最后更新: 2025-01-13 12:17 查看: 228 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

解析函数

## 解析函数
### 点解析与奇点
**定义**（1）如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点以及 $z_0$ 点的邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析；
（2）如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点解析，则称 $f(z)$在区域 $D$ 内解析，或者称 $f(z)$ 是 $D$ 内的**解析函数(analytic function)**。

**奇点** 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点不解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。

**关系** (1)点可导推不出点解析，但是点解析可以推出点可导。
(2) 区域可导可以推出区域解析，区域解析也可以推出区域可导。

### 性质
(1) 在区域 $D$ 内解析的两个函数 $f(z)$ 与 $g(z)$ 的和、差、积、商 (除去分母为零的点) 在 $\boldsymbol{D}$ 内解析。
(2) 如果函数 $\xi=g(z)$ 在 $z$ 平面上的区域 $\mathrm{D}$ 内解析,函数 $\boldsymbol{w}=\boldsymbol{f}(\xi)$ 在 $\xi$ 平面上的区域 $G$ 内解析,且对 $D$ 内的每一点 $z$, 函数 $g(z)$ 的值都属于 $G$,则复合函数 $w=f[g(\xi)]$ 在 $D$ 内解析。

`例`求函数 $f(z)=\frac{z+3}{4 z^2-1}$ 的解析区域及在该区域上的导数。

解 设 $P(z)=z+3, Q(z)=4 z^2-1$, 由函数 $z^n$ 的解析性以及求导法则可知:
当 $Q(z) \neq 0$ 时, $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ 解析,又方程 $Q(z)=4 z^2-1=0$ 的根是 $z= \pm \frac{1}{2}$,
因此在全平面除去点 $z= \pm \frac{1}{2}$ 的区域内, $f(z)$ 解析。

$$
f^{\prime}(z)=\frac{P^{\prime}(z) Q(z)-P(z) Q^{\prime}(z)}{[Q(z)]^2}=\frac{4 z^2-1-8 z(z+3)}{\left(4 z^2-1\right)^2} .
$$

`例`讨论函数 $w=f(z)=|z|^2$ 的解析性。
解 由 $w=f(z)=|z|^2=z \bar{z},\left(=x^2+y^2\right)$ 有

$$
\begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z} & =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)(\bar{z}+\overline{\Delta z})-z \bar{z}}{\Delta z} \\
& =\lim _{\Delta z \rightarrow 0}\left(\bar{z}+z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}+\overline{\Delta z}\right) .
\end{aligned}
$$

当 $z=0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=0$, 即 $f^{\prime}(0)=0$;
当 $z \neq 0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}$ 不存在。
因此, $w=f(z)=|z|^2$ 仅在 $z=0$ 点可导, 处处不解析。

例 讨论函数 $w=f(z)=x+i 2 y$ 的解析性。
解

$$
\begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z} & =\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\
\Delta y \rightarrow 0}} \frac{(x+\Delta x)+i 2(y+\Delta y)-(x+i 2 y)}{\Delta x+i \Delta y} \\
& =\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\
\Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x+i 2 \Delta y}{\Delta x+i \Delta y}
\end{aligned}
$$

当 $\Delta x=0, \Delta y \rightarrow 0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=2$,
当 $\Delta y=0, \Delta x \rightarrow 0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=1$,
因此, $w=f(z)=x+i 2 y$ 处处不可导，处处不解析。
问题 对函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$, 如何判别其解析性?

##  小知识-解析函数的由来
解析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的研究报告没有公开出版, 但有很多人知道他的工作。
- 在康道尔西使用该名称 $\mathbf{2 0}$ 年之后, 拉格朗日(Lagrange) 也使用了解析这个术语, 他在《解析函数论》中将能展开成级数的函数说成是解析函数。
- 现在所使用的解析函数的概念, 则基本上是在魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的著作中形成的。
- -1746年, 达朗贝尔(D'Alemert)在研究流体力学时首先提到了如下的关系式: $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.
  -1755年, 欧拉(Euler)也提到了上述关系式。
- 1777年, 欧拉的两篇研究报告(1793年与 1794 年才发表)中,证明了条件的必要性, 即
  若函数 $f(z)=u+i v$ 是解析函数, 则上述关系式成立。
  
  -1851年, 上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) “复变函数论的基础” 中再次出现。黎曼把它当作了解析函数定义的基础, 并且在它上面建立了相应的理论。
  -上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为解析函数, 直到晚年他才区分出解析函数类。
- 后来人们就以柯西和曼黎的名字来命名上述关系式, 不过也有些著作把该上述关系式称为欧拉一达朗贝尔条件。

## 解析性
现在我们已经有了完整的复变函数的概念，接下来对会对解析函数理论展开讨论．但在进行严格的讨论之前，先对我们要做的事情作一个简略的介绍，这对于读者加深对本节内容的理解是有益的。

迄今为止，虽然我们对单变量的复变函数 $f(z)$ 有了一些了解，但是对诸如从 $x y$ 平面到 $u v$平面的任意映射的性质几乎一无所知。我们已对 $z$ 及 $f$ 的实部和虚部分别赋予了专门的记号，即把 $z$ 的实部和虚部分别记为 $x$ 和 $y$ ，把 $f$ 的实部和虚部分别记为 $u$ 和 $v$ ；因此，我们有理由认为，对于任何一对给定的二元函数 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ ，就相当于给出了一个复变函数 $(u+ i v)$ 。但是，从下面的函数对

$$
u_1(x, y)=x^2-y^2, \quad v_1(x, y)=2 x y
$$

和

$$
u_2(x, y)=x^2-y^2, \quad v_2(x, y)=3 x y
$$

中发现其中隐含着某些特殊的东西．对于复变函数 $u_1+ i v_1$ ，若把 $z=x+ i y$ 视为一个独立的＂单位＂，则由于 $u_1+ i v_1=x^2-y^2+ i 2 x y=(x+ i y)^2$ ，从而它服从 $z=x+ i y$ 的复结构。然而（至少是显然的），$u_2+ i v_2$ 的表达式却需要用 $z$ 的实部和虚部来表示．

在实函数的微积分中，我们并不研究诸如 $3+4 \sqrt{2}$ ，或者 3 的平方而非 4 的立方等这种类型的数的函数．有趣的是，它把数当作一个单独的函数类．而复变函数的分类则要根据复变数所具有的特点进行．所以，我们希望分别对类似于函数
$$
\begin{array}{ll}
z=x+i y & \text { (可允许的), } \\
z^2=x^2-y^2+i 2 x y & \text { (可允许的), } \\
z^3=x^3-3 x y^2+i\left(3 x^2 y-y^3\right) & \text { (可允许的), } \\
\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2} & \text { (可允许的) }
\end{array}
$$

和它们的基本算术复合（和，积，商，乘幂和方根）以及函数

$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{Re} z=x & \text { (不允许的) }, \\
\operatorname{Im} z=y & \text { (不允许的), } \\
x^2-y^2+i 3 x y & \text { (不允许的) }
\end{array}
$$

进行分类，把前一类归为可允许类，后一类归为禁止类．
我们必须禁止共轭函数 $\bar{z}$ ，因为假若把它归为允许类的话，则 $x[=(z+\bar{z}) / 2]$ 和 $y[=(z-\bar{z}) / 2 i ]$ 将属于允许类，这与 $x, y$ 属于禁止类矛盾．因此
$$
\bar{z}=x-i y \quad \text { (不允许的). }
$$

同理，模 $|z|$ 也不属于允许类，这是因为 $\bar{z}=|z|^2 / z$ 。所以

$$
|z| \text { (不允许的). }
$$

有人可能对 $u_2+ i v_2=x^2-y^2+ i 3 x y$ 属于＂不允许类＂提出疑问，因为我们并没有证明它不能被独立地写成 $z$ 的形式．下面的运算将打消这一疑点．在 $u_2+i v_2$ 中，令

$$
x=(z+\bar{z}) / 2, \quad y=(z-\bar{z}) / 2 i
$$

经过简单的代数运算后，得到

$$
\begin{aligned}
u_2+i v_2 & =x^2-y^2+i 3 x y \\
& =\frac{(z+\bar{z})^2}{4}-\frac{(z-\bar{z})^2}{(-4)}+i 3 \frac{(z+\bar{z})}{2} \frac{(z-\bar{z})}{2 i}=\frac{5}{4} z^2-\frac{1}{4} \bar{z}^2
\end{aligned}
$$

由此看出，如果把 $u_2+ i v_2$ 归于允许类，就必须把 $\bar{z}^2$ 和 $\bar{z}^2$ 的令人讨厌的平方根 $\bar{z}$ 也归于允许类 ［因为它等于 $5 z^2-4\left(u_2+ i v_2\right)$ ］．

将下列各函数表示为关于 $z$ 与 $\bar{z}$ 的表示式．

$$
f_1(z)=\frac{x-1-i y}{(x-1)^2+y^2}, \quad f_2(z)=x^2+y^2+3 x+1+i 3 y .
$$

解 由式（1），得

$$
\begin{aligned}
f_1(z) & =\frac{\frac{z+\bar{z}}{2}-1-i \frac{z-\bar{z}}{2 i}}{\left(\frac{z+\bar{z}}{2}-1\right)^2+\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right)^2}=\frac{\bar{z}-1}{z \bar{z}-z-\bar{z}+1}=\frac{1}{z-1} \\
f_2(z) & =\frac{(z+\bar{z})^2}{4}+\frac{(z-\bar{z})^2}{4 i^2}+3\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)+1+i 3\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right) \\
& =z \bar{z}+3 z+1 .
\end{aligned}
$$

显然，$f_1$ 属于可允许类，而 $f_2$ 的表达式中含有 $\bar{z}$ ，所以它属于禁止类．

上一篇：求导法则

下一篇：柯西-黎曼方程

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)