最后更新: 2025-11-07 10:32 查看: 356 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

复数的导数与微分

## 实数的导数
**重新考察实导数** 在通常的实数的微积分中，我们有一个很强有力的手段使一个由实数域 $R$ 到实数域 $R$ 的函数 $f$ 的导数 $f^{\prime}$ 可视化，即看作 $y=f(x)$ 的图像的斜率．见图 4－6a．不幸的是，由于我们没有对四维空间的想象力，画不出一个复函数的图像，因此无法容易推广复数导数这个特殊的概念．

为了成功地进行推广，我们首先简单地把实数坐标系里的$x,y$两个坐标轴拆散，使图 $4－6a$ 变成图 $4-6 b$ 。即：我们把原来互相垂直的$x,y$拆开，都画成水平方向。把他们都画在水平方向上，你可以理解它们将仅仅被看作两个复平面的实轴．

![图片](/uploads/2025-11/a6b1c7.jpg){width=550px}

我们看到一阶导数 $ f^{\prime}(x) $ 描述的 $df=f'(x)dx$ 意义是：

> **当你在$x$点走极小的距离$dx$后，你的像y将增加$f'(x)$dx, 即像的变化方向与你运动的方向相同，但是像的伸缩倍数是$f'(x)$倍**

一个向量（我们使用短箭头表示）一定要乘以$f'(x)$才能得到变化后的向量（我们使用长箭头表示），示意图如下

![图片](/uploads/2025-06/4e6ca8.jpg)
 
如果 $f^{\prime}(x)>0$（上图就是这样的），象$dy$的变化方向和原像$d(x)$相同 ，如果 $f^{\prime}(x)<0$ ，像$dy$的变化方向和原像$dx$的方向相反，参考下图 4－7 方向指向左方．

![图片](/uploads/2025-11/d5328d.jpg)

这时，可以这样来理解 $df$ ：先把 $d x$ 按因子 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 伸缩，再旋转一个$0$ 或 $\pi$ 角度 即可得到像 。

### 扩展思维
如果我们把 $f^{\prime}(x)$ 看作 $C$ 的实轴上的一点，那么，当 $f^{\prime}(x)>0$ 时 $\arg \left[f^{\prime}(x)\right]=0$ ，当 $f^{\prime}(x)<0$ 时 $\arg \left[f^{\prime}(x)\right]=\pi$ ．这样，不论 $f^{\prime}(x)$ 是正还是负，我们看到 **$f$ 对 $x$ 处的无穷小向量 $d x$ 的局部效果都是先按因子 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 伸缩，再旋转一个角 $\arg \left[f^{\prime}(x)\right]$** 。

现在再用一个具体的例子说明上面导数的意义，假设 $y=x^2$，他的导数是$y'=2x$ 因此，当$x$ 增加$\Delta x$，那么$y$ 则增加2倍的 $\Delta x$，增加的方向为水平向右。 再看$y=-x^2$，他的导数为 $y'=-2x$ 因此，当$x$ 增加$\Delta x$， $y$ 也是增加2倍的$\Delta x$，但是增加的方向为水平向左，可以看成逆时针旋转$\pi$。这样，我们就把一元函数的导数可视化了。

对于实数导数而言，他的旋转角度只能是$0$或者$\pi$，如果我们想旋转任意角呢？这就是复导数，趁热打铁，可以把这种思想推广到复数导数。
 
 ##  复导数
考虑复映射 $f(z)$ 作用在由 $z$ 点发出的无穷小复数（请记住，复数就是平面向量）上的效果。它的象（即连接两个象点的复数）将是由 $f(z)$ 发出的一个无穷小复数．现在的图 4－8 就是图4－7的推广．

在右方我们用蓝箭头来画复数的象，还把 $z$ 处原来的向量用空心箭头画在 $f(z)$ 处以便比较，现在需要的不仅是一个伸缩，还要一个旋转。从图 4－8 上看起来，我们必须把空心箭头长度放大到 r 倍，再旋转 $\theta$ 。**把这个情况与实函数情况对比，在实函数情况下旋转角只能是 0 或 $\pi$ ；在复函数时，我们需要的是任意角度的旋转．**
 ![图片](/uploads/2025-11/e5c967.jpg){width=550px}
  
 
 尽管如此,因为＂**伸缩与旋转**＂正是复数乘法的几何意义,所以，复导数 $f^{\prime}(z)$ 可以这样来引入，即:
 
> **复数的导数仍然是一个复数，这个复数的意义是我们必须用它来乘 $z$ 点处的无穷小复数，才能得到这个无穷小复数在 $f(z)$点的象**
 
 参考下图，$f'(z)$ 乘以 “→” 让他伸缩和旋转，最终变成了“↗”
  ![图片](/uploads/2025-06/153cef.jpg)
  
即：要想得出像的正确的效果，$f^{\prime}(z)$ 的长度必须为伸缩因子，而 $f^{\prime}(z)$ 的辐角必须为旋转角。例如在图 4－8 的 $z$ 点我们应有 $f^{\prime}(z)=2 e ^{ i (3 \pi / 4)}$ 。按照前面的思路，我们甚至不必区分局部变换与代表它的复数．

### 遇到的困难
为了求 $f^{\prime}(z)$ ，我们一直注视着 $z$ 点一个特定箭头的象，但是，这种箭头现在可能有无穷多个可能的方向．如果我们关注的箭头与图上画的那个方向不同，又当如何？

我们马上就遇到了麻烦，因为一个典型的映射将要如图 4－9 那样行事．很清楚，不同的箭头伸缩因子或旋转角度都可能不同。虽然我们仍可使用一个复数来描述每个箭头的变换，但对不同的箭头它必须是不同的复数．换句话说我们找不到单一的复数来使所有的箭头都旋转同样的角度。 这样一来，我们就走到了一个前景看似阴暗的绝地：典型的 $C$ 中的映射干脆就是不能微分的。

![图片](/uploads/2025-06/a84b66.jpg)
 
## 解析函数
 作为对比，下面的导数是好的，可以看到你走极小的一段距离，他的像也变动同比例的极小距离，我们称呼这种复数为**解析函数**。

假设$z=f(z)$的导数是 $f'(z)=3e^{\frac{\pi}{10}}i$ ,这是什么意思呢？参考下图
当你沿着$z$移动到$ZA$时，你的像将放大3倍，同时A'像的方向将旋转$\frac{\pi}{10}$ (这里的角度是以$ZA$角度为基准)，同样当你沿着$z$移动到$ZB$时，你的像也将放大3倍，同时B'像的方向也将旋转$\frac{\pi}{10}$ (这里的角度是以$ZB$角度为基准)，同样C点也是。

换句话说，如果一个函数是解析函数，你在Z平面走极小的$\Delta z$，那么你的像将在W平面变换为$\Delta W= f'(z) \Delta z$

![图片](/uploads/2025-11/cdf7c1.jpg)
  
 
注意：上面说的是走的极小距离，这是极限思维或者说是局部思维，但是，若我们从一个无穷小圆周开始然后让它慢慢变大, 它的象一般地会扭曲起来而与圆周毫无相似之处，如下图.

![图片](/uploads/2025-06/a34ef3.jpg)

> 这有点类似高中物理中的“小孔成像”，阳光射向数木，不管树叶间隙的图形是什么图形，当孔径足够小，地面上的间隙影子都是圆的。但是如果树叶间隙比较大，地面上的间隙影子就会变成空隙的形状。

其他版本
【高中数学】导数的意义-瞬时速度与图像切线【高等数学】导数的定义

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：平移映射与旋转映射

下一篇：复数导数的几何意义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)