最后更新: 2025-10-20 16:18 查看: 584 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

线性几何推广与高维度空间

## 齐次函数
线性的几何推广前先介绍一个名词：齐次函数。 在前面介绍线性函数时，发现$f(x)=kx+b$不是线性的，而$f(x)=kx$是线性的，前者最烦人的地方是多了一个常数项$b$, 为了研究的方便，我们移除常数项（令$b=0$），即把：形如 $y=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$的称为**齐次函数**，而 $y=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n +b$ 称为**非齐次函数**。

齐次函数里，这个函数的式子中每项里的变量出现的次数都是一次的, 整齐划一, 故此称为 "齐次" 的, 全称为 $n$ 元线性齐次函数。我们的研究从齐次开始，再慢慢延伸到非齐次的。

> 提示：对于非齐次的，可以通过平移齐次函数得到。初中都学过函数图像的平移，老师也都教过我们，图形平移的口诀是：**左加右减，上加下减**。 所以只要研究透了齐次函数，对于非齐次的，通过图形平移，就可以把非齐次函数的转换为齐次函数。

## 线性的几何推广

### 拓展的第一步 坐标系由二维扩展到三维
首先我们看看从一元线性函数 $f(x)=k x$ 拓展到二元线性函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的几何解释。这个几何解释并不是唯一的, 目的是让读者认识和理解线性的概念。
$f(x)=k x$ 的直线图形是在二维笛卡尔坐标系下给出的几何图形, 把它放到三维笛卡尔坐标系下, 其函数表达式应写为 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 或者 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 。不失一般性, 我们这里取 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 为 $f(x)=k x$ 的扩维表达式。

我们知道, $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图形是一个过原点的平面, 是由 $f\left(x_1\right)=k x$ 的图形扩维后由一根直线变成了一个平面。这是因为函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 与新生长出来的坐标轴 $x_2$ 没有关系, $x_2$ 可以取任意值; 换句话说, $x_2$ 的任意值都在函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图像上, 这是一个过 $x_2$ 坐标轴的平面。

![图片](/uploads/2025-10/827067.jpg)

形象的扩展过程可以这样想象: 二维平面坐标系里有一根直线图形 (见图 1-4 (a)), 这时有 $x_2$ 轴过原点以垂直于坐标系 $x_1 \sim f\left(x_1\right.$ ) 的平面向右方向 (右手系) 生长出来 (见图 1-4 (b)), 然后原来的那条直线 $f\left(x_1\right)=k_1 x_1$ 沿着坐标轴 $x_2$ 方向向右滑动, 无数个平行的直线被 $x_2$轴像竹窝子一样串起来, 平铺得到了 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的平面 (见图 1-4 (c))。这个平面是由无数的直线铺成的, 因此平面也是 “线性” 的。

**拓展的第二步 两个平面加起来**
显然, 要得到函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的图形, 只要把三维坐标系下的两个函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 和 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 所对应的图形加起来即可。一般情形下, 两个平面相加仍

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