最后更新: 2025-01-14 09:51 查看: 254 次反馈同步训练

解析函数求解方法

## 解析函数求解方法
问题：已知实部 $u$, 求虚部 $v$ (或者已知虚部 $v$, 求实部 $u$ ),使 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 解析, 且满足指定的条件是考试通常出现的题型。

解决依据：构造解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的依据:
(1) $u$ 和 $v$ 本身必须都是调和函数;
(2) $u$ 和 $v$ 之间必须满足 $C-R$ 方程。

注意事项：必须首先检验 $u$ 或 $v$ 是否为调和函数。

### 解法一：偏积分法（不妨仅考虑已知实部 $u$ 的情形）
（1）由 $u$ 及 $C-R$ 方程得到待定函数 $v$的两个偏导数： 
$$
\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} ...(A), \\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}  ...(B)\end{array}\right.
$$

（2）将 $(A)$ 式的两边对变量 $y$ 进行偏积分得：

$$
v(x, y)=\int \frac{\partial v}{\partial y} d y=\int \frac{\partial u}{\partial x} d y=\widetilde{v}(x, y)+\varphi(x) ...(C)
$$

其中，$\widetilde{v}(x, y)$ 已知，而 $\varphi(x)$ 待定。
（3）将 $(C)$ 式代入 $(B)$ 式，求解即可得到函数 $\varphi(x)$ ．

### 方法二：全微分法（不妨仅考虑已知实部 $u$ 的情形）
（1）由 $u$ 及 $C-R$ 方程得到待定函数 $v$ 的全微分：

$$
d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y=-\frac{\partial u}{\partial y} d x+\frac{\partial u}{\partial x} d y .
$$

（2）利用第二类曲线积分（与路径无关）得到原函数：

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
v(x, y) & =\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)}-\frac{\partial u}{\partial y} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+c \\
& =\int_C-\frac{\partial u}{\partial y} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+c .
\end{aligned}\\
&\text { 其中，} C=C_0 \text { 或 } C_1+C_2 \text { ．}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/961fdf.jpg)

`例`验证 $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ 为调和函数, 并求以 $u(x, y)$ 为实部的解析函数 $f(z)$, 使得 $f(i)=-i$.

解 (1) 验证 $u(x, y)$ 为调和函数
由

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=6 x, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-6 x, \\
& \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\pa

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