最后更新: 2025-01-11 21:04 查看: 319 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

若尔当曲线与若尔当定理

## 若尔当(Jordan)曲线
设 $x(t)$ 及 $y(t)$ 是实变数 $t$ 的两个实函数，它们在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，则由方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t), \\
y=y(t)
\end{array} \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta),\right.
$$

或由复数方程

$$
z=x(t)+i y(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta) ...(1.16)
$$

（简记为 $z=z(t)$ ）
所决定的点集 $C$ ，称为 $z$ 平面上的一条**连续曲线**．式（1．16）称为 $C$ 的参数方程，$z(\alpha)$ 及 $z(\beta)$ 分别称为 $C$ 的**起点**和**终点**；

对满足 $\alpha<t_1<\beta, \alpha \leqslant t_2 \leqslant \beta, t_1 \neq t_2$ 的 $t_1$ 及 $t_2$ ，当 $z\left(t_1\right)=z\left(t_2\right)$ 成立时，点 $z\left(t_1\right)$ 称为此曲线 $C$ 的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或**若尔当曲线**；$z(\alpha)=z(\beta)$ 的简单曲线称为**简单闭曲线**．

简单曲线是 $z$ 平面上的一个有界闭集．
例如，线段，圆弧和抛物线弧段等都是简单曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线．

**定义** 设连续弧 $A B$ 的参数方程为

$$
z=z(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta),...(1.17)
$$

任取实数列 $\left\{t_n\right\}$ ：

$$
\alpha=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<t_n=\beta,
$$

并且考虑 $A B$ 弧上对应的点列：

$$
z_j=z\left(t_j\right) \quad(j=0,1,2, \cdots, n)
$$

将它们用一折线 $Q_n$ 连接起来，$Q_n$ 的长度

$$
I_n=\sum_{j=1}^n\left|z\left(t_j\right)-z\left(t_{j-1}\right)\right|
$$

如果对于所有的数列（1．17），$I_n$ 有上界，则 $A B$ 弧称为可求长的．上确界 $L=\sup I_n$ 称为 $A B$ 弧的**长度**．

## 若尔当定理
 任一简单闭曲线 $C$ 将 $z$ 平面惟一地分成 $C, I(C)$ 及 $E(C)$ 三个点集（下图），它们具有如下性质：
（1）彼此不交．
（2）$I(C)$ 是一个有界区域（称为 $C$ 的内部）．
（3）$E(C)$ 是一个无界区域（称为 $C$ 的外部）．
（4）若简单折线 $P$ 的一个端点属于 $I(C)$ ，另一个端点属于 $E(C)$ ，则 $P$ 必与 $C$ 有交点．

此定理的证明（1）（2）虽有多种，但都包含若干拓扑学的知识和术语，非简短篇幅所能说明，因此略去证明．不过这个定理的直观意义是很清楚的．
 ![图片](/uploads/2025-01/8623b2.jpg)
 
 沿着一条简单闭曲线 $C$ 有两个相反的方向，其中

一个方向是：当观察者顺此方向沿 $C$ 前进一周时，$C$ 的内部一直在 $C$ 的左方，即＂逆时针＂方向，称为**正方向**；另一个方向是：当观察者顺此方向沿 $C$ 前进一周时，$C$ 的外部一直在 $C$ 的左方，即＂顺时针＂方向，称为**负方向**

## 曲线的分类
考虑曲线 $z=z(t)=x(t)+i y(t),(\alpha \leq t \leq \beta)$.

简单曲线 $\forall t_1 \in(\alpha, \beta), t_2 \in[\alpha, \beta]$, 当 $t_1 \neq t_2$ 时, $z\left(t_1\right) \neq z\left(t_2\right)$.
简单闭曲线 简单曲线且 $z(\alpha)=z(\beta)$.
光滑曲线 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上, $x^{\prime}(t)$ 和 $y^{\prime}(t)$ 连续且 $z^{\prime}(t) \neq 0$.
 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311185ee299b.png)

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