最后更新: 2025-07-23 17:14 查看: 341 次反馈同步训练

无穷大与复球面

> 在实函数里，为了研究函数的导出，通常先研究函数的定义域，在复函数里，同样需要函数的定义域，只是复数的定义域是一个平面，因此先给出几个概念。

## 无穷大
定义一个特殊的复数 $\infty$, 称为无穷大, 满足 $\infty=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{0}}$.
**法则**
(1) $z \pm \infty=\infty \pm z=\infty, \quad(z \neq \infty)$;
(2) $z \cdot \infty=\infty \cdot z=\infty, \quad(z \neq 0)$;
(3) $\frac{z}{\infty}=0, \frac{\infty}{z}=\infty, \quad(z \neq \infty)$.

## 无穷远点
在“复平面”上一个与复数$\infty$ 对应的“理想” 点,称为无穷远点。
事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，因此只能说它是一个 “理想” 点。 那么，这个 “理想” 点到底在哪里呢? 情况下面的解释。

## 复球面
如下图, 某球面与复平面相切,其中, $N$ 为北极, $S$ 为南极。（就相当于一个球放到无限大的白纸上）
![图片](/uploads/2023-11/image_2023111870a747f.png)

对复平面上的任一点 $p^{\prime}$, 用直线将 $\boldsymbol{p}^{\prime}$ 点与 $\boldsymbol{N}$ 点相连，与球面相交于 $\boldsymbol{p}$ 点。

球面上除 $N$ 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应,这样的球面称作复球面。

球面上的 $N$ 点本身则对应到了“复平面” 上的无穷远点。
注： 显然，复数 $\infty$ 不能写成 $+\infty$ 或者 $-\infty$ 。

**扩充复平面**
定义
(1) 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面;
(2) 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或者简称为复平面。

## 无穷远点的邻域定义
**无穷远点的邻域定义**设实数 $\boldsymbol{M}>\mathbf{0}$,
(1) 包括无穷远点在内且满足 $|z|>M$ 的所有点的集合, 称为无穷远点的邻域。
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118189db32.png)

(2) 不包括无穷远点在内且满足 $|z|>M$ 的所有点的集合, 称为无穷远点的去心邻域, 也可记为 $M<|z|<+\infty$.

`例` 函数 $\omega=\frac{1}{z}$ 将 $z$ 平面上的曲线 $\operatorname{Re} z=2$ 映射成 $\omega$ 平面上的什么曲线？

解 欲求 $z$ 平面上已知曲线在映射 $\omega=\frac{1}{z}$ 下的像曲线方程，即求变量 $u, v

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