最后更新: 2025-01-13 11:49 查看: 211 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

导数与微分

## 复变函数的导数

**定义** 设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 点的某邻域内有定义, $z_0+\Delta z$ 是 $z_0$ 的邻域内的任意一点, $\Delta w=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)$, 如果

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}
$$

存在，且有限的极限值 $\boldsymbol{A}$, 则称 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{z})$ 在 $\boldsymbol{z}_0$ 处可导, 且称 $\boldsymbol{A}$为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数, 记作 $f^{\prime}\left(z_0\right)$.

如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点都可导, 则称 $f(z)$在 $D$ 内可导, 此时即得 $f(z)$ 的导(函) 数 $f^{\prime}(z)$.

从几何上看，因为 $f$ 是在 $z_0$ 的整个邻域有定义的，所以当 $|\Delta z|$ 充分小的时候，$f\left(z_0+\Delta z\right)$ 总是有定义的
 ![图片](/uploads/2025-01/bf63bb.jpg)

`例`设 $f(z)=z^2$ ，在任意点 $z$

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0}(2 z+\Delta z)=2 z
$$

既然 $2 z+\Delta z$ 是关于 $\Delta z$ 的多项式，就有 $\frac{ d w}{d z}=2 z$ ，或者 $f^{\prime}(z)=2 z$ ．

## 复变函数的微分

定义 设函数 $w=f(z)$ 在 $z$ 点的某邻域内有定义, $z+\Delta z$ 是 $z$ 临域内一点，则

$$
\Delta w=f(z+\Delta z)-f(z)=A \Delta z+o(|\Delta z|),
$$

则称 $f(z)$ 在 $z$ 处可微, $A \Delta z$ 为微分, 记作 $\mathrm{d} w=A \Delta z$.

特别地, 有 $\mathbf{d} z=\Delta z$. (考虑函数 $w=f(z)=z$ 即可)

$$
\Rightarrow \mathrm{d} w=A \mathrm{~d} z \text {. }
$$

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微, 则称 $f(z)$ 在 $D$ 内可微。

导数反映的是 “变化率”；而微分更能体现 “逼近” 的思想。

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