最后更新: 2025-02-28 10:57 查看: 550 次反馈同步训练

线性几何推广与高维度空间

### 齐次函数
在上一节介绍线性函数时，发现$f(x)=kx+b$不是线性的，而$f(x)=kx$是线性的，前者最烦人的地方是多了一个常数项$b$, 为了研究的方便，我们移除常数项（令$b=0$），即把：形如 $y=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$的称为**齐次函数**，而 $y=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n +b$ 称为**非齐次函数**。
齐次函数里，这个正比例函数的式子中每项里的变量出现的次数都是一次的, 整齐划一, 故此称为 "齐次" 的, 全称为 $n$ 元线性齐次函数。
我们的研究从齐次开始，再慢慢延伸到非齐次的。
> 对于非齐次的，初中都学过坐标系平移，老师也都教过我们，坐标轴平移的口诀是：左加右减，上加下减。 所以只要研究透了齐次函数，对于非齐次的，通过坐标轴平移，就可以把非齐次函数的转换为齐次函数。

## 线性的几何推广

### 拓展的第一步 坐标系由二维扩展到三维
首先我们看看从一元线性函数 $f(x)=k x$ 拓展到二元线性函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的几何解释。这个几何解释并不是唯一的, 目的是让读者认识和理解线性的概念。
$f(x)=k x$ 的直线图形是在二维笛卡尔坐标系下给出的几何图形, 把它放到三维笛卡尔坐标系下, 其函数表达式应写为 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 或者 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 。不失一般性, 我们这里取 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 为 $f(x)=k x$ 的扩维表达式。

我们知道, $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图形是一个过原点的平面, 是由 $f\left(x_1\right)=k x$ 的图形扩维后由一根直线变成了一个平面。这是因为函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 与新生长出来的坐标轴 $x_2$ 没有关系, $x_2$ 可以取任意值; 换句话说, $x_2$ 的任意值都在函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的图像上, 这是一个过 $x_2$ 坐标轴的平面。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311110c5549b.png)

形象的扩展过程可以这样想象: 二维平面坐标系里有一根直线图形 (见图 1-4 (a)), 这时有 $x_2$ 轴过原点以垂直于坐标系 $x_1 \sim f\left(x_1\right.$ ) 的平面向右方向 (右手系) 生长出来 (见图 1-4 (b)), 然后原来的那条直线 $f\left(x_1\right)=k_1 x_1$ 沿着坐标轴 $x_2$ 方向向右滑动, 无数个平行的直线被 $x_2$轴像竹窝子一样串起来, 平铺得到了 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 的平面 (见图 1-4 (c))。这个平面是由无数的直线铺成的, 因此平面也是 “线性” 的。

**拓展的第二步 两个平面加起来**
显然, 要得到函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的图形, 只要把三维坐标系下的两个函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1$ 和 $f\left(x_1, x_2\right)=k_2 x_2$ 所对应的图形加起来即可。一般情形下, 两个平面相加仍然是一个平面, 如图 1-5 所示。
![图片](/uploads/2023-11/image_202311118c0333a.png)
因此, 线性函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 的几何图形是一个过原点的平面。这个平面是在三维坐标系下的二维几何图形。

由二元线性 函数 $f\left(x_1, x_2\right)=k_1 x_1+k_2 x_2$ 继 续 扩展到三元 线 性函数 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+k_3 x_3$ 时, 所在的坐标系由三维扩展到四维。可以想象, 这个三元变量函数构成了一个三维空间, 是由三个空间 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_1 x_1, f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_2 x_2$ 和 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=k_3 x_3$ 叠加得到的, 因此它是一个四维空间中 (四维坐标系) 的一个三维子空间。

继续扩展到四元及 $n$ 元的线性函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$, 坐标系空间扩展到五维乃至 $n+1$ 维, 其几何图形仍将是一个低于坐标系维度一个维数的 “子空间”。
这个 $n$ 元几何图形总是低于坐标系一个维数。我们常常把一个高维的坐标系称为一个空间。  (比如 $n+1$ 维实数域线性空间 $\mathbf{R}^{n+1}$ ), 那么, 只能把这个线性函数低一维的几何图形称为一个 “平面”, 这是一个扩展意义上的平面, 常被称为超平面 (对于三维现实 “空间里” 的我们而言, 低一维度的子空间就是平面)。超平面等同于包含在 $n$ 维空间 $\mathbf{R}^n$ 中的 $n-1$ 维欧式空间, 它们对应于通常三维空间中的二维平面、平面内的直线、直线上的点等。
把线性函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n$ 的形式改写为

$$
k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n-f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0
$$

或者更一般的形式为

$$
k_1 x_1+k_2 x_2+\cdots+k_n x_n+k_{n+1} x_{n+1}=c
$$

这是一个 $n+1$ 维空间 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中的一个 $n$ 维超平面, 只是这个平面不一定过原点了 (注意,不过原点的超平面可称之为空间，但不能称之为线性空间）。

到此我们明白了多元线性函数的 “线性” 不能单纯地理解为空间中的一条直线了, 根据上面的讨论, 把线性函数几何图形想象

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