最后更新: 2025-01-14 20:42 查看: 223 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

指数函数（复数）

复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们的定义方式尽可能保持一致。特别是当自变量取实值时，两者是一样的。

## 指数函数（复数）

**定义** 对于复数 $z=x+i y$, 根据欧拉公式 
$$
w=\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{x+i y}=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{i y}=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y) .
$$ 
称 $w=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)$ 为指数函数,记为 $w=\exp z$ 或 $w=\mathrm{e}^z$.

注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数, 其余的初等函数都通过指数函数来定义。 
(2)   从定义本身来看, $\mathrm{e}^z$ 应理解为仅仅是一种记号或者规定, 仅仅作为代替 $\exp z$ 的符号使用。

### 性质 
(1) $\mathrm{e}^z$ 是单值函数。
事实上, 对于给定的复数 $z=x+i y$,定义中的 $\mathrm{e}^x, \cos y, \sin y$ 均为单值函数。
(2) $\mathbf{e}^z$ 除无穷远点外, 处处有定义。
事实上, 在无穷远点有

$$
\begin{aligned}
& \text { 当 } y=0, x \rightarrow+\infty \text { 时, } \mathrm{e}^z \rightarrow+\infty \\
& \text { 当 } y=0, x \rightarrow-\infty \text { 时, } \mathrm{e}^z \rightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

(3) $\mathrm{e}^z \neq 0$. 因为 $\mathrm{e}^x>0, \cos y+i \sin y \neq 0$.
(4) $\mathbf{e}^z$ 在复平面上处处解析, 且 $\left(\mathbf{e}^z\right)^{\prime}=\mathbf{e}^z$.

(5) $\forall z_1=x_1+i y_1, z_2=x_2+i y_2$, 有 $\mathbf{e}^{z_1} \cdot \mathbf{e}^{z_2}=\mathbf{e}^{z_1+z_2}$.
事实上，

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{z_1} \cdot \mathrm{e}^{z_2}= & \mathrm{e}^{x_1}\left(\cos y_1+i \sin y_1\right) \cdot \mathrm{e}^{x_2}\left(\cos y_2+i \sin y_2\right) \\
= & \mathrm{e}^{x_1+x_2}\left[\left(\cos y_1 \cos y_2-\sin y_1 \sin y_2\right)+\right. \\
& \left.\quad i\left(\sin y_1 \cos 2+\cos y_1 \sin y_2\right)\right] \\
= & \mathrm{e}^{x_1+x_2}\left[\cos \left(y_1+y_2\right)+i \sin \left(y_1+y_2\right)\right]=\mathrm{e}^{z_1+z_2} .
\end{aligned}
$$

(6) $\mathrm{e}^z$ 是以 $2 k \pi i$ 为周期的周期函数。
事实上, 由 $\mathrm{e}^{2 k \pi i}=\cos 2 k \pi+i \sin 2 k \pi=1$, 有

$$
\mathbf{e}^{z+2 k \pi i}=\mathbf{e}^z \cdot \mathbf{e}^{2 k \pi i}=\mathbf{e}^z .
$$

## 指数函数的几何意义
 在高中的[指数函数图像](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=736) 介绍了实数环境下指数函数的图像， 那么，我们自然有一个问题：复数指数函数的图像是什么意思呢？
 因为负数$w=f(z)$ 表示的从一个平面到另外一个平面图形的映射，所以这个问题就表示在一个平面上的$z$向量，经过$e^z$转换后，在另外一个平面上显示的是什么图形？
 
复数主要是由2个参数决定：模与辐角，所以，其关系如下：

映射关系：由 $w=e^z=e^x(\cos y+i \sin y)=e^x \cdot e^{i y} $
 
  ![图片](/uploads/2025-01/a87f7a.jpg){width=500px}

`例` 证明存在 $z$ ，使$e^z=-1$
解：为了找出这个 $z$ ，我们把上式写成 
$e^x e^{i y}=1 e^{i \pi}$ 
考虑到两个指数相等，以及指数的周期性我们有
$$
e^x=1 \quad \text { 且 } y=\pi+2 n \pi \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) .
$$

因此 $x=0$ ，我们得到

$$
z=(2 n+1) \pi i \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)
$$

> 在上面实数里$y=e^x$一定大于零，而在$y=e^z$里，可以小于零，但是不能等于零。请注意其区别。

从几何意义上说，$y=e^x$ 表示在$x$轴上方的曲线，
 ![图片](/uploads/2025-01/f83d55.jpg){width=300px}

而$y=e^z$ 表示把$xoy$平面上的点映射为$uov$ 平面上的点，因为$e^z$不可能等于零，所以在这种映射里，$xoy$里的任何一点始终无法映射到$uov$里的原点。
下图显示了$w=e^z$复数的映射方式（包含了周期性）。

![图片](/uploads/2025-01/a212c6.jpg){width=500px}

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