最后更新: 2025-06-24 09:08 查看: 378 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

复变函数

> 对于实数，比如 $y=x^2$, 当给定一个$x$会有一个$y$和他对应，把$x,y$用点连接出来画在平面直角坐标系里，就可以得到 $y=x^2$的图像。
但是，对于复数，当给定一个复数$z$,这个$z$是平面上的一个点，那么这个点输入后将得到另外一个平面上的一个点。此时，就无法再同一个坐标系里画出来（或者说，虽然也可以画出，但是会影响原函数的图像），最好的方式是在四维空间里画出来，但是很遗憾我们生活在三维空间里。因此，我们通常使用两个坐标系来表示他们的映射关系。一个坐标系是$z$我们称为**原像**，一个坐标系是$w$我们称为镜像简称为**像**。这可以简单理解为，一个z图像经过$w=f(z)$映射后转换为了另外一个图像（就像一个人照镜子）。

> 在学习复变函数时，必须和实函数区别开来，比如 对于实函数 $y=x^2$ 他表示的是一个抛物线，给定一个$x$,他有一个$y$和他对应。 但是在学习复函数时 比如$ w=z^2$ , 从极坐标视图看，他把图像放大2倍，但是光秃秃说把定义域的图像放大两倍意义并不大，我们还需要指定额外条件，如$|z|=1$， 即在半径为1的情况下，观察$ w=z^2$的原像和像直接的变化关系。 或者取 $1<|z|<2$ 观察在圆环的情况下，$ w=z^2$ 的原像和像直接的变化关系，总之，如果不指定定义域轨迹限制，单独说定义域内所有点意义不太大。事实上，作为在现实世界里，物体运动都是有轨迹限制的，比如地球绕太阳运动是椭圆，且符合开普勒三大定理。

## 复变函数的定义
**定义** 设 $\boldsymbol{D}$ 是复平面上的一个点集, 对于 $\boldsymbol{D}$ 中任意的一点 $z$,按照一定法则, 有确定的复数 $\boldsymbol{w}$ 与它对应, 则称在 $\boldsymbol{D}$上定义一个复变函数, 记作 $w=f(z)$.

微积分里，我们常常把函数用几何图形表示出来，在研究函数的性质时，这些几何图形给我们很多直观的帮助。现在，我们就不能借助于同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示复变函数。因由$w=u(x, y)+i v(x, y),$，$f(x+ i y)=u+ i v$ ，要描出 $w=$ $f(z)$ 的图形，必须采用四维空间，也就是 $(u, v, x, y)$ 空间，为了避免这个困难，我们取两张复平面，分别称为 $z$ 平面和 $w$ 平面。

注意到，在复平面上不区分＂点＂和＂数＂，也不再区分＂点集＂和＂数集＂，我们把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应（映射或变换）。具体地说，复变函数 $w=f(z)$ 给出了从 $z$ 平面上的点集 $E$ 到 $w$ 平面上的点集 $F$ 间的一个对应关系 ．与点 $z \in E$ 对应的点 $w=f(z)$ 称为点 $z$ 的像点，同时点 $z$ 就称为点 $w=$ $f(z)$ 的原像．为了方便，以后也不再区分函数，映射和变换．

![图片](/uploads/2023-11/image_202311181918a6d.png)

**映射** 复变函数 $w=f(z)$ 在几何上被看作是把 $z$ 平面上的一个点集 $S$ 变到 $w$ 平面上的一个点集 $S^*$ 的映射(或者变换)。其中, 点集 $S^*$ 称为像, 点集 $S$ 称为原像。

> 必须指出，像点的原像可能不只一点，例如 $w=z^2$ ，则 $z= \pm 1$ 的像点均为 $w=1$ ，因此 $w=1$ 的原像是两个点 $z= \pm 1$

### 反函数与逆映射
设函数 $w=f(z)$ 的定义域为 $z$ 平面上的点集 $D$, 值域为 $\boldsymbol{w}$ 平面上的点集 $\boldsymbol{G}$, 则 $G$ 中的每个点 $\boldsymbol{w}$ 必将对应着 $\boldsymbol{D}$ 中的一个 (或几个) 点 $\boldsymbol{z}$, 按照函数的定义, 在 $\boldsymbol{G}$ 上就确定了一个函数 $z=\widetilde{f}(w)$, 它称为函数 $w=f(z)$ 的反函数, 也称为映射 $w=f(z)$ 的逆映射。

### 单值映射与一一映射
若映射 $w=f(z)$ 与它的逆映射 $z=\widetilde{f}(w)$ 都是单值的,则称映射 $w=f(z)$ 是双方单值的或者一一映射。

**单值函数** 对每个 $z \in D$ ，有唯一的 $w$ 与它对应; 比如 $ w=f(z)=z^2$

**多值函数** 对每个 $z \in D$, 有多个 $w$ 与它对应;比如 $w=\sqrt[3]{z}, w=\operatorname{Arg} z $

一般情形下, 所讨论的 “函数” 都是指单值函数。在以后的讨论中, $\boldsymbol{D}$ 常常是一个平面区域, 称之为定义域。

从定义看，复变函数的单值和多值与实数定义是类似的。比如在实数里，5的平方是25这是单值函数，而9的平方根是$\pm 3$，这是多值函数。

### 复变函数对应二元实函数
设 $z=x+i y, w=u+i v$, 则 $w=f(z)$ 可以写成

$$
w=u+i v=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y),
$$

其中, $u(x

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：没有了

下一篇：平移映射与旋转映射

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)