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复变函数论
第二篇 复数的集合论
平面点集
日期:
2023-11-18 09:46
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平面点集
1. **邻域** 定义 设 $z_0$ 为复平面上的一点, $\delta>0$, (1) 称点集 $\left\{z:\left|z-z_0\right|<\delta\right\}$ 为 $z_0$ 点的 $\delta$ 邻域; (2) 称点集 $\left\{z: 0<\left|z-z_0\right|<\delta\right\}$ 为 $z_0$ 点的 $\delta$ 去心邻域。 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118de66f47.png){width=500px} **2. 内点、外点与边界点‸** 考虑某平面点集 $\boldsymbol{G}$ 以及某一点 $\boldsymbol{z}_0$, 内点 (1) $z_0 \in G$; (2) $\exists \delta>0, \forall z:\left|z-z_0\right|<\delta$, 有 $z \in G$. 外点 (1) $z_0 \notin G ;$ (2) $\exists \delta>0, \forall z:\left|z-z_0\right|<\delta$, 有 $z \notin G$. 边界点 (1) $z_0$ 不一定属于 $G$; (2) $\forall \delta>0$, 在 $\left|z-z_0\right|<\delta$ 中, 既有 $\boldsymbol{z} \in \boldsymbol{G}$, 又有 $\boldsymbol{z} \notin \boldsymbol{G}$. 边界 $\boldsymbol{G}$ 的边界点的全体称为 $\boldsymbol{G}$ 的边界。 ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111884e0f04.png) **3. 开集与闭集** 开集 如果 $\boldsymbol{G}$ 的每个点都是它的内点,则称 $\boldsymbol{G}$ 为开集。闭集 如果 $\boldsymbol{G}$ 的边界点全部都属于 $\boldsymbol{G}$, 则称 $\boldsymbol{G}$ 为闭集。 **4. 有界集与无界集** 定义 若存在 $\delta>0$, 使得点集 $\boldsymbol{G}$ 包含在原点的 $\delta$ 邻域内,则 $\boldsymbol{G}$ 称为有界集, 否则称为非有界集或无界集。
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