$, 则不定方程 (1) 简化为

$$
a^{\prime

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