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复变函数与积分变换
第三篇 复变函数
基本概念
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2023-11-18 10:03
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基本概念
一、基本概念 定义 设 $\boldsymbol{D}$ 是复平面上的一个点集, 对于 $\boldsymbol{D}$ 中任意的一点 $z$,按照一定法则, 有确定的复数 $\boldsymbol{w}$ 与它对应, 则称在 $\boldsymbol{D}$上定义一个复变函数, 记作 $w=f(z)$. -单值函数 对每个 $z \in D$ ,有唯一的 $w$ 与它对应; $$ \text { 比如 } w=f(z)=z^2 \text {. } $$ - 多值函数 对每个 $z \in D$, 有多个 $w$ 与它对应; $$ \text { 比如 } w=\sqrt[3]{z}, w=\operatorname{Arg} z \text {. } $$ 一般情形下, 所讨论的 “函数” 都是指单值函数。 - 在以后的讨论中, $\boldsymbol{D}$ 常常是一个平面区域, 称之为定义域。 分析 设 $z=x+i y, w=u+i v$, 则 $w=f(z)$ 可以写成 $$ w=u+i v=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y), $$ 其中, $u(x, y)$ 与 $v(x, y)$ 为实值二元函数。 分开上式的实部与虚部得到 $\left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ ○一个复变函数对应于两个二元实变函数。 例 将复变函数 $w=z^2+1$ 化为一对实变函数。 P21 例1.13 解 记 $z=x+i y, w=u+i v$, 代入 $w=z^2+1$ 得 $$ u+i v=(x+i y)^2+1=\left(x^2-y^2+1\right)+i(2 x y), $$ 分开实部与虚部即得 $$ \begin{aligned} & u=x^2-y^2+1 \\ & v=2 x y \end{aligned} $$
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