最后更新: 2025-06-26 06:51 查看: 310 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

解析函数

> 解析函数（也称为全纯函数）是一个要求相当高的复变函数，假设一个解析函数可以写成$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$，如果你认为随便给一个$u$和$v$,那么大概率他就不是解析函数。

## 解析函数
**定义**（1）如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点以及 $z_0$ 点的邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析；
（2）如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点解析，则称 $f(z)$在区域 $D$ 内解析，或者称 $f(z)$ 是 $D$ 内的**解析函数(analytic function)**。

**奇点** 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点不解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。

**关系** 
(1)点可导 推不出点解析，但是点解析可以推出点可导。
(2) 区域可导可以推出区域解析，区域解析也可以推出区域可导。

解析函数有2个等价定义：
### **柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）**  
   设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中 $z = x + iy$，$u$ 和 $v$ 是实函数。若 $f(z)$ 在 $D$ 内连续可微，且满足：
   $$
   \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
   $$
   则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析

###  **可微性**  
   若 $f(z)$ 在 $D$ 内每一点都可微（即复导数存在），则它在 $D$ 内解析。

### **局部幂级数展开**
函数 $ f(z) $在 $ z_0 $ 点解析当且仅当它在 $z_0$的某个邻域内可以表示为收敛的幂级数：
  $$
   f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n
$$

解析函数具有许多优美而强大的性质,包括：
无限可微性：解析函数在其定义域内具有各阶导数。
保角性：解析函数在导数不为零的点处保持角度和方向。
最大模原理：非常数的解析函数在区域内的内点处不能达到其模的最大值。
柯西积分定理：沿简单闭曲线的积分为零。
唯一性定理：如果两个解析函数在区域内的一个收敛点列上相等，则它们在整个区域内相等。
刘维尔定理：在整个复平面上有界的解析函数必为常数。

我们将从两个角度理解解析函数。

## 如何理解解析函数（1）--共形映射
考虑复映射f(z) 作用在由z 点发出的无穷小复数（请记住,复数就是平面向量）上的效果.它的象（即连接两个象点的复数）将是由f(z)发出的一个无穷小复数. 理解这种变换可以想象中学阶段在物理课上学习的凸透镜成像。

![图片](/uploads/2025-06/344fc5.jpg){width=500px}

在 [复数导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=847) 里，我们说过，所谓“成像”就是对原图进行旋转和缩放。

![图片](/uploads/2025-06/ab95c7.jpg)
 
如图4-8，在右方我们用黑箭头来画复数的象, 还把 $z$ 处原来的向量用空心箭头画在$f(z)$处以便比较, 现在需要的**不仅是一个伸缩,还要一个旋转**. 从图4-8上看起来,我们必须把空心箭头长度放大到$2$倍,再旋转($3\pi /4$). 把这个情况与实函数情况对比,在实函数情况下旋转角只能是0或; 在复函数时,我们需要的是任意角度的旋转。

所以，复导数$f(z)$可以这样来引入,即它是这样一个复数,我们必须用它来乘z点处的无穷小复数,才能得到这个无穷小复数在f(z)点的象：

为了求 $f^{\prime}(z)$ ，我们一直注视着 $z$ 点一个特定箭头的象，但是，（与 $R$ 的情况不同）这种箭头现在可能有无穷多个可能的方向．如果我们关注的箭头与图上画的那个方向不同，又当如何？

我们马上就遇到了麻烦，因为一个典型的映射 将要如图 4－9 那样行事．很清楚，不同的箭头伸缩因子会不同，类似于此，每个箭头要达到自己的象也可能需要旋转不同的角度才行。虽然我们仍可在（4．4）中使用一个复数来描述箭头的变换，但对不同的箭头它必须是不同的数．所以找不到单一的复数来使所有的箭头都旋转同样的角度．在能够找到一个复数使得 成立时，就认为它是 $f$ 在 $z$ 点的这种导数，并记它为 $f^{\prime}(z)^{(2)}$ ．但是这样一来，我们就走到了一个前景看似阴暗的绝地：典型的 $C$ 中的映射干脆就是不能微分的．

![图片](/uploads/2025-06/8c9bc6.jpg)
  
###  解析函数
由前面的讨论可知：$p$ 点处的解析映射就是那些其局部效果是伸扭的映射：**即在 $p$ 的某个开邻域的每一点处，由一点发出的无穷小复数都按同样的伸缩率和旋转度被伸缩与旋转。**

解析映射的效果可以从图 4－1

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