最后更新: 2025-10-16 09:52 查看: 354 次纠错评论(0) 课件开VIP

弃九验算法

## 弃九验算法
观察下面的算式:

$$
28947 \times 34578=1001865676 .
$$

你能很快确定上面算式的正确性吗?

这里, 我们介绍一种用来验算正整数计算结果是否正确的方法 一弃九验算法. 弃九验算法是同余性质在算术里的一个应用.
下面仅以正整数的乘法为例说明弃九验算法及其原理.
考虑算式 $p=a b$, 其中 $a, b, p$ 为正整数.
由上面的探究, 我们知道

$$
a \equiv \bar{a}(\bmod 9), b \equiv \bar{b}(\bmod 9), p \equiv \bar{p}(\bmod 9) .
$$

从而有

$$
\bar{a} \bar{b} \equiv \bar{p}(\bmod 9) .
$$

如果上式不成立, 那么算式 $p=a b$ 肯定是错的.
现在用弃九验算法判断本段开头给出的算式的正确性, 由于

$$
28947 \equiv 2+8+9+4+7 \equiv 3(\bmod 9),
$$

$$
\begin{aligned}
& 34578 \equiv 3+4+5+7+8 \equiv 0(\bmod 9), \\
& 1001865676 \equiv 1+0+0+1+8+6+5+6+7+6 \equiv 4(\bmod 9),
\end{aligned}
$$

故 $3 \times 0=0 \neq 1(\bmod 9)$, 因此这个算式是错的.
利用类似的方法, 同学们可以验算两个正整数加法、减法等算式的正确性.
弃九验算法的优点是验算比较方便, 但是应该特别注意的是弃九验算法只能 “检错”,不能 “判正”. 也就是说, 使用弃九验算法时, 得出的结果如果是 $\bar{a} \bar{b} \equiv \bar{p}(\bmod 9)$, 也不能判断算式 $p=a b$ 是正确的. 例如, 通过直接计算, 我们发现算式 $28997 \times 39459=$ 1144192533 是错误的, 但用弃九验算法发现不了这个错误, 所以弃九验算法有它的缺点.

### 理解：弃九验算法
弃九验算法，也叫“九余数法”，是一种古老而快速的验算方法，主要用于检查加、减、乘运算结果是否正确。**它不能证明结果绝对正确，但能快速发现大多数计算错误**。

#### 核心思想
一个数除以9所得的余数，等于这个数各位数字之和除以9所得的余数。
例如：
*   数字 `123`：各位和 1+2+3=6，6除以9余6。
*   数字 `123 ÷ 9 = 13...6`，余数确实是6。

这个余数，我们称之为这个数的 **“九余数”** 或 **“数字根”**。

#### 基本步骤
弃九法的操作非常简单：**把一个数的所有数字相加，如果结果大于9，就继续相加，直到得到一个个位数（1-9）。如果这个个位数是9，就把它当作0（因为9除以9余0）。**

这个最终的个位数（如果是9则视为0）就是该数的“九余数”。

**例1：求 546 的九余数**
1.  5 + 4 + 6 = 15
2.  1 + 5 = 6
3.  所以，546 的九余数是 6。

**例2：求 9876 的九余数**
1.  9 + 8 + 7 + 6 = 30
2.  3 + 0 = 3
3.  所以，9876 的九余数是 3。（注意：过程中遇到9可以直接忽略，因为9除以9余0。8+7+6=21, 2+1=3，结果一样）

## 例题

检验 乘法、加法和减法是否正确

`例` 检验 123 × 456 = 56088 是否正确？
1.  **计算原式的九余数：**
    *   123 → 1+2+3=6 （九余数为 6）
    *   456 → 4+5+6=15 → 1+5=6 （九余数为 6）
    *   乘积的九余数应为：6 × 6 = 36 → 3+6=9 → 视为 0。
2.  **计算你给出的结果 56088 的九余数：**
    *   56088 → 5+6+0+8+8=27 → 2+7=9 → 视为 0。
3.  **对比：** 0 = 0。两边九余数相等，说明计算**很可能**是正确的。

`例` 加法验算

规则：**所有加数的九余数之和 = 和的九余数** （等号两边都需要计算九余数）

**例题：  检验 168 + 245 = 413 是否正确？
1.  **计算原式的九余数：**
    *   168 → 1+6+8=15 → 1+5=6
    *   245 → 2+4+5=11 → 1+1=2
    *   和的九余数应为：6 + 2 = 8。
2.  **计算你给出的结果 413 的九余数：**
    *   413 → 4+1+3=8。
3.  **对比：** 8 = 8。验算通过。

`例` 检验 752 - 384 = 368 是否正确？
*   用第二种方法：
    1.  减数 384 → 3+8+4=15 → 1+5=6
    2.  差 368 → 3+6+8=17 → 1+7=8
    3.  减数九余数 + 差九余数 = 6 + 8 = 14 → 1+4=5
    4.  被减数 752 → 7+5+2=14 → 1+4=5
    5.  对比：5 = 5。验算通过。

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