最后更新: 2025-06-26 07:04 查看: 411 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

可导与可微以及连续之间的关系

## 复变函数的微分
与实数导数的情形一样，复变函数的微分定义，形式上与一元实函数的微分定义完全一致。
定义  设函数 $w=f(z)$ 的定义域为 $D, z_0 \in D$ ，点 $z_0+\Delta z$ 在 $D$ 内．若存在复数 $\alpha$ 使得

$$
\Delta w=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)=\alpha \Delta z+\rho(\Delta z) \Delta z,
$$

其中 $\rho(\Delta z)$ 是 $\Delta z \rightarrow 0$ 时的无穷小量，即 $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \rho(\Delta z)=0$ ，则称函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处可微，$\alpha \Delta z$ 称为函数 $w=f(z)$ 在点 $z_0$ 处的微分，记作 $d w=\alpha \Delta z$ 。

类似于实变量函数，复变函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处可导与在 $z_0$ 处可微是等价的，并且 $d w=f^{\prime}\left(z_0\right) \Delta z=f^{\prime}\left(z_0\right) d z$ 。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微，则称 $f ( z )$ 在区域 $D$ 内可微．

##  可导与可微以及连续之间的关系
   (1) 可导 $\rightleftarrows$ 可微
   如果可导 $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=f^{\prime}(z) \Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z}{\Delta z}=0$
   $\Rightarrow \Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z=o(|\Delta z|) \Rightarrow$ 可微;
   如果可微 $\Rightarrow \Delta w=A \Delta z+o(|\Delta z|) \Rightarrow \frac{\Delta w}{\Delta z}=A+\frac{o(|\Delta z|)}{\Delta z}$
   $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=A=f^{\prime}(z) \Rightarrow$ 可导。
   由此可得 $\mathrm{d} w=f^{\prime}(z) \mathrm{d} z$ 即 $f^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}$.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311180c2d2ff.png)

`例`求下列函数的的导数 $f(z)=z^2$;

解 (1)

$$
\text { 由 } \begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} & \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\
& =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{2 z \Delta z+(\Delta z)^2}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0}(2 z+\Delta z)=2 z,
\end{aligned}
$$

得 $f^{\prime}(z)=\left(z^2\right)^{\prime}=2 z$.
同理可得 $\left(z^n\right)^{\prime}=n z^{n-1},(n$ 为正整数 $)$;
$(C)^{\prime}=0,(C$ 为复常数)。

## 理解 可导、可微和连续性关系

在复变函数中，**可导**、**可微**和**连续**之间的关系可以这样通俗理解：

1.**连续**  
   复变函数在某点连续，意味着函数在该点“没有突变”，就像实函数中连续一样。这是最基础的条件。

2.**可导**（复可导）  
   复变函数的可导比实函数严格得多。它要求函数在某点沿**所有方向**的极限变化率（导数）都存在且相等。例如，沿水平方向和垂直方向的导数必须一致。通俗比喻 就像站在一个光滑的球面上，无论从哪个方向看，局部都是“一样的斜率”。

3.**可微**  
   在复变函数中，**可导和可微是等价的**（与二元实函数不同，点击查看 [实数全微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=383)）。 二元实函数可微是指我们可以用切平面替代曲面，复函数可微是除了可以用切平面替代曲面还要满足柯西黎曼方程。 （即实部和虚部满足某种协调性）。

4. **关系总结**  
   - **可导 ⇒ 连续**：可导的函数一定连续（因为可导要求极限存在，自然连续）。  
   - **可微 ⇔ 可导**：复变函数中两者是一回事。  
   - **连续 ⇏ 可导**：连续函数可能在某些方向导数不一致，从而不可导（例如 $ f(z) = \bar{z} $ 处处连续但处处不可导）。

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