最后更新: 2025-06-24 11:58 查看: 264 次反馈同步训练

复数的导数与微分

## 实数的导数
**重新考察实导数** 在通常的实数的微积分中，我们有一个很强有力的手段使一个由 $R$ 到 $R$ 的函数 $f$ 的导数 $f^{\prime}$ 可视化，即看作 $y=f(x)$ 的图像的斜率．见图 4－6a．不幸的是，由于我们没有对四维空间的想象力，画不出一个复函数的图像，因此无法容易推广复数导数这个特殊的概念．

为了成功地进行推广，我们首先简单地把两个坐标轴拆散，使图 $4－6a$ 变成图 $4-6 b$ 。注意，我们把两个$x,y$轴都画成了水平方向，即 $R$ 都画在水平方向上，预示着它们将仅仅被看作两个复平面的实轴．

![图片](/uploads/2025-06/0f42b6.jpg)

我们看到一阶导数 $ f^{\prime}(x) $ 描述的 $df=f'dx$ 意义是：

> 当 $x$ 点的无穷小向量增加$\Delta{x}$时，$y$的无穷小向量增加$f'(x) \Delta x$, 即像的伸缩倍数是原像的 $f'(x)$ 倍。

用更为代数化的语言来说，$f^{\prime}(x)$ 就是这样一个实数,初始向量一定要乘上它才能得到其象,示意图如下

![图片](/uploads/2025-06/4e6ca8.jpg)
 
如果 $f^{\prime}(x)>0$（图4－6b 就是这样的），正的 $d x$ 的象是正的 $d f$ ，如果 $f^{\prime}(x)<0$ ，则无穷小象向量 $d f$ 是负的，而且如图 4－7 那样指向左方．这时，可以这样来得到 $d f$ ：先把 $d x$ 按因子 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 伸缩，再旋转一个 $\pi$ 。如果我们把 $f^{\prime}(x)$ 看作 $C$ 的实轴上的一点，那么，当 $f^{\prime}(x)>0$ 时 $\arg \left[f^{\prime}(x)\right]=0$ ，当 $f^{\prime}(x)<0$ 时 $\arg \left[f^{\prime}(x)\right]=\pi$ ．这样，不论 $f^{\prime}(x)$ 是正还是负，我们看到 **$f$ 对 $x$ 处的无穷小向量 $d x$ 的局部效果都是先按因子 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 伸缩，再旋转一个角 $\arg \left[f^{\prime}(x)\right]$** 。

![图片](/uploads/2025-06/12ef85.jpg)
 
现在再用一个具体的例子说明上面导数的意义，假设 $y=x^2$，他的导数是$y'=2x$ 因此，当$x$ 增加$\Delta x$，那么$y$ 则增加2倍的 $\Delta x$，增加的方向为水平向右。 再看$y=-x^2$，他的导数为 $y'=-2x$ 因此，当$x$ 增加$\Delta x$， $y$ 也是增加2倍的$\Delta x$，但是增加的方向为水平向左，可以看成逆时针旋转$\pi$。这样，我们就把一元函数的导数可视化了。趁热打铁，可以把这种思想推广到复数导数。
 
 ##  复导数
考虑复映射 $f(z)$ 作用在由 $z$ 点发出的无穷小复数（请记住，复数就是平面向量）上的效果。它的象（即连接两个象点的复数）将是由 $f(z)$ 发出的一个无穷小复数．现在的图 4－8 就是图 4－6b 或图 4－7的推广．在右方我们用黑箭头来画复数的象，还把 $z$ 处原来的向量用空心箭头画在 $f(z)$ 处以便比较，现在需要的不仅是一个伸缩，还要一个旋转。从图 4－8 上看起来，我们必须把空心箭头长度放大到 r 倍，再旋转 $\theta$ 。**把这个情况与实函数情况对比，在实函数情况下旋转角只能是 0 或 $\pi$ ；在复函数时，我们需要的是任意角度的旋转．**

![图片](/uploads/2025-06/aa6eac.jpg)
 
 尽管如此,因为＂**伸缩与旋转**＂正是复数乘法的几何意义,所以，复导数 $f^{\prime}(z)$ 可以这样来引入，即:
 
> **复数的导数仍然是一个复数，这个复数的意义是我们必须用它来乘 $z$ 点处的无穷小复数，才能得到这个无穷小复数在 $f(z)$点的象**
 
 参考下图，$f'(z)$ 乘以 “→” 让他伸缩和旋转，最终变成了“↗”
  ![图片](/uploads/2025-06/153cef.jpg)
  
即：要想得出像的正确的效果，$f^{\prime}(z)$ 的长度必须为伸缩因子，而 $f^{\prime}(z)$ 的辐角必须为旋转角。例如在图 4－8 的 $z$ 点我们应有 $f^{\prime}(z)=2 e ^{ i (3 \pi / 4)}$ 。按照前面的思路，我们甚至不必区分局部变换与代表它的复数．

`例`下图以复函数：$z \rightarrow z^2$ 为例，可以看到当$z$进行微小变动时，他的局部像就是一个伸缩率为 $2 r$ 、扭转度为 $\theta$ 的伸扭，这个图像相当一般的使我们清楚了：若一个映射局部地是一个伸扭，则它自动地为共形的一一向量之间的角保持不变。

![图片](/uploads/2025-06/3d6f37.jpg){width=500px}
 
 
 
 
## 遇到的困难
为了求 $f^{\prime}(z)$ ，我们一直注视着 $z$ 点一个特定箭头的象，但是，（与 $R$ 的情况不同）这种箭头现在可能有无穷多个可能的方向．如果我们关注的箭头与图上画的那个方向不同，又当如何？

我们马上就遇到了麻烦，因为一个典型的映射将要如图 4－9 那样行事．很清楚，不同的箭头伸缩因子会不同，类似于此，每个箭头要达到自己的象也可能需要旋转不同的角度才行。虽然我们仍可使用一个复数来描述箭头的变换，但对不同的箭头它必须是不同的数．所以找不到单一的复数来使所有的箭头都旋转同样的角度。 这样一来，我们就走到了一个前景看似阴暗的绝地：典型的 $C$ 中的映射干脆就是不能微分的。

> 下图还可以有一个通俗理解：想象原点是一点灯光，你在原点沿任意方向走一个极小的距离$\Delta z$，当沿不同的方向走，等过射出的影子会有不同的伸缩比例或者旋转角度，我们称这种情况下$f(z)$是不可导的

![图片](/uploads/2025-06/a84b66.jpg)
 
## 解析函数
 作为对比，下面的导数是好的，可以看到你走极小的一段距离，他的像也变动同比例的极小距离，我们称呼这种复数为解析函数。

> 上面这句话还可以更通俗的理解：在原像走一个极小的圆周，则像也是走一个极小的圆轴。
 
  ![图片](/uploads/2025-06/3de456.jpg)
 
注意：上面说的是走的极小距离，这是极限思维或者说是局部思维，但是，若我们从一个无穷小圆周开始然后让它慢慢变大, 它的象一般地会扭曲起来而与圆周毫无相似之处，如下图.

![图片](/uploads/2025-06/a34ef3.jpg)

> 这有点类似高中物理中的“小孔成像”，阳光射向数木，不管树叶间的图形是什么图形，当孔径足够小，地面上的影子都是圆的。但是如果树叶间隙比较大，地面上的影子就会是空隙的形状。

上面铺陈了复数导数的意义，下面给出正式的定义。

## 复变函数的导数

**定义** 设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 点的某邻域内有定义, $z_0+\Delta z$ 是 $z_0$ 的邻域内的任意一点, $\Delta w=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)$, 如果

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}
$$

存在，且有限的极限值 $\boldsymbol{A}$, 则称 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{z})$ 在 $\boldsymbol{z}_0$ 处可导, 且称 $\boldsymbol{A}$为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数, 记作 $f^{\prime}\left(z_0\right)$.

如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点都可导, 则称 $f(z)$在 $D$ 内可导, 此时即得 $f(z)$ 的导(函) 数 $f^{\prime}(z)$.

从几何上看，因为 $f$ 是在 $z_0$ 的整个邻域有定义的，所以当 $|\Delta z|$ 充分小的时候，$f\left(z_0+\Delta z\right)$ 总是有定义的
 ![图片](/uploads/2025-01/bf63bb.jpg)

`例`设 $f(z)=z^2$ ，在任意点 $z$ 的导数。
解：
$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0}(2 z+\Delta z)=2 z
$$

既然 $2 z+\Delta z$ 是关于 $\Delta z$ 的多项式，就有 $\frac{ d w}{d z}=2 z$ ，或者 $f^{\prime}(z)=2 z$ ．

`例`求函数 $f(z)=x^2+2 i y^2$ 在点 $z=1+ i$ 处的导数．
解 因为

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(1+i+\Delta z)-f(1+i)}{\Delta z}=\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{2 \Delta x+4 i \Delta y+(\Delta x)^2+2 i(\Delta y)^2}{\Delta x+i \Delta y},
$$

令 $z$ 沿直线 $y-1=k(x-1)$ 趋于 $1+ i$ ，则 $\Delta y=k \Delta x$ ，那么上面的极限为

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \Delta x+4 i \Delta y+(\Delta x)^2+2 i(\Delta y)^2}{\Delta x+i \Delta y}=\frac{2+4 i k}{1+i k},
$$

等式右端的值随 $k$ 改变而改变，即极限结果依赖于 $z$ 趋于 $1+ i$ 的路径．所以原极限不存在，即 $f(z)=x^2+2 i y^2$ 在点 $z=1+ i$ 处不可导．

`例` 讨论函数 $f(z)=\operatorname{Im}(z)$ 的可导性．
解 因为

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\operatorname{Im}(z+\Delta z)-\operatorname{Im}(z)}{\Delta z}=\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta y}{\Delta x+i \Delta y},
$$

当 $\Delta z$ 沿着 $y=k x$ 趋于 0 时，有

$$
\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta y}{\Delta x+i \Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{k \Delta x}{\Delta x+i k \Delta x}=\frac{k}{1+i k},
$$

等式右端的值随 $k$ 改变而改变，即极限结果依赖于 $\Delta z$ 趋于零的路径．所以原极限不存在，即函数 $f(z)=\operatorname{Im}(z)$ 在整个复平面上处处不可导．

## 复变函数的可导与连续的关系
和高等数学中的结论一样，若函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处一定连续，但反过来不成立．

证明 $f(z)=\bar{z}$ 处处连续，但处处不可导。
证明 $\operatorname{Re}(f(z))=x, \operatorname{Im}(f(z))=-y$ 在复平面上处处连续，所以 $f(z)=\bar{z}$ 处处连续．但是

$$
\lim _{\Delta z

其他版本
【高等数学】导数的定义【高中数学】导数的意义-瞬时速度与图像切线

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：平移映射与旋转映射

下一篇：复数导数的几何意义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)