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复变函数与积分变换
第二篇 解析函数的导数与共形映射
调和函数的一个实例—恒温箱
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2025-01-14 20:13
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调和函数的一个实例—恒温箱
## 调和函数的一个实例—恒温箱 对于调和函数来说，借助一个熟悉的物理模型的帮助来记住它们性质是有益的．下面将看到，温度均衡的厚平板恰好起到了这个作用． 图2－12是一块由导热材料做成的厚度均匀的平板，诸如一块铜板或者微电子元件的陶瓷基片等。由于它的厚度是均匀的，所以它的上，下两个面都与 $x y$ 平面平行．假定板的表面是隔热的，在竖直方向没有热量流出．这样，板的均衡温度 $T$ 是一个关于 $x, y$ 的函数 $$ T=T(x, y) $$  因为板的温度分布由热源（或散热器）以及置于边缘的绝热材料维持，所以有如图2－13 显示的等温线．  板的温度一旦达到均衡状态，$T(x, y)$ 就是一个调和函数，即 $$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 ...(1) $$ 现在给出它在物理上的解释．如图 2－14 所示，对于厚板内的一个 （边长为 $s$ 的）小正方形，由热传导的傅里叶法则知，通过小正方形每一边的热流的比率与在热流方向上温度变化的比率成比例．因此通过 AB 与 CD 方向的热流与 $\partial T / \partial x$ 成比例，通过 BC 与 AD 方向的热流与 $\partial T / \partial y$ 成比例（实际上，因为热流是从热到冷流动的，所以与该正方形的截面积及材料有关的比例常数为负数．）．热流被描述为通过 AB 与 AD 进入正方形，通过 BC 与 CD 离开正方形．因此，热的净流出量与  $$ \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{C D}-\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{A B}+\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{B C}-\left.\frac{\partia
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