最后更新: 2025-02-28 10:57 查看: 450 次反馈刷题

线性几何推广与高维度空间

### 齐次函数
在上一节介绍线性函数时，发现$f(x)=kx+b$不是线性的，而$f(x)=kx$是线性的，前者最烦人的地方是多了一个常数项$b$, 为了研究的方便，我们移除常数项（令$b=0$），即把：形如 $y=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$的称为**齐次函数**，而 $y=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n +b$ 称为**非齐次函数**。
齐次函数里，这个正比例函数的式子中每项里的变量出现的次数都是一次的, 整齐划一, 故此称为 "齐次" 的, 全称为 $n$ 元线性齐次函数。
我们的研究从齐次开始，再慢慢延伸到非齐次的。
> 对于非齐次的，初中都学过坐标系平移，老师也都教过我们，坐标轴平移的口诀是：左加右减，上加下减。 所以只要研究透了齐次函数，对于非齐次的，通过坐标轴平移，就可以把非齐次函数的转换为齐次函数。

## 线性的几何推广

### 拓展的第一步 坐标系由二维扩展到三维
首先我们看看从一元线性函数 $f(x)=k x$ 拓展到二元线性函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的几何解释。这个几何解释并不是唯一的, 目的是让读者认识和理解线性的概念。
$f(x)=k x$ 的直线图形是在二维笛卡尔坐标系下给出的几何图形, 把它放到三维笛卡尔坐标系下, 其函数表达式应写为 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 或者 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 。不失一般性, 我们这里取 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 为 $f(x)=k x$ 的扩维表达式。

我们知道, $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图形是一个过原点的平面, 是由 $f\left(x_1\right)=k x$ 的图形扩维后由一根直线变成了一个平面。这是因为函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 与新生长出来的坐标轴 $x_2$ 没有关系, $x_2$ 可以取任意值; 换句话说, $x_2$ 的任意值都在函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图像上, 这是一个过 $x_2$ 坐标轴的平面。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311110c5549b.png)

形象的扩展过程可以这样想象: 二维平面坐标系里有一根直线图形 (见图 1-4 (a)), 这时有 $x_2$ 轴过原点以垂直于坐标系 $x_1 \sim f\left(x_1\right.$ ) 的平面向右方向 (右手系) 生长出来 (见图 1-4 (b)), 然后原来的那条直线 $f\left(x_1\right)=k_1 x_1$ 沿着坐标轴 $x_2$ 方向向右滑动, 无数个平行的直线被 $x_2$轴像竹窝子一样串起来, 平铺得到了 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的平面 (见图 1-4 (c))。这个平面是由无数的直线铺成的, 因此平面也是 “线性” 的。

**拓展的第二步 两个平面加起来**
显然, 要得到函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的图形, 只要把三维坐标系下的两个函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 和 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 所对应的图形加起来即可。一般情形下, 两个平面相加仍然是一个平面, 如图 1-5 所示。
![图片](/uploads/2023-11/image_202311118c0333a.png)
因此, 线性函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的几何图形是一个过原点的平面。这个平面是在三维坐标系下的二维几何图形。

由二元线性 函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 继 续 扩展到三元 线 性函数 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+k_3 x_3$ 时, 所在的坐标系由三维扩展到四维。可以想象, 这个三元变量函数构成了一个三维空间, 是由三个空间 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_1 x_1, f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_2 x_2$ 和 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_3 x_3$ 叠加得到的, 因此它是一个四维空间中 (四维坐标系) 的一个三维子空间。

继续扩展到四元及 $n$ 元的线性函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$, 坐标系空间扩展到五维乃至 $n+1$ 维, 其几何图形仍将是一个低于坐标系维度一个维数的 “子空间”。
这个 $n$ 元几何图形总是低于坐标系一个维数。我们常常把一个高维的坐标系称为一个空间。  (比如 $n+1$ 维实数域线性空间 $\mathbf{R}^{n+1}$ ), 那么, 只能把这个线性函数低一维的几何图形称为一个 “平面”, 这是一个扩展意义上的平面, 常被称为超平面 (对于三维现实 “空间里” 的我们而言, 低一维度的子空间就是平面)。超平面等同于包含在 $n$ 维空间 $\mathbf{R}^n$ 中的 $n-1$ 维欧式空间, 它们对应于通常三维空间中的二维平面、平面内的直线、直线上的点等。
把线性函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$ 的形式改写为

$$
k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n-f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0
$$

或者更一般的形式为

$$
k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n+k_{n+1} x_{n+1}=c
$$

这是一个 $n+1$ 维空间 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中的一个 $n$ 维超平面, 只是这个平面不一定过原点了 (注意,不过原点的超平面可称之为空间，但不能称之为线性空间）。

到此我们明白了多元线性函数的 “线性” 不能单纯地理解为空间中的一条直线了, 根据上面的讨论, 把线性函数几何图形想象成一个平面更有代表性。实际上, 把 $n$ 个 $n$ 元线性函数组成一个满秩方程组才能表示一条直线。

相比较而言, 线性函数中含有的参数少, 涉及的运算简单, 仅为加法和乘法, 便于运算,是变量数学中最简单的函数; 但另一方面, 许多复杂的函数都可以在一定范围和精确度下近似地用线性函数来表示, 所以线性函数又是变量数学中最重要的函数。

## $1$维到$n$维的推广

### 一维 (1D)
定义：在一维空间中，只有一个自由度，通常用一条直线来表示。
例子：数轴就是一维空间的典型例子。一个点在数轴上的位置可以用一个坐标值来描述。
如果我们把自己想象为一直蚂蚁，那我们只能沿着直线来回跑动。当我们看一个物体时，他只有长度

### 二维 (2D)
定义：在二维空间中，有两个自由度，通常用一个平面来表示。
例子：平面几何中的图形，如正方形、圆等。一个点在平面上的位置可以用两个坐标值（x, y）来描述。

为了向更高的维度前进，现在我们现在来想象一下二维世界里的生物。因为二维空间没有厚度，只有长度与宽度，我们就可以将它理解成“纸片人”，因为维度的局限，这个可怜的二维生物也只能看到二维的形状。如果让它去看一个三维的球体，那么他只能看到的是这个球体的截面，也就是一个圆。

### 三维 (3D)
定义：在三维空间中，有三个自由度，通常用一个立体来表示。
例子：立体几何中的图形，如立方体、球等。一个点在三维空间中的位置可以用三个坐标值（x, y, z）来描述。
三维空间大家肯定熟悉，我们无时无刻都生活在三维空间中。三维空间有长度、宽度与高度。
但是，我要用另一种思维来表达三维空间，只有这样，才可以向更高维度推进。

现在我们有一张报纸，上面有一只蚂蚁。我们就姑且把蚂蚁君看作是“二维生物”，蚂蚁在二维的纸面上移动。如果要让他从纸的一边爬到另一边，则蚂蚁君需要走过整个纸张。但是我们把这张纸卷起来呢？成为一个圆柱，一个三维空间里的物体；这时蚂蚁君只需要走过接缝的位置，就到达了目的地。（对，这就是传说中的虫洞）换句话说，把二维空间弯曲，就得到了三维空间，我们就可以这样来表达。

![图片](/uploads/2024-10/1c99ba.jpg)
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 再解释一遍，在这个图示上，蚂蚁从A点消失，B点出现，你们想想，就是这意思，卷曲产生新的维度！
  ![图片](/uploads/2024-10/dbdfd4.jpg)
   ![图片](/uploads/2024-10/46723e.jpg)
   
###  四维 (4D)
定义：在四维空间中，有四个自由度。通常我们将时间作为第四维度，因此在描述一个事件时会使用四维坐标（x, y, z, t），其中t代表时间。

好了，开始进入烧脑阶段！前三个维度我们可以简单理解成长、宽、高。那么我们怎么理解四维空间？
四维比三维多一维，它是什么？是时间！
想象一下，左边有一个1分钟之前的我，右边则是现在我，将这“两个我”看成两个点 ，穿过他们连线，它就是四维空间里的线。太棒了，四维空间出现了！
 ![图片](/uploads/2024-10/89c1c8.jpg)
 
那么在现实当中我们可以看到过去和未来的我么？不能！因为我们是三维生物，活在三维空间中。 就像上文提到的，那位**二维生物只能看到三维物体的截面一样**，我们作为三维生物，只能看到四维空间的截面，也就是现在的你、我、他；换句话说就是此时此刻的世界 。

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  ![图片](/uploads/2024-10/59fdd9.jpg)
  
### 五维 (5D)
定义：五维空间有五个自由度。在某些物理理论中，第五维度被用来解释其他力或现象。

首先我们要明确一点，低维度生物不能意识到高维度空间发生的事情。我们从出生到现在，都感觉自己在同一个空间里。我们常说“随着时间的推移”，其实就是沿着时间线向前，这条时间线就是四维空间里的那条线，换句话说，三维的我们沿着四维空间里的时间线向前走。
 ![图片](/uploads/2024-10/196580.jpg)
 
 假如我们是四维空间生物，我们就可以看到过去、现在、将来各个时段的我们自己。但是，时间线只有一条，还记得前文中两条线交叉，将一维升级为二维么？那么现在，在四维这条时间线的基础上，我再加一条时间线和这条时间线交叉，五维空间就出现了！
   ![图片](/uploads/2024-10/a7ab13.jpg)
   
 上面介绍这些主要方便大家的理解，我们将引入$n$ 维的定义。
 
 ### $n$维
 定义：$n$维空间有$n$个自由度,如果用坐标系表示就是$x_n,x_2,x3...x_n$ 对于高维度，只能考自己想象。
 
 > 在$n$ 维空间里，他的投影是 $n-1$ 维，所以这使得我们可以降维打击，这是微积分里惯用的手段，假如我们生活在二维空间里，要计算三维空间里球的体积。因为我们无法直接观察3维空间，但是我们知道3维空间球的投影在2维里是一个圆，我们能够计算球的面积，因此球的体积就是$V=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v$ ，通过截面，我们可以推断高纬的计算，这就是人类思维的抽象。 详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=413)

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