最后更新: 2025-01-13 11:50 查看: 257 次反馈刷题

可导与可微以及连续之间的关系

##  可导与可微以及连续之间的关系
   (1) 可导 $\rightleftarrows$ 可微
   如果可导 $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=f^{\prime}(z) \Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z}{\Delta z}=0$
   $\Rightarrow \Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z=o(|\Delta z|) \Rightarrow$ 可微;
   如果可微 $\Rightarrow \Delta w=A \Delta z+o(|\Delta z|) \Rightarrow \frac{\Delta w}{\Delta z}=A+\frac{o(|\Delta z|)}{\Delta z}$
   $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=A=f^{\prime}(z) \Rightarrow$ 可导。
   由此可得 $\mathrm{d} w=f^{\prime}(z) \mathrm{d} z$ 即 $f^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}$.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311180c2d2ff.png)

`例`求下列函数的的导数 $f(z)=z^2$;

解 (1)

$$
\text { 由 } \begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} & \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\
& =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{2 z \Delta z+(\Delta z)^2}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0}(2 z+\Delta z)=2 z,
\end{aligned}
$$

得 $f^{\prime}(z)=\left(z^2\right)^{\prime}=2 z$.
同理可得 $\left(z^n\right)^{\prime}=n z^{n-1},(n$ 为正整数 $)$;
$(C)^{\prime}=0,(C$ 为复常数)。

`例`求下列函数的的导数 $f(z)=z^2$; 
解

$$
\begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} & \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{z+\Delta z}-\frac{1}{z}}{\Delta z} \\
& =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{-1}{z(z+\Delta z)}=-\frac{1}{z^2} .
\end{aligned}
$$

得 $f^{\prime}(z)=\left(\frac{1}{z}\right)^{\prime}=-\frac{1}{z^2}$.

`例`下面考虑函数 $f(z)=|z|^2$ 得导数。
解：根据倒数的定义，这里

$$
\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{|z+\Delta z|^2-|z|^2}{\Delta z}=\frac{(z+\Delta z)(\bar{z}+\overline{\Delta z})-\bar{z}}{\Delta z}=\bar{z}+\overline{\Delta z}+z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} ...(1)
$$

如果 $\frac{\Delta w}{\Delta z}$ 的极限存在，那么我们可以让点 $\Delta z=(\Delta x, \Delta y)$ 以任意的方式趋向于原点来求得极限．

![图片](/uploads/2025-01/14fea4.jpg)
 
 
为此我们选择两个特殊的路径，实轴和虚轴，无线逼近函数。

①当 $\Delta z$ 在实轴上通过点（ $\Delta x, 0$ ）水平地趋向于原点（见图 29），

$$
\overline{\Delta z}=\overline{\Delta x+i 0}=\Delta x-i 0=\Delta x+i 0=\Delta z
$$

在这样的情况下（1）式就等于

$$
\frac{\Delta w}{\Delta z}=\bar{z}+\overline{\Delta z}+z
$$

因此如果 $\frac{\Delta w}{\Delta z}$ 的极限存在，它的值必为 $\bar{z}+z$ ．

②当 $\Delta z$ 沿虚轴通过点 $(0, \Delta y)$ 竖直地趋向原点，则

$$
\overline{\Delta z}=\overline{0+i \Delta y}=-(0+i \Delta y)=-\Delta z
$$

我们根据（1）式就可以得到
$$
\frac{\Delta w}{\Delta z}=\bar{z}+\overline{\Delta z}-z
$$

因此，如果极限存在，必为 $\bar{z}-z$ ．因为极限是唯一的 ，可得

$$
\bar{z}+z=\bar{z}-z
$$

即 $z=0$ 。
也就说，如果 $\frac{ d w}{d z}$ 存在的话，只有$z=0$这唯一的一点满足要求，其他点并不可导。

下面我们证明在 $z=0, \frac{d w}{d z}$ 存在，实际上，我们可以观察到当 $z=0$ 时，$\frac{\Delta w}{\Delta z}$ 变为 $\overline{\Delta z}$ ，由此可知当且仅当 $z=0, \frac{d w}{d z}$ 存在且为 0 ．

> 上例表明一个函数可以在某个点可导，但是在这个点的任意邻域都不可导．

因为 $f(z)=$ $|z|^2$ 的实部和虚部分别为

$$
u(x, y)=x^2+y^2 \quad \text { 和 } \quad v(x, y)=0...(4)
$$
  
所以，这个例子也表明：即使一个函数在某个点有任意阶的连续的偏导数，它也未必在该点可导．

函数 $f(z)=|z|^2$ 在复平面上每一点都是连续的，因为它的(4)中的每一个分量都是连续的。 **所以函数的连续性不可以保证其可导性**，但是**如果函数在某个点是可导的，那么它在该点一定是连续的**，为了表明这一点，我们设 $f^{\prime}(z)$ 存在并且写为如下的形式

$$
\lim _{z \rightarrow z_0}\left[f(z)-f\left(z_0\right)\right]=\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f\left(z_0\right)}{z-z_0} \lim _{z \rightarrow z_0}\left(z-z_0\right)\left\lfloor f^{\prime}\left(z_0\right) \cdot 0=0\right.
$$

由此可以得到

$$
\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=f\left(z_0\right)
$$

这就是 $f$ 在 $z_0$ 的连续的定义

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