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复变函数论
第四篇 解析函数
构造解析函数
日期:
2023-11-18 10:37
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构造解析函数
问题 已知实部 $u$, 求虚部 $v$ (或者已知虚部 $v$, 求实部 $u$ ),使 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 解析, 且满足指定的条件。 依据 构造解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的依据: (1) $u$ 和 $v$ 本身必须都是调和函数; (2) $u$ 和 $v$ 之间必须满足 $C-R$ 方程。 注意 必须首先检验 $u$ 或 $v$ 是否为调和函数。 **方法** 偏积分法 全微分法   **例** 验证 $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ 为调和函数, 并求以 $u(x, y)$ 为实部的解析函数 $f(z)$, 使得 $f(i)=-i$. 修改解 (1) 验证 $u(x, y)$ 为调和函数 由 $$ \begin{aligned} & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=6 x, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-6 x, \\ & \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0, \end{aligned} $$ 故 $u(x, y)$ 是调和函数。 例 验证 $u(x, y)=x^3-3 x y^2$ 为调和函数, 并求以 $u(x, y)$ 为实部的解析函数 $f(z)$, 使得 $f(i)=-i$. 解 (2) 求虚部 $v(x, y)$ 方法一：偏积分法 $$ \begin{aligned} & \text { 由 } \frac{\partial u}{\partial x}=3 x^2-3 y^2=\frac{\partial v}{\partial y}, \\ & \quad \Rightarrow v=\int\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y=3 x^2 y-y^3+\varphi(x), \\ & \text { 由 } \frac{\partial v}{\partial x}=6 x y+\varphi^{\prime}(x)=-\frac{\partial u}{\partial y}=6 x y, \Rightarrow \varphi^{\prime}(x)=0, \\ & \quad \Rightarrow \varphi(x)=c, \Rightarrow v(x, y)=3 x^2 y-y^3+c . \end{aligned} $$ 解 (2) 求虚部 $v(x, y)$ 方法二：全微分法 $$ \begin{aligned} & \text { 由 } \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=3 x^2-3 y^2, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=6 x y \text {, } \\ & \Rightarrow \mathrm{d} v=v_x^{\prime} \mathrm{d} x+v_y^{\prime} \mathrm{d} y=6 x y \mathrm{~d} x+\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y \\ & \Rightarrow v(x, y)=\int_{(0,0)}^{(x, y)} 6 x y \mathrm{~d} x+\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y+c \\ & =\int_0^x 0 \mathrm{~d} x+\int_0^y\left(3 x^2-3 y^2\right) \mathrm{d} y+c \\ & =3 x^2 y-y^3+c . \\ & \end{aligned} $$  (3) 求确定常数 $c$ $$ f(z)=\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3+c\right), $$ 根据条件 $f(i)=-i$, 将 $x=0, y=1$ 代入得 $$ i(-1+c)=-i, \Rightarrow c=0, $$ 即得 $f(z)=\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3\right)=z^3$.
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