最后更新: 2025-01-14 09:40 查看: 410 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

调和函数与共轭调和函数

## 调和函数
在 [柯西-黎曼方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=851) 例，我们得到一个重要的结论：如果$f(z)$可导，那么必须满足下面的条件：

$$
\boxed{
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}...①, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} ...②
}
$$
换句话说，如果$f(z)$可导，那么$\dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial v}{\partial y},\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial x} $ 都必须连续。

这4个偏导数可以任意组合，最简单的组合是：
$$
f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} .
$$

例如，对于量 $\left|f^{\prime}(z)\right|^2$ ，有

$$
\begin{aligned}
\left|f^{\prime}(z)\right|^2 & =\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 \\
& =\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x}
\end{aligned}
$$

最后一个表达式表可以写成[行列式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=812)的形式

$$
J=\left|
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y}  \\

\dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y}

\end{array}
\right|
$$

我们把这个行列式称作**雅可比行列式**

这表明 $\left|f^{\prime}(z)\right|^2$ 是 $u$ 及 $v$ 关于 $x$ 及 $y$ 的雅可比行列式．

### 二级导数
后面我们将证明**解析函数的导数本身也是解析**的．根据这一事实可知 $u$ 及 $v$将具有各阶连续偏导数，特别是其混合导数相等。由此根据[复合函数求导法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385)，进一步可以求二阶导。
对柯西黎曼方程分别求二阶导数有

$$
\begin{array}{ll}
\therefore \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}  ...C-R \text{方程}
\end{array}
$$

分别对$x$,$y$求偏导

$$
\left.\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, &   (\text{对x求偏导}) \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{  \partial^2 x} =\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}, \\
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}, & (\text{对y求偏导}) \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y},
\end{array}\right\} (\text{根据连续函数与求导顺序无关，两式相加})\Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
$$

由高阶导数如果联系和求导顺序无关，可以有 
$\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$ $\therefore $ 上面右边两式相加和为0.
故 $u$ 是调和函数，同时可得 $v$ 是调和函数

也就是

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \\
& \Delta v=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0
\end{aligned}
}
$$

### 拉普拉斯方程
我们把形如
$$
\boxed{
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0
}
$$
这样的方程，称作**拉普拉斯方程**， 对比上面的结论，可以发现$\Delta u$ 和 $\Delta v$ 都满足拉普拉斯方程，由此给出如下定义：

**定义1**  若实函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有连续二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程，则称 $f(x, y)$ 是 $D$ 内的调和函数．

进一步的给出定义，

**定义2**  若 $f(z)=u(x, y)+ i v(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析，则函数 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 都是 $D$ 内的**调和函数**．

注意：泊松(Poission)方程 $\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=f(x, y)$

### 共轭调和函数

**定义** 设函数 $u(x, y)$ 及 $v(x, y)$ 均为区域 $D$ 内的调和函数,且满足 $C-R$ 方程: $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$,则称 $\boldsymbol{v}$ 是 $\boldsymbol{u}$ 的共轭调和函数。

**定理** 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是：在区域 $D$ 内， $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数。
注意： $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数 推不出  $u$ 是 $v$ 的共轭调和函数。

## 调和函数的几何解释

在一维方程里，$y''≥0$，$y$是凸函数.。 $y"≤0$，$y$是凹函数。$y''=0$的函数介于凸凹之间，夹在凸凹中间，也可以看成是凸的，也可以看成是凹的，左右逢源，和稀泥，属于调和主义的特征，所以被称为调和函数。多维的情形，亦是从一维继承而来，可以大致了解他的作用。 详细解释参考[函数的凸凹性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=308)

![图片](/uploads/2025-01/cad9b5.jpg)

下面通过一个例题解释他的物理意义。

`例`构造一个实部为 $u(x, y)=x^3-3 x y^2+y$ 的解析函数．
解 由于
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=6 x-6 x=0
$$

所以 $u$ 在全平面内调和．下面来求 $u$ 的共轭调和函数 $v(x, y)$ 使得满足柯西－黎曼方程．从而必有

$$
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=3 x^2-3 y^2 ...(3)
$$

及

$$
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=6 x y-1 ...(1)
$$

如果把 $x$ 看作常量并对方程（3）关于 $y$ 进行积分，得

$$
v(x, y)=3 x^2 y-y^3+ constant
$$

其中constant 是 $x$ 的任意阶可微函数，而与 $y$ 无关．因此，可将它写为

$$
v(x, y)=3 x^2 y-y^3+\psi(x)
$$

为了求出 $\psi(x)$ ，把上式代人（4），得

$$
\frac{\partial v}{\partial x}=6 x y+\psi^{\prime}(x)=6 x y-1  ...（5）
$$
 
 可得 $\psi^{\prime}(x) \equiv-1$ ，所以 $\psi(x)=-x+a$ ，其中 $a$ 为某个（真正的）常数．由此得到 $u(x, y)$ 的一个共轭调和函数

$$
v(x, y)=3 x^2 y-y^3-x+a,
$$

从而得到解析函数

$$
f(z)=x^3-3 x y^2+y+i\left(3 x^2 y-y^3-x+a\right)
$$

它可以被写为 $z^3- i (z-a)$ 。

上述方法对于求一个圆盘内调和函数 $u(x, y)$ 的共轭调和函数总是有效的.

## 调和函数的物理理解
一个解析函数 $f(z)$ 的实部和虚部都是调和函数，它们在 $x y$ 平面上各自生成一个曲线族，称为水平截线或等位线，即

$$
u(x, y)=\text { constant } ...(6)
$$

及

$$
v(x, y)=\text { constant. }...(7)
$$

若把 $u$ 看作电磁场中的电势，则曲线（6）就是等势线．如果将 $u$ 看作温度，曲线（6）就是等温线。

对于函数 $f(z)=z^2=x^2-y^2+ i 2 x y$ ，水平截线 $u(x, y)=x^2-y^2=\text{常数}$ 就是以直线 $y= \pm x$ 为渐近线的双曲线（如图2－6a 所示）；$v(x, y)=2 x y=\text{常数}$ 则是以坐标轴为渐近线的双曲线（如图2－6b 所示）。
 ![图片](/uploads/2025-01/748450.jpg)
 
由图 2－7 可以看到，如果把两族水平截线叠合起来，它们之间的交角都是直角．对于解析函数 $z^3$（图2－8）， $1 / z\left(\right.$ 图2－9）和 $e ^2$（图2－10）的水平截线也是如此．这并不是偶然的；解析函数 $f(z)$ 的实部和虚部的水平截线除去它们在交叉点处导数 $f^{\prime}(z)=0$ 外都是这样．下面利用柯西一黎曼方程说明这一点．
 ![图片](/uploads/2025-01/e80028.jpg)
 
 我们知道，向量 $[\partial u / \partial x, \partial u / \partial y]$ 为 $u$ 的蚪率且与 $u$ 的水平截线正交．同样，向量［ $\partial v / \partial x$ ， $\partial v / \partial y$ ］为 $v$ 的斜率且与 $v$ 的水平截线正交．由柯西－黎曼方程，这些斜率向量的标量（点）积为

$$
\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y}=0 .
$$

因此，若这些斜率向量不为 0 ，则它们是正交的，所以水平截线也是如此．因此调和函数与其共轭调和函数的水平截线在交点正交。

下面的例子说明如何应用解析函数理论求解以水平截线为边界区域的拉普拉斯方程．

`例`求一个函数 $\phi(x, y)$ ，使得它在右半平面上曲线 $x^2-y^2=2$ 与 $x^2-y^2=4$ 之间的区域内调和，并在左边边界上取值为 3 ，右边边界上取值为 7 （如图2－11 所示）．
 ![图片](/uploads/2025-01/cf3715.jpg)

解 将 $x^2-y^2$ 看作解析函数 $z^2$ 的实部，则所给边界曲线是一个已知调和函数的水平截线．为满足题中所要求的边界条件，考虑函数 $\phi(x, y)=A\left(x^2-y^2\right)+B=\operatorname{Re}\left(A z^2+B\right), A$ 与 $B$ 为实数，根据题设条件，适当选取 $A$ 和 $B$ ．当 $x^2-y^2=2$ 时，由条件，
$\phi(x, y)=3$ ，代入 $\phi(x, y)$ 的表达式，得
 
$$
A(2)+B=3
$$

当 $x^2-y^2=4$ 时，由条件，$\phi(x, y)=7$ ，代人 $\phi(x, y)$ 的表达式，得

$$
A(4)+B=7
$$

解这两个关于 $A, B$ 的方程即可得到所求函数

$$
\phi(x, y)=2\left(x^2-y^2\right)-1
$$

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