最后更新: 2025-01-11 21:05 查看: 217 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

平面曲线的复数表示

## 平面曲线
对于一个复数，如何把他和平面直角坐标系上的点进行“互换”？
核心是使用两个公式：

(1) $f(x, y)=0 \underset{y=(z-\bar{z}) /(2 i)}{\stackrel{x=(z+\bar{z}) / 2}{\longrightarrow}} \widetilde{f}(z)=0 . \quad$ (建立方程)
  
  
 (2) $f(z)=0 \stackrel{z=x+i y}{\longrightarrow} \tilde{f}(x, y)=0$. (理解方程)

## 例题

`例`$|\boldsymbol{z}-\boldsymbol{i}|=\mathbf{2},$
解：令$z=x+iy$,带入
$|z-i|$=$|x+iy-i|=x+(y-1)i=2 \Rightarrow x^2+(y-1)^2=4$

这表示以$(0,1)$为圆心，以2为半径的圆。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118167b779.png)

(2) $|z+i|=|z-i|, \Rightarrow y=0$ 。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118405d8c2.png)

(3) $|z-2 i|=|z+2|, \Rightarrow y=-x$.
![图片](/uploads/2023-11/image_2023111871568c3.png)

(4) $|\boldsymbol{z}+\mathbf{1}|+|\boldsymbol{z}-\mathbf{1}|=\mathbf{4}, \Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1$.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118adcbac5.png)

(5) $\operatorname{Re}\left(z^2\right)=1, \Rightarrow x^2-y^2=1$.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118a58631c.png)

## 复数的参数表示

在直角平面上 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} \quad(\alpha \leq t \leq \beta)\right.$.

在复平面上 $z=z(t)=x(t)+i y(t),(\alpha \leq t \leq \beta)$.

例如 考察以原点为圆心、以 $R$ 为半径的圆周的方程。
(1) 在直角平面上 $\left\{\begin{array}{l}x=x(\theta)=R \cos \theta, \\ y=y(\theta)=R \sin \theta,\end{array} \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi)\right.$.
(2) 在复平面上 $z=z(\theta)=x(\theta)+i y(\theta)=R(\cos \theta+i \sin \theta)$,

$$
\Rightarrow \quad z=R \mathrm{e}^{i \theta},(0 \leq \theta \leq 2 \pi) .
$$

上一篇：若尔当曲线与若尔当定理

下一篇：有向曲线

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)