最后更新: 2025-01-14 09:51 查看: 208 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

解析函数求解方法

## 解析函数求解方法
问题：已知实部 $u$, 求虚部 $v$ (或者已知虚部 $v$, 求实部 $u$ ),使 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 解析, 且满足指定的条件是考试通常出现的题型。

解决依据：构造解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的依据:
(1) $u$ 和 $v$ 本身必须都是调和函数;
(2) $u$ 和 $v$ 之间必须满足 $C-R$ 方程。

注意事项：必须首先检验 $u$ 或 $v$ 是否为调和函数。

### 解法一：偏积分法（不妨仅考虑已知实部 $u$ 的情形）
（1）由 $u$ 及 $C-R$ 方程得到待定函数 $v$的两个偏导数： 
$$
\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} ...(A), \\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}  ...(B)\end{array}\right.
$$

（2）将 $(A)$ 式的两边对变量 $y$ 进行偏积分得：

$$
v(x, y)=\int \frac{\partial v}{\partial y} d y=\int \frac{\partial u}{\partial x} d y=\widetilde{v}(x, y)+\varphi(x) ...(C)
$$

其中，$\widetilde{v}(x, y)$ 已知，而 $\varphi(x)$ 待定。
（3）将 $(C)$ 式代入 $(B)$ 式，求解即可得到函数 $\varphi(x)$ ．

### 方法二：全微分法（不妨仅考虑已知实部 $u$ 的情形）
（1）由 $u$ 及 $C-R$ 方程得到待定函数 $v$ 的全微分：

$$
d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y=-\frac{\partial u}{\partial y} d x+\frac{\partial u}{\partial x} d y .
$$

（2）利用第二类曲线积分（与路径无关）得到原函数：

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
v(x, y) & =\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)}-\frac{\partial u}{\partial y} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+c \\
& =\int_C-\frac{\partial u}{\partial y} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+c .
\end{aligned}\\
&\text { 其中，} C=C_0 \text { 或 } C_1+C_2 \text { ．}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/961fdf.jpg)

`例`验证 $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ 为调和函数, 并求以 $u(x, y)$ 为实部的解析函数 $f(z)$, 使得 $f(i)=-i$.

解 (1) 验证 $u(x, y)$ 为调和函数
由

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=6 x, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-6 x, \\
& \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,
\end{aligned}
$$

故 $u(x, y)$ 是调和函数。

解 (2) 求虚部 $v(x, y)$
方法一：偏积分法

$$
\begin{aligned}
& \text { 由 } \frac{\partial u}{\partial x}=3 x^2-3 y^2=\frac{\partial v}{\partial y}, \\
& \quad \Rightarrow v=\int\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y=3 x^2 y-y^3+\varphi(x), \\
& \text { 由 } \frac{\partial v}{\partial x}=6 x y+\varphi^{\prime}(x)=-\frac{\partial u}{\partial y}=6 x y, \Rightarrow \varphi^{\prime}(x)=0, \\
& \quad \Rightarrow \varphi(x)=c, \Rightarrow v(x, y)=3 x^2 y-y^3+c .
\end{aligned}
$$

方法二：全微分法

$$
\begin{aligned}
& \text { 由 } \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=3 x^2-3 y^2, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=6 x y \text {, } \\
& \Rightarrow \mathrm{d} v=v_x^{\prime} \mathrm{d} x+v_y^{\prime} \mathrm{d} y=6 x y \mathrm{~d} x+\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y \\
& \Rightarrow v(x, y)=\int_{(0,0)}^{(x, y)} 6 x y \mathrm{~d} x+\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y+c \\
& =\int_0^x 0 \mathrm{~d} x+\int_0^y\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y+c \\
& =3 x^2 y-y^3+c . \\
&
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118cc242dc.png)

(3) 求确定常数 $c$

$$
f(z)=\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3+c\right),
$$

根据条件 $f(i)=-i$, 将 $x=0, y=1$ 代入得

$$
i(-1+c)=-i, \Rightarrow c=0,
$$

即得 $f(z)=\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3\right)=z^3$.

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