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可导与可微以及连续之间的关系

## 复变函数的微分
与实数导数的情形一样，复变函数的微分定义，形式上与一元实函数的微分定义完全一致。
定义  设函数 $w=f(z)$ 的定义域为 $D, z_0 \in D$ ，点 $z_0+\Delta z$ 在 $D$ 内．若存在复数 $\alpha$ 使得

$$
\Delta w=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)=\alpha \Delta z+\rho(\Delta z) \Delta z,
$$

其中 $\rho(\Delta z)$ 是 $\Delta z \rightarrow 0$ 时的无穷小量，即 $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \rho(\Delta z)=0$ ，则称函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处可微，$\alpha \Delta z$ 称为函数 $w=f(z)$ 在点 $z_0$ 处的微分，记作 $d w=\alpha \Delta z$ 。

类似于实变量函数，复变函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处可导与在 $z_0$ 处可微是等价的，并且 $d w=f^{\prime}\left(z_0\right) \Delta z=f^{\prime}\left(z_0\right) d z$ 。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微，则称 $f ( z )$ 在区域 $D$ 内可微．

##  可导与可微以及连续之间的关系
   (1) 可导 $\rightleftarrows$ 可微
   如果可导 $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=f^{\prime}(z) \Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z}{\Delta z}=0$
   $\Rightarrow \Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z=o(|\Delta z|) \Rightarrow$ 可微;
   如果可微 $\Rightarrow \Delta w=A \Delta z+o(|\Delta z|) \Rightarrow \frac{\Delta w}{\Delta z}=A+\frac{o(|\Delta z|)}{\Delta z}$
   $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=A=f^{\prime}(z) \Rightarrow$ 可导。
   由此可得 $\mathrm{d} w=f^{\prime}(z) \mathrm{d} z$ 即 $f^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}$.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311180c2d2ff.png)

`例`求下列函数的的导数 $f(z)=z^2$;

解 (1)

$$
\text { 由 } \begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} & \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\
& =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{2 z \Delta z+(\Delta z)^2}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0}(2 z+\Delta z)=2 z,
\end{aligned}
$$

得 $f^{\prime}(z)=\left(z^2\right)^{\prime}=2 z$.
同理可得 $\left(z^n\right)^{\prime}=n z^{n-1},(n$ 为正整数 $)$;
$(C)^{\prime}=0,(C$ 为复常数)。

## 理解 可导、可微和连续性关系

在复变函数中，**可导**、**可微**和**连续**之间的关系可以这样通俗理解：

1.**连续**  
   复变函数在某点连续，意味着函数在该点“没有突变”，就像实函数中连续一样。这是最基础的条件。

2.**可导**（复可导）  
   复变函数的可导比实函数严格得多。它要求函数在某点沿**所有方向**的极限变化率（导数）都存在且相等。例如，沿水平方向和垂直方向的导数必须一致。通俗比喻 就像站在一个光滑的球面上，无论从哪个方向看，局部都是“一样的斜率”。

3.**可微**  
   在复变函数中，**可导和可微是等价的**（与二元实函数不同，点击查看 [实数全微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=383)）。 二元实函数可微是指我们可以用切平面替代曲面，复函数可微是除了可以用切平面替代曲面还要满足柯西黎曼方程。 （即实部和虚部满足某种协调性）。

4. **关系总结**  
   - **可导 ⇒ 连续**：可导的函数一定连续（因为可导要求极限存在，自然连续）。  
   - **可微 ⇔ 可导**：复变函数中两者是一回事。  
   - **连续 ⇏ 可导**：连续函数可能在某些方向导数不一致，从而不可导（例如 $ f(z) = \bar{z} $ 处处连续但处处不可导）。

**类比**：  
- 实函数中，可导像“光滑曲线”；复函数中，可导像“光滑的曲面”，且实部虚部像拼图一样严丝合缝（柯西-黎曼条件）。  
- 连续但不可导的例子：像粗糙的石头表面，连续但某些方向有“棱角”。

简单说：**复可导 ≈ 可微 ≫ 连续**，但复可导的要求比实函数高得多！

`例`求下列函数的的导数 $f(z)=z^2$; 
解

$$
\begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} & \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{z+\Delta z}-\frac{1}{z}}{\Delta z} \\
& =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{-1}{z(z+\Delta z)}=-\frac{1}{z^2} .
\end{aligned}
$$

得 $f^{\prime}(z)=\left(\frac{1}{z}\right)^{\prime}=-\frac{1}{z^2}$.

`例`下面考虑函数 $f(z)=|z|^2$ 得导数。
解：根据倒数的定义，这里

$$
\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{|z+\Delta z|^2-|z|^2}{\Delta z}=\frac{(z+\Delta z)(\bar{z}+\overline{\Delta z})-\bar{z}}{\Delta z}=\bar{z}+\overline{\Delta z}+z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} ...(1)
$$

如果 $\frac{\Delta w}{\Delta z}$ 的极限存在，那么我们可以让点 $\Delta z=(\Delta x, \Delta y)$ 以任意的方式趋向于原点来求得极限．

![图片](/uploads/2025-01/14fea4.jpg)
 
 
为此我们选择两个特殊的路径，实轴和虚轴，无线逼近函数。

①当 $\Delta z$ 在实轴上通过点（ $\Delta x, 0$ ）水平地趋向于原点（见图 29），

$$
\overline{\Delta z}=\overline{\Delta x+i 0}=\Delta x-i 0=\Delta x+i 0=\Delta z
$$

在这样的情况下（1）式就等于

$$
\frac{\Delta w}{\Delta z}=\bar{z}+\overline{\Delta z}+z
$$

因此如果 $\frac{\Delta w}{\Delta z}$ 的极限存在，它的值必为 $\bar{z}+z$ ．

②当 $\Delta z$ 沿虚轴通过点 $(0, \Delta y)$ 竖直地趋向原点，则

$$
\overline{\Delta z}=\overline{0+i \Delta y}=-(0+i \Delta y)=-\Delta z
$$

我们根据（1）式就可以得到
$$
\frac{\Delta w}{\Delta z}=\bar{z}+\overline{\Delta z}-z
$$

因此，如果极限存在，必为 $\bar{z}-z$ ．因为极限是唯一的 ，可得

$$
\bar{z}+z=\bar{z}-z
$$

即 $z=0$ 。
也就说，如果 $\frac{ d w}{d z}$ 存在的话，只有$z=0$这唯一的一点满足要求，其他点并不可导。

下面我们证明在 $z=0, \frac{d w}{d z}$ 存在，实际上，我们可以观察到当 $z=0$ 时，$\frac{\Delta w}{\Delta z}$ 变为 $\overline{\Delta z}$ ，由此可知当且仅当 $z=0, \frac{d w}{d z}$ 存在且为 0 ．

> 上例表明一个函数可以在某个点可导，但是在这个点的任意邻域都不可导．

因为 $f(z)=$ $|z|^2$ 的实部和虚部分别为

$$
u(x, y)=x^2+y^2 \quad \text { 和 } \quad v(x, y)=0...(4)
$$
  
所以，这个例子也表明：即使一个函数在某个点有任意阶的连续的偏导数，它也未必在该点可导．

函数 $f(z)=|z|^2$ 在复平面上每一点都是连续的，因为它的(4)中的每一个分量都是连续的。 **所以函数的连续性不可以保证其可导性**，但是**如果函数在某个点是可导的，那么它在该点一定是连续的**，为了表明这一点，我们设 $f^{\prime}(z)$ 存在并且写为如下的形式

$$
\lim _{z \rightarrow z_0}\left[f(z)-f\left(z_0\right)\right]=\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f\left(z_0\right)}{z-z_0} \lim _{z \rightarrow z_0}\left(z-z_0\right)\left\lfloor f^{\prime}\left(z_0\right) \cdot 0=0\right.
$$

由此可以得到

$$
\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=f\left(z_0\right)
$$

这就是 $f$ 在 $z_0$ 的连续的定义

##  复变函数的实部函数  与虚部函数 
复变函数不仅可以记为 $f(z)$ 。因为自变量和应变量都是复数，我们可以用复数的坐标形式（即 $x + yi$ 这种形式）来表示它们，并研究它们的性质。

我们记自变量 $z=x+y i$ ，函数值 $f(z)=u+v i$ ，其中 $x, y$ ，$u$ ，v均是实数。用 $x$ 与 $y$ 的值可以决定 $z$ 的值，继而决定 $f(z)$ 的值，继而决定 $u$ 与 $v$ 的值，因此在确定复变函数 $f(z)$ 的情况下，$u$ 和 $v$ 都是关于 $x$ 和 $y$ 的实二元函数，那么 $f(z)$ 就可以记为 $f(z)=u(x, y)+v(x, y)$ i．我们称 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 分别是 $f(z)$ 的实部函数和虚部函数。

图6是实部函数与虚部函数的几何意义：

![图片](/uploads/2025-05/256ef6.jpg){width=400px}
 图6 f(z)的u与v
 
 如果f(z)可导，二元函数u和v会有什么性质呢？
 
 
 ### 可微性
  ![图片](/uploads/2025-05/2dd741.jpg){width=500px}
  图7 增量的正交分解
  
  如图7所示，自变量 $z$ 有增量 $\Delta z=\Delta x+i \Delta y$ ，应变量 f 也有相应的增量 $\Delta f$ 。如果 $f ^{\prime}( z )$ 存在，有

$$
\begin{aligned}
\Delta f & =f^{\prime}(z) \Delta z+o(\Delta z) \\
& =\Delta f_x+\Delta f_y+o(\Delta z) \\
& =\Delta u_x+i \Delta v_x+\Delta u_y+i \Delta v_y+o(\Delta z) \\
& =\Delta u+i \Delta v
\end{aligned}
$$

其中 $\Delta f_x$ 是由 $\Delta x$ 带来的增量，$\Delta f_y$ 是由 $\Delta y$ 带来的增量。
记 $f^{\prime}(z)=k \angle \theta$ ，即 k 为伸缩率，$\theta$ 为转动角，根据保形性，可得

$$
\begin{aligned}
& \Delta f_x=\Delta x \times k \angle \theta=k \Delta x \angle \theta=\Delta x f^{\prime}(z) \\
& \Delta f_y=i \Delta y \times k \angle \theta=k \Delta y \angle\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=i \Delta y f^{\prime}(z)
\end{aligned}
$$

记 $\rho=|\Delta z|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，可得
$$
\begin{aligned}
\Delta u & =\Delta u_x+\Delta u_y+\Re o(\Delta z) \\
& =\Re\left(\Delta f_x+\Delta f_y+o(\Delta z)\right) \\
& =k \Delta x \cos \theta-k \Delta y \sin \theta+o(\rho) \\
& =\Delta x \Re f^{\prime}(z)-\Delta y \Im f^{\prime}(z)+o(\rho) \\
\Delta v & =\Delta v_x+\Delta v_y+\Im o(\Delta z) \\
& =\Im\left(\Delta f_x+\Delta f_y+o(\Delta z)\right) \\
& =k \Delta x \sin \theta+k \Delta y \cos \theta+o(\rho) \\
& =\Delta x \Im f^{\prime}(z)+\Delta y \Re f^{\prime}(z)+o(\rho)
\end{aligned}
$$

其中符号 $\Re$ 表示取实部（相当于 Re ），符号 $I$ 表示取虚部（相当于Im）。
因此，根据二元函数可微的定义，u和v都具有可微性。

## 柯西－黎曼方程

根据二元函数微分的性质，由上式可得

$$
\Re f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \Im f^{\prime}(z)=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}
$$

于是我们称 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}\right.$ 为柯西－黎曼方程（Cauchy－Riemann Equations），简称为C－ R 方程。

实际上，可以证明：两个可微二元实函数 $u ( x , y )$ 和 $v ( x , y )$ 构成的复变函数 $f = u + vi$ 在区域 D 内解析的充要条件是 $u$ 和 $v$ 在 $D$ 内满足 $C-R$ 方程。

C-R方程可以更轻松地导出，便于记忆。
 ![图片](/uploads/2025-05/02eb6f.jpg)
 图8 C-R方程更轻松的导出
 
 
 如图8所示，指定 $\Delta z$ 为沿着x轴（图8左）和沿着y轴（图8右）的两个特殊方向。当 $\Delta x=\Delta y$ 时，根据保形性，两个紫色直角三角形近似全等，于是

$$
\Delta u_x \approx \Delta v_y, \frac{\Delta u_x}{\Delta x} \approx \frac{\Delta v_y}{\Delta y}
$$

取 $\Delta x=\Delta y \rightarrow 0$ 的极限即可得到 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ ．同理可得 $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$ ．
注意，本例中 $\Delta u_y$ 是负的，故计算三角形边长的时候要加个负号。当 $\Delta f$ 取其他方向的时候可以类似讨论。

**问：为什么C－R方程里面有个负号？为什么函数 $u$ 和 $v$ 不是对称的？**

直观上来说，C－R方程的基础是复变函数的保形性，其中包括旋转不变性。而旋转对称本身就不是关于 $x$ 和 $y$ 坐标对称的。旋转在复数中可用乘法来表示，任何一个复数乘以实数单位元 1 会停留在原处，而乘以虚数单位元测会绕原点正向旋转 $90^{\circ}$ ，这就是旋转关于坐标轴的不对称性的一个体现。

对于解析的复变函数而言，$u$ 是实部函数，而 $v$ 是虚部函数，因为 $x$ 和 $y$ 坐标旋转不对称，它们自然也不对称。

相对地，关于 x 和 y 坐标对称的变换，是关于直线 $y = x$ 轴对称的这种形式。

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