最后更新: 2025-06-06 05:05 查看: 383 次反馈同步训练

若尔当曲线、曲线参数表示与曲线方向

## 若尔当(Jordan)曲线

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

上面这个例子告诉我们，通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。

设 $x(t)$ 及 $y(t)$ 是实变数 $t$ 的两个实函数，它们在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，则由方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t), \\
y=y(t)
\end{array} \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta),\right.
$$

或由复数方程

$$
z=x(t)+i y(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta) ...(1.16)
$$

所决定的点集 $C$ ，称为 $z$ 平面上的一条**连续曲线**．式（1．16）称为 $C$ 的参数方程，$z(\alpha)$ 及 $z(\beta)$ 分别称为 $C$ 的**起点**和**终点**；

对满足 $\alpha<t_1<\beta, \alpha \leqslant t_2 \leqslant \beta, t_1 \neq t_2$ 的 $t_1$ 及 $t_2$ ，当 $z\left(t_1\right)=z\left(t_2\right)$ 成立时，点 $z\left(t_1\right)$ 称为此曲线 $C$ 的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或**若尔当曲线**；$z(\alpha)=z(\beta)$ 的简单曲线称为**简单闭曲线**．

> **通俗的说，若尔当曲线就是指平面上的一条简单闭合曲线。简单闭合曲线意味着这条曲线不会与自身相交，且其起点和终点重合，形成一个封闭的环。**

简单曲线是 $z$ 平面上的一个有界闭集．
例如，线段，圆弧和抛物线弧段等都是简单曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线．

**定义** 设连续弧 $A B$ 的参数方程为

$$
z=z(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta),...(1.17)
$$

任取实数列 $\left\{t_n\right\}$ ：

$$
\alpha=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<t_n=\beta,
$$

并且考虑 $A B$ 弧上对应的点列：

$$
z_j=z\left(t_j\right) \quad(j=0,1,2, \cdots, n)
$$

将它们用一折线 $Q_n$ 连接起来，$Q_n$ 的长度

$$
I_n=\sum_{j=1}^n\left|z\left(t_j\right)-z\left(t_{j-1}\right)\right|
$$

如果对于所有的数列（1．17），$I_n$ 有上界，则 $A B$ 弧称为可求长的．上确界 $L=\sup I_n$ 称为 $A B$ 弧的**长度**．

## 若尔当定理
 任一简单闭曲线 $C$ 将 $z$ 平面惟一地分成 $I(C)$ 及 $E(C)$ 两个部分，它们具有如下性质

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