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复变函数论
第四篇 解析函数
可导与可微以及连续之间的关系
日期:
2023-11-18 10:19
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可导与可微以及连续之间的关系
3. 可导与可微以及连续之间的关系 (1) 可导 $\rightleftarrows$ 可微 如果可导 $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=f^{\prime}(z) \Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z}{\Delta z}=0$ $\Rightarrow \Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z=o(|\Delta z|) \Rightarrow$ 可微; 如果可微 $\Rightarrow \Delta w=A \Delta z+o(|\Delta z|) \Rightarrow \frac{\Delta w}{\Delta z}=A+\frac{o(|\Delta z|)}{\Delta z}$ $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=A=f^{\prime}(z) \Rightarrow$ 可导。 由此可得 $\mathrm{d} w=f^{\prime}(z) \mathrm{d} z$ 即 $f^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}$.  例 求下列函数的的导数。 (1) $f(z)=z^2$; (2) $f(z)=\frac{1}{z}$. 解 (1) $$ \text { 由 } \begin{aligned} \lim _{\Delta z \rightarrow 0} & \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\ & =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{2 z \Delta z+(\Delta z)^2}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0}(2 z+\Delta z)=2 z, \end{aligned} $$ 得 $f^{\prime}(z)=\left(z^2\right)^{\prime}=2 z$. 同理可得 $\left(z^n\right)^{\prime}=n z^{n-1},(n$ 为正整数 $)$; $(C)^{\prime}=0,(C$ 为复常数)。 例 求下列函数的的导数。 (1) $f(z)=z^2$; (2) $f(z)=\frac{1}{z}$. 解 (2) $$ \begin{aligned} \lim _{\Delta z \rightarrow 0} & \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{z+\Delta z}-\frac{1}{z}}{\Delta z} \\ & =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{-1}{z(z+\Delta z)}=-\frac{1}{z^2} . \end{aligned} $$ 得 $f^{\prime}(z)=\left(\frac{1}{z}\right)^{\prime}=-\frac{1}{z^2}$.
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