最后更新: 2025-01-13 09:47 查看: 266 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

复变函数

> 对于实数，比如 $y=x^2$, 当给定一个$x$会有一个$y$和他对应，把$x,y$用点连接出来画在平面直角坐标系里，就可以得到 $y=x^2$的图像。
但是，对于复数，当给定一个复数$z$,这个$z$是平面上的一个点，那么这个点输入后将得到另外一个平面上的一个点。此时，就无法再同一个坐标系里画出来（或者说，虽然也可以画出，但是会影响原函数的图像），最好的方式是在四维空间里画出来，但是很遗憾我们生活在三维空间里。因此，我们通常使用两个坐标系来表示他们的映射关系。一个坐标系是$z$我们称为原像，一个坐标系是$w$我们称为镜像简称为像。这可以简单理解为，一个z图像经过$w=f(z)$映射后转换为了另外一个图像（就像一个人照镜子）。所以学习复数要和实数区别学习。

## 复变函数的定义
**定义** 设 $\boldsymbol{D}$ 是复平面上的一个点集, 对于 $\boldsymbol{D}$ 中任意的一点 $z$,按照一定法则, 有确定的复数 $\boldsymbol{w}$ 与它对应, 则称在 $\boldsymbol{D}$上定义一个复变函数, 记作 $w=f(z)$.

微积分里，我们常常把函数用几何图形表示出来，在研究函数的性质时，这些几何图形给我们很多直观的帮助。现在，我们就不能借助于同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示复变函数。因由$w=u(x, y)+i v(x, y),$，$f(x+ i y)=u+ i v$ ，要描出 $w=$ $f(z)$ 的图形，必须采用四维空间，也就是 $(u, v, x, y)$ 空间，为了避免这个困难，我们取两张复平面，分别称为 $z$ 平面和 $w$ 平面。

注意到，在复平面上不区分＂点＂和＂数＂，也不再区分＂点集＂和＂数集＂，我们把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应（映射或变换）。具体地说，复变函数 $w=f(z)$ 给出了从 $z$ 平面上的点集 $E$ 到 $w$ 平面上的点集 $F$ 间的一个对应关系 ．与点 $z \in E$ 对应的点 $w=f(z)$ 称为点 $z$ 的像点，同时点 $z$ 就称为点 $w=$ $f(z)$ 的原像．为了方便，以后也不再区分函数，映射和变换．

![图片](/uploads/2023-11/image_202311181918a6d.png)

**映射** 复变函数 $w=f(z)$ 在几何上被看作是把 $z$ 平面上的一个点集 $S$ 变到 $w$ 平面上的一个点集 $S^*$ 的映射(或者变换)。其中, 点集 $S^*$ 称为像, 点集 $S$ 称为原像。

> 必须指出，像点的原像可能不只一点，例如 $w=z^2$ ，则 $z= \pm 1$ 的像点均为 $w=1$ ，因此 $w=1$ 的原像是两个点 $z= \pm 1$

### 反函数与逆映射
设函数 $w=f(z)$ 的定义域为 $z$ 平面上的点集 $D$, 值域为 $\boldsymbol{w}$ 平面上的点集 $\boldsymbol{G}$, 则 $G$ 中的每个点 $\boldsymbol{w}$ 必将对应着 $\boldsymbol{D}$ 中的一个 (或几个) 点 $\boldsymbol{z}$, 按照函数的定义, 在 $\boldsymbol{G}$ 上就确定了一个函数 $z=\widetilde{f}(w)$, 它称为函数 $w=f(z)$ 的反函数, 也称为映射 $w=f(z)$ 的逆映射。

### 单值映射与一一映射
若映射 $w=f(z)$ 与它的逆映射 $z=\widetilde{f}(w)$ 都是单值的,则称映射 $w=f(z)$ 是双方单值的或者一一映射。

**单值函数** 对每个 $z \in D$ ，有唯一的 $w$ 与它对应; 比如 $ w=f(z)=z^2$

**多值函数** 对每个 $z \in D$, 有多个 $w$ 与它对应;比如 $w=\sqrt[3]{z}, w=\operatorname{Arg} z $

一般情形下, 所讨论的 “函数” 都是指单值函数。在以后的讨论中, $\boldsymbol{D}$ 常常是一个平面区域, 称之为定义域。

从定义看，复变函数的单值和多值与实数定义是类似的。比如在实数里，5的平方是25这是单值函数，而9的平方根是$\pm 3$，这是多值函数。

### 复变函数对应二元实函数
设 $z=x+i y, w=u+i v$, 则 $w=f(z)$ 可以写成

$$
w=u+i v=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y),
$$

其中, $u(x, y)$ 与 $v(x, y)$ 为实值二元函数。

分开上式的实部与虚部得到 $\left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$

所以，一个复变函数对应于两个二元实变函数。

## 例题

`例`将复变函数 $w=z^2+1$ 化为一对实变函数。
解 记 $z=x+i y, w=u+i v$,
代入 $w=z^2+1$ 得

$$
u+i v=(x+i y)^2+1=\left(x^2-y^2+1\right)+i(2 x y),
$$

分开实部与虚部即得

$$
\begin{aligned}
& u=x^2-y^2+1 \\
& v=2 x y
\end{aligned}

`例`考察函数 $w=\bar{z}$ 所构成的映射．
它将 $z$ 平面上的点 $z=a+ i b$ 映射成 $w$ 平面上的点 $w=a- i b$ ．
如图 1.18 所示，$z_1 \rightarrow w_1, z_2 \rightarrow w_2, \triangle A B C \rightarrow \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/4b5b02.jpg)
 
 如果把 $z$ 平面和 $w$ 平面重叠在一起，不难看出 $w=\bar{z}$ 是关于实轴的一个对称映射．

`例`已知函数 $w=z^2$, 求下列点集的像。
(1) 点 $z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i$
(2) 区域 $D=\{z: \operatorname{Im} z>0, \operatorname{Re} z>0,|z|<1\}$.

解 (1) 点 $z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i$ 对应的像(点)为 $w=\frac{1}{2} i$.
从几何图像上看，他把一个平面上的点转换为了另外一个平面上的点（如下图的红点）。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/4af01a.jpg){width=500px}
  
(2) 区域 $D$ 可改写为:

$$
D=\{z: 0<|z|<1,0<\arg z< \frac{\pi}{2} \},
$$

令 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$, 则 $w=z^2=r^2 \mathrm{e}^{i 2 \theta}$,可得区域 $D$ 的像(区域) $G$ 满足

$$
0<|w|<1,0<\arg w<\pi,
$$

即 $G=\{w: \operatorname{Im} w>0,|w|<1\}$.
 
从几何图像上看，他是把原$\frac{1}{4}$ 圆面积转换为了$\frac{1}{2}$的圆面积（参考上图黄色面积）。

在上例里，给出了条件限制下$w=z^2$的映射，现在考虑更一般的$f=z^2$的映射
 
## 用直角坐标表示图像映射

`例` 考虑函数 $w=z^2$的映射。
解：如果 $f(z)=z^2$ ，那么

$$
f(x+i y)=(x+i y)^2=x^2-y^2+i 2 x y .
$$

因此

$$
u(x, y)=x^2-y^2 \quad \text { 和 } \quad v(x, y)=2 x y . ...(1)
$$

这样对应于两个二元实变函数映射从 $x y$ 平面到 $u v$ 平面，这种形式对于找到双曲线的像是非常有用的．
比如很容易验证，双曲线

$$
x^2-y^2=c_1 \quad\left(c_1>0\right)  ...(2)
$$

的每一支是以一对一的方式映射到垂直直线 $u=c_1$ 上，我们注意到当 $(x, y)$ 是在两个分支中某一个分支上时，从方程（1）得到 $u=c_1$ ．特别是当 $(x, y)$ 在双曲线的右半平面的分支上时，由 （1）的第一个等式，我们有 $v=2 y \sqrt{y^2+c_1}$ ，因此右分支的图像可以用参数坐标表示为

$$
u=c_1, \quad v=2 y \sqrt{y^2+c_1} \quad(-\infty<y<\infty)
$$

显然当点 $(x, y)$ 沿着双曲线的分支向上移动时，这个点 $(x, y)$ 的像点也以向上的方向沿整个直线移动（如图 17）。

![图片](/uploads/2025-01/3ce61c.jpg)
 
 类似地，由于 $w=z^2$ 方程对

$$
u=c_1, \quad v=-2 y \sqrt{y^2+c_1} \quad(-\infty<y<\infty)
$$

表示的是位于左半平面的双曲线的图形的参数表示，当点 $(x, y)$ 沿着左半平面的双曲线向下移动时，可以看出像点是沿着直线 $u=c_1$ 向上移动的．

从另一方面来说，双曲线  
$2 x y=c_2\left(c_2>0\right) ...(3)$

的每一个分支正如图 17 所示，都被映为直线 $v=c_2$ ．为了证明这一点，我们注意到从（1）的第二个方程得到：当 $(x, y)$ 在每一分支上时，有 $v=c_2$ 。如果它在第一象限的分支上，那么由 $y=\frac{c_2}{2 x}$ ，方程（1）的第一个等式揭示了这一分支有如下的参数表示

$$
u=x^2-\frac{c_2^2}{4 x^2}, \quad v=c_2 \quad(0<x<\infty)
$$

注意到

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} u=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} u=\infty
$$

由于 $u$ 连续地依赖 $x$ ，很清楚当 $(x, y)$ 沿着双曲线（3）的上面一支向下运动时，它的像沿着整个水平直线 $v=c_2$ 向右运动．由于双曲线（3）的下面的一个分支有参数表示

$$
u=\frac{c_2^2}{4 y^2}-y^2, \quad v=c_2 \quad(-\infty<y<0)
$$

并且由于

$$
\lim _{y \rightarrow-\infty} u=-\infty \quad \text { 且 } \quad \lim _{\substack{y>0 \\ y<0}} u=\infty
$$

可以知道当点 $(x, y)$ 沿着双曲线（3）在下半平面一支由下向上运动时，它的像沿着整个水平直线 $v=c_2$ 向右运动（如图 17 所示）．

`例`下面我们用上例来找出一些区域的像：
  区域 $x>0, y>0, x y<1$ 是由满足 $2 x y=c$ 的上半双曲线上的点组成，其中 $(0<$ $c<2$ ）（如图 18），由例 1 我们知道当一个点沿这些分支当中的一个向下移动，那么它的像就在映射 $w=z^2$ 的作用下沿线 $v=c$ 向右移动．因为当 $c$ 取值在 0 和 2 之间时，这些分支盖满了区域 $x>0, y>0, x y<1$ ，整个区域被映为水平带形区域 $0<v<2$ ．

由方程（1），可见，平面 $z$ 上的点 $(0, y)$ 的像为 $\left(-y^2, 0\right)$ ，因此当 $(0, y)$ 沿 $y$ 轴向下向原点移动，它的像沿负的 $u$ 轴向右移动并在 $w$ 平面达到原点．那么，既然点 $(x, 0)$ 的像是 $\left(x^2, 0\right)$ ，当 $(x, 0)$ 沿 $x$ 轴从原点向右移动，它的像也沿 $u$ 轴自原点向右移动．双曲线 $x y=1$

在上半平面分支理所当然地就是水平直线 $v=2$ ，那么很明显地，闭区域 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, x y \leqslant 1$被映为闭带形 $0 \leqslant v \leqslant 2$ ，如图 18 所示．
 ![图片](/uploads/2025-01/dd37e1.jpg)
 
  
  
 
 > 初中实，我们都学过凸透镜成像，核心是找到关键的几个点，然后画出凸透镜的像，同样，对于复数映射，核心是找到一些关键点。
 
 通过上面分析， 它把 $z$ 平面上的两族双曲线 $x^2-y^2=c_1, 2 x y=c_2$,分别映射成 $w$ 平面上的两族平行直线 $u=c_1, v=c_2$.
 如果画出整个函数曲线，则如下图。
 ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111843487c2.png)
 
 
## 用极坐标表示图像映射
 下面我们将要看到极坐标在分析映射的时候是多么的有用．
`例`用极坐标表示，那么 $w=z^2$ 可以写为

$$
w=r^2 e^{i 2 \theta}
$$

其中 $z=r e^{i \theta}$ 。因此如果 $w=\rho e^{i \phi}$ ，我们有 $\rho e^{i \phi}=r^2 e^{i 2 \theta}$ 并且我们有

$$
\rho=r^2, \quad \phi=2 \theta+2 k \pi
$$

这里 $k$ 取值为 $k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ ，很明显要找到每一个非零的 $z$ 的像，只要把 $z$ 的模平方，再把它的幅角 $\arg z$ 变为两倍即可。

可以观察到圆周 $r=r_0$ 上的点 $z=r_0 e^{i \theta}$ 被映为圆周 $\rho=r_0^2$ 上的点 $w=r_0^2 e^{i 2 \theta}$ ．因为第一个圆周上的点以逆时针的方向从正实轴向正虚轴移动（如图 19 所示），它的像的图形在第二个圆周上以逆时针的方向从正实轴向负实轴移动（参看图 19）。因此当 $r_0$ 取遍所有正实数，相应的 $z$ 和 $w$ 平面上的弧就可以分别盖满第一象限和上半平面。映射 $w=z^2$ 在平面的第一象限 $r \geqslant 0$ ， $0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 2$ 是一一对应的，并将其映为平面 $w$ 的上半平面 $r \geqslant 0,0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ ，如图 19 所示．点 $z$ $=0$ 自然地就被映为点 $w=0$ ．

![图片](/uploads/2025-01/135542.jpg)
 映射 $w=z^2$ 也将上半平面 $r \geqslant 0,0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ 映为整个 $w$ 平面．然而在这种情况下它不是一一对应的，这是由于 $z$ 平面上的正实轴和负实轴都被映为了 $w$ 平面上的正实轴．

当 $n$ 是一个大于 2 的整数的时候，映射 $w=z^n$（即 $\rho e^{i \phi}=r^n e^{i n \theta}$ ）的各种性质都和 $w=z^2$ 的性质相似．这样的一个映射把 $z$ 极坐标平面映为 $w$ 极坐标平面，且 $w$ 平面上的每一个非零点都是 $z$ 平面上 $n$ 个不同点的像．圆周 $r=r_0$ 被映为圆周 $\rho=r_0^n$ ；扇形 $r \leqslant r_0, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{2 \pi}{n}$ 被映为圆盘 $\rho \leqslant r_0^n$ ，且不是一一对应的

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