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极限与连续性

## 极限
**定义** 设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域 $0<\left|z-z_0\right|<\rho$ 内有定义,若存在复数 $A \neq \infty, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$, 使得

$$
\text { 当 } 0<\left|z-z_0\right|<\delta \text { 时, 有 }|f(z)-A|<\varepsilon,
$$

则称 $A$ 为函数 $w=f(z)$ 当 $z$ 趋向于 $z_0$ 时的极限, 记作

$$
\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=A \text { 或 } f(z) \rightarrow A\left(z \rightarrow z_0\right) .
$$

注 (1) 函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可以无定义;
(2) $z$ 趋向于 $z_0$ 的方式是任意的。

**几何意义**

当变点 $z$ 一旦进入 $z_0$ 的充分小的 $\delta$ 邻域时,它的像点 $f(z)$ 就落在 $A$ 的预先给定的 $\varepsilon$ 邻域内。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118634d4e1.png)

### 性质 
如果 $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=A, \lim _{z \rightarrow z_0} g(z)=B$, 则
(1) $\lim _{z \rightarrow z_0}[f(z) \pm g(z)]=A \pm B$,
(2) $\lim _{z \rightarrow z_0}[f(z) \cdot g(z)]=A \cdot B$,
(3) $\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B},(B \neq 0)$.

**定理** 设 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y), A=u_0+i v_0, z_0=x_0+i y_0$,则 $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=A \Leftrightarrow \lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} u(x, y)=u_0, \lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} v(x, y)=v_0$.

证明 必要性 “ $\Rightarrow$ " 如果 $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=A$, 则 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$,当 $0<\left|z-z_0\right|=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}<\delta$ 时,

$$
\begin{aligned}
& |f(z)-A|=\sqrt{\left(u-u_0\right)^2+\left(v-v_0\right)^2}<\varepsilon \\
\Rightarrow & \left|u-u_0\right|<\varepsilon,\left|v-v_0\right|<\varepsilon \\
\Rightarrow & \lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\
y \rightarrow y_0}} u(x, y)=u_0, \lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\
y \rightarrow y_0}} v(x, y)=v_0 .
\end{aligned}
$$

定理 设 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y), A=u_0+i v_0, z_0=x_0+i y_0$,
则 $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=A \Leftrightarrow \lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} u(x, y)=u_0, \lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} v(x, y)=v_0$.
则 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$, 当 $0<\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}<\delta$ 时,

$$
\begin{aligned}
& \left|u-u_0\right|<\varepsilon,\left|v-v_0\right|<\varepsilon, \\
\Rightarrow & |f(z)-A|=\sqrt{\left(u-u_0\right)^2+\left(v-v_0\right)^2}<\sqrt{2} \varepsilon, \\
\Rightarrow & \lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=A .
\end{aligned}
$$

- 关于含 $\infty$ 的极限作如下规定:
  (1) $\lim _{z \rightarrow \infty} f(z)=A \Leftrightarrow \lim _{z \rightarrow 0} f\left(\frac{1}{z}\right)=A$;
  (2) $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=\infty \Leftrightarrow \lim _{z \rightarrow z_0} \frac{1}{f(z)}=0$;
  (3) $\lim _{z \rightarrow \infty} f(z)=\infty \Leftrightarrow \lim _{z \rightarrow 0} \frac{1}{f\left(\frac{1}{z}\right)}=0$.
- 所关心的两个问题:
  (1) 如何证明极限存在? 放大技巧 $|f(z)-A| \leq g\left(\left|z-z_0\right|\right)$ 。
  (2) 如何证明极限不存在? 选择不同的路径进行攻击。

`例`讨论函数 $f(z)=\frac{\bar{z}}{z}$ 在 $z \rightarrow 0$ 的极限。
解 方法一

$$
\begin{aligned}
& f(z)=\frac{\bar{z}^2}{|z|^2}=\frac{x^2-y^2-i 2 x y}{x^2+y^2}, \\
& u(x, y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},
\end{aligned}
$$

当 $y=0, x \rightarrow 0$ 时, $u(x, y) \rightarrow 1$,
当 $x=0, y \rightarrow 0$ 时, $u(x, y) \rightarrow-1$,
因此极限不存在。
![图片](/uploads/2023-11/image_2023111856e3bb8.png)

解 方法二
 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311181b169bc.png)

$$
\begin{aligned}
& f(z)=\frac{x-i y}{x+i y}, \\
& \text { 当 } y=0, x \rightarrow 0 \text { 时 }, f(z) \rightarrow 1, \\
& \text { 当 } x=0, y \rightarrow 0 \text { 时, } f(z) \rightarrow-1,
\end{aligned}
$$

因此极限不存在。
方法三
 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118351b7ce.png)
沿着射线 $l_\alpha: z=r \mathrm{e}^{i \alpha}, r \rightarrow 0$,
$\lim _{\substack{z \in l_\alpha \\ z \rightarrow 0}} f(z)=\mathrm{e}^{i(-2 \alpha)}$, 与 $\alpha$ 有关, 因此极限不存在。

复变函数可以看成是二元的多元微分函数，所以在《高等数学》里学的二元函数的很多概念可以移植到复变函数里，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=375)

## 复变函数的连续性

若 $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=f\left(z_0\right)$, 则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点连续。若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处连续, 则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续。

注 (1) 连续的三个要素: $f\left(z_0\right)$ 存在; $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)$ 存在; 相等。
(2) 连续的等价表示:

$$
\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=f\left(z_0\right) \Leftrightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \Delta w=0 \Leftrightarrow \lim _{|\Delta z| \rightarrow 0}|\Delta w|=0 .
$$

其中, $\Delta z=z-z_0, \Delta w=f\left(z+z_0\right)-f\left(z_0\right)$.
通常说: 当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。
(3) 一旦知道函数连续, 反过来可以用来求函数的极限。

性质 (1) 在 $z_0$ 连续的两个函数 $f(z)$ 与 $g(z)$ 的和、差、积、商 (分母在 $\boldsymbol{z}_0$ 不为零) 在 $\boldsymbol{z}_0$ 处连续。
(2) 如果函数 $\xi=g(z)$ 在 $z_0$ 处连续, 函数 $w=f(\xi)$ 在 $\xi_0=g\left(z_0\right)$ 连续, 则函数 $w=f[g(\xi)]$ 在 $z_0$ 处连续。
(由基本初等函数的连续性可得初等函数的连续性)
(3) 如果函数 $f(z)$ 在有界闭区域 $\bar{D}$ 上连续, 则 - $|f(z)|$ 在 $\bar{D}$ 上必有界;

- $|f(z)|$ 在 $\bar{D}$ 上必能取到最大值与最小值;
  ○ $f(z)$ 在 $\bar{D}$ 上必一致连续。

`例` 讨论函数 $w=f(z)=|z|^2$ 的连续性。
解

$$
\begin{aligned}
& w=|z|^2=z \cdot \bar{z}, \\
& \begin{aligned}
|\Delta w| & =|(z+\Delta z)(\bar{z}+\overline{\Delta z})-z \cdot \bar{z}| \\
& =|\Delta z \cdot \bar{z}+\overline{\Delta z} \cdot z+\Delta z \cdot \overline{\Delta z}| \\
& \leq 2|\Delta z| \cdot|z|+|\Delta z|^2 \rightarrow 0, \text { (当 } \Delta z \rightarrow 0 \text { 时) }
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

故函数 $w=f(z)=|z|^2$ 处处连续。

### 定理
函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在 $z_0=x_0+i y_0$ 点连续的充要条件是 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点连续。
证明：(略)

例如 函数 $f(z)=\ln \left(x^2+y^2\right)+i\left(x^2-y^2\right)$ 在复平面内除原点外是处处连续的。
因为 $u(x, y)=\ln \left(x^2+y^2\right)$ 除原点外是处处连续的,而 $v(x, y)=x^2-y^2$ 是处处连续的。

## 复变函数连续性通俗理解

我们可以把《高等数学》例全微分的概念移到此处理解,详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=383)，  所谓复数的连续性，就是在定义域$z$内，走极小的一段距离$z+\Delta z$ 是通的，如下图

![图片](/uploads/2025-01/8b5132.jpg){width=500px}

作为特例，如下，因为有“㓊”，就是不连续的。
![图片](/uploads/2025-04/5871c4.jpg){width=500px}

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