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复变函数与积分变换
第一篇 复数的概念与表示
复数函数和实数函数互相转换
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2025-05-29 22:14
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复数函数和实数函数互相转换
## 平面曲线的复数表示 对于一个复数，如何把他和平面直角坐标系上的点进行“互换”？ 核心是使用两个公式： (1) $f(x, y)=0 \quad \underset{y=(z-\bar{z}) /(2 i)}{\stackrel{x=(z+\bar{z}) / 2}{\longrightarrow}} \quad\widetilde{f}(z)=0 . \quad$ (建立方程) (2) $f(z)=0 \quad \stackrel{z=x+i y}{\longrightarrow} \quad\tilde{f}(x, y)=0$. (整理方程) ## 例题 `例`$|\boldsymbol{z}-\boldsymbol{i}|=\mathbf{2}$ 分析：这是一个复数表示的曲线，现在转换为实数表示的曲线。利用上面第（2）个公式进行转换。 解：令$z=x+iy$,带入 $|z-i|$=$|x+iy-i|=|x+(y-1)i=2| \Rightarrow x^2+(y-1)^2=4$ 这表示他是以$(0,1)$为圆心，以2为半径的圆。  (2) $|z+i|=|z-i|, \Rightarrow y=0$ 。  (3) $|z-2 i|=|z+2|, \Rightarrow y=-x$.  (4) $|\boldsymbol{z}+\mathbf{1}|+|\boldsymbol{z}-\mathbf{1}|=\mathbf{4}, \Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1$.  (5) $\operatorname{Re}
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