最后更新: 2025-01-11 20:42 查看: 266 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

临域、边界点、开集与有界

一个复数 $z=x+ i y$ 本质上由一对有序实数 $(x, y)$ 惟一确定，$(x, y)$ 就称为复数 $z$ 的实数对形式．于是能够建立平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系。换句话说，我们可以借助于横坐标为 $x$ ，纵坐标为 $y$ 的点来表示复数 $z=$ $x+ i y$ ，这个平面被称为**复平面**。
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## 邻域
由不等式 $\left|z-z_0\right|<\delta$ 所确定的平面点集，就是以 $z_0$ 为圆心，以 $\delta$ 为半径的圆的内部，称为点 $z_0$ 的 $\delta$ **邻域** ；并称 $0<\left|z-z_0\right|<\delta$ 为点 $z_0$ 的**去心 $\delta$ 邻域**
**定义** 设 $z_0$ 为复平面上的一点, $\delta>0$,
(1) 称点集 $\left\{z:\left|z-z_0\right|<\delta\right\}$ 为 $z_0$ 点的 $\delta$ 邻域;
(2) 称点集 $\left\{z: 0<\left|z-z_0\right|<\delta\right\}$ 为 $z_0$ 点的 $\delta$ 去心邻域。其图形表示如下图

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118de66f47.png){width=300px}

## 点、外点与边界点 
考虑某平面点集 $\boldsymbol{G}$ 以及某一点 $\boldsymbol{z}_0$,

**内点** ① $z_0 \in G$; ② $\exists \delta>0, \forall z:\left|z-z_0\right|<\delta$, 有 $z \in G$.

**外点** ① $z_0 \notin G ;$  ②$\exists \delta>0, \forall z:\left|z-z_0\right|<\delta$, 有 $z \notin G$.

**边界点**  ① $z_0$ 不一定属于 $G$; ② $\forall \delta>0$, 在 $\left|z-z_0\right|<\delta$ 中,既有 $\boldsymbol{z} \in \boldsymbol{G}$, 又有 $\boldsymbol{z} \notin \boldsymbol{G}$.

**边界** $\boldsymbol{G}$ 的边界点的全体称为 $\boldsymbol{G}$ 的边界。

上面的定义参考下图，比较容易理解。
![图片](/uploads/2023-11/image_2023111884e0f04.png)

## 开集与闭集
**开集** 如果 $\boldsymbol{G}$ 的每个点都是它的内点，则称 $\boldsymbol{G}$ 为开集。

**闭集** 如果 $\boldsymbol{G}$ 的边界点全部都属于 $\boldsymbol{G}$, 则称 $\boldsymbol{G}$ 为闭集。

## 有界集与无界集
若存在 $\delta>0$, 使得点集 $\boldsymbol{G}$ 包含在原点的 $\delta$ 邻域内,则 $\boldsymbol{G}$ 称为**有界集**, 否则称为非有界集或**无界集**。

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