最后更新: 2025-01-14 20:13 查看: 70 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

调和函数的一个实例—恒温箱

## 调和函数的一个实例—恒温箱
对于调和函数来说，借助一个熟悉的物理模型的帮助来记住它们性质是有益的．下面将看到，温度均衡的厚平板恰好起到了这个作用．

图2－12是一块由导热材料做成的厚度均匀的平板，诸如一块铜板或者微电子元件的陶瓷基片等。由于它的厚度是均匀的，所以它的上，下两个面都与 $x y$ 平面平行．假定板的表面是隔热的，在竖直方向没有热量流出．这样，板的均衡温度 $T$ 是一个关于 $x, y$ 的函数

$$
T=T(x, y)
$$

![图片](/uploads/2025-01/966cfc.jpg)

因为板的温度分布由热源（或散热器）以及置于边缘的绝热材料维持，所以有如图2－13 显示的等温线．
 ![图片](/uploads/2025-01/078462.jpg)
 
 板的温度一旦达到均衡状态，$T(x, y)$ 就是一个调和函数，即

$$
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 ...(1)
$$

现在给出它在物理上的解释．如图 2－14 所示，对于厚板内的一个 （边长为 $s$ 的）小正方形，由热传导的傅里叶法则知，通过小正方形每一边的热流的比率与在热流方向上温度变化的比率成比例．因此通过 AB 与 CD 方向的热流与 $\partial T / \partial x$ 成比例，通过 BC 与 AD 方向的热流与 $\partial T / \partial y$ 成比例（实际上，因为热流是从热到冷流动的，所以与该正方形的截面积及材料有关的比例常数为负数．）．热流被描述为通过 AB 与 AD 进入正方形，通过 BC 与 CD 离开正方形．因此，热的净流出量与
 ![图片](/uploads/2025-01/b18770.jpg)
 
$$
\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{C D}-\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{A B}+\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{B C}-\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{A D}
$$

成比例．

对于小尺度的 $s$ ，由于一阶导数的差可由二阶导数来近似，因此热的净流量又与

$$
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} s+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} s ...(2)
$$

成比例．当温度达到均衡状态时，这个正方形材料不再变凉（或加热），所以热的净流量为 0 ．用 $s$ 除表达式（2），则 $T(x, y)$ 满足方程（1）。

温度分布中出现调和函数这一事实使我们对它们的数学性质产生了一些猜想．例如，观察图 2－15 的等温线，它们显示＂热点＂位于板的内部．这种情况不会发生在衡温状态；因为热量总是从高向低流动，所以高温点的温度会降下来．当然，图中的情形可以通过在板的下面放置热源来维持，而由于我们假定热源只是放置在边缘上，从而已经排除了这种可能。可以断言，温度分布决不会出现这种内部最高．调和函数在这种情况的严格公式表示和一般化结论在第 4 章称为最大值原理，即调和函数不可能在区域的内部达到最大值，除非它在区域内恒为常数．

另一个例子是下面的一个试验．如图 2－16 所示，通过外部热源使板的边缘保持固定的温度．把我们能够（通过某种温度调节炉）控制温度的某一小段边缘除外．虽然从物理层面上讲，只要火炉的温度充分高，板上任意内点的温度都可以达到任意指定的值，但是我们不可能把整块板的内部各点的温度按照预先的设想去重复实验一遍．
 ![图片](/uploads/2025-01/3e1c62.jpg){width=800px}
 
 我们的期望是内部的温度完全由边缘的温度分布来控制  。这确实是一个调和函数边值性质的一个例子，在以后将要研究的泊松（Poisson）公式，会明确表达这种函数的边值与内部值之间的关系．

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