最后更新: 2025-07-23 20:52 查看: 268 次反馈同步训练

指数函数（复数）

## 指数函数（复数）

**定义** 对于复数 $z=x+i y$, 根据欧拉公式 
$$
w=\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{x+i y}=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{i y}=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y) .
$$ 
称 $w=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)$ 为指数函数,记为 $w=\exp z$ 或 $w=\mathrm{e}^z$.

注意： 
(1) 指数函数是初等函数中最重要的函数, 其余的初等函数都通过指数函数来定义。 
(2)   从定义本身来看, **${e}^z$ 应理解为仅仅是一种记号或者规定**, 仅仅作为代替 $\exp z$ 的符号使用。

## 指数函数的性质 
(1) $\mathrm{e}^z$ 是单值函数。
事实上, 对于给定的复数 $z=x+i y$,定义中的 $\mathrm{e}^x, \cos y, \sin y$ 均为单值函数。
(2) ${e}^z$ 除无穷远点外, 处处有定义。
事实上, 在无穷远点有

$$
\begin{aligned}
& \text { 当 } y=0, x \rightarrow+\infty \text { 时, } \mathrm{e}^z \rightarrow+\infty \\
& \text { 当 } y=0, x \rightarrow-\infty \text { 时, } \mathrm{e}^z \rightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

(3) ${e}^z \neq 0$. 因为 ${e}^x>0, \cos y+i \sin y \neq 0$.
(4) ${e}^z$ 在复平面上处处解析, 且 $\left({e}^z\right)^{\prime}={e}^z$.

(5) $\forall z_1=x_1+i y_1, z_2=x_2+i y_2$, 有 ${e}^{z_1} \cdot {e}^{z_2}={e}^{z_1+z_2}$.
事实上，

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{z_1} \cdot \mathrm{e}^{z_2}= & \mathrm{e}^{x_1}\left(\cos y_1+i \sin y_1\right) \cdot \mathrm{e}^{x_2}\left(\cos y_2+i \sin y_2\right) \\
= & \mathrm{e}^{x_1+x_2}\left[\left(\cos y_1 \cos y_2-\sin y_1 \sin y_2\right)+\right. \\
& \left.\quad i\left(\sin y_1 \cos 2+\cos y_1 \sin y_2\right)\right] \\
= & \mathrm{e}^{x_1+x_2}\left[\cos \left(y_1+y_2\right)+i \sin \left(y_1+y_2\right)\right]=\mathrm{e}^{z_1+z_2} .
\end{aligned}
$$

(6) $\mathrm{e}^z$ 是以 $2 k \pi i$ 为周期的周期函数。
事实上, 由 $\mathrm{e}^{2 k \pi i}=\cos 2 k \pi+i \sin 2 k \pi=1$, 有

$$
\mathbf{e}^{z+2 k \pi i}=\mathbf{e}^z \cdot \mathbf{e}^{2 k \pi i}=\mathbf{e}^z .
$$

`例`找出所有使得下式成立的 $z$ 的值．
（a）$e^z=-2$ ；
（b）$e^z=1+\sqrt{3} i$ ；
（c） $\exp (2 z-1)=1$ ．

解：（a）$z=\ln 2+(2 n+1) \pi i \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ；
（b）$z=\ln 2+\left(2 n+\frac{1}{3}\right) \pi i \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ；
（c）$z=\frac{1}{2}+n \pi i \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ．

`例` 证明存在 $z$ ，使$e^z=-1$
解：为了找出这个 $z$ ，我们把上式写成 
$e^x e^{i y}=1 e^{i \pi}$ 
考虑到两个指数相等，以及指数的周期性我们有
$$
e^x=1 \quad \text { 且 } y=\pi+2 n \pi \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) .
$$

因此 $x=0$ ，我们得到

$$
z=(2 n+1) \pi i \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)
$$

> 在上面实数里$y=e^x$一定大于零，而在$y=e^z$里，可以小于零，但是不能等于零。请注意其区别。

## 指数函数的几何意义
 在高中的[指数函数图像](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=736) 介绍了实数环境下指数函数的图像， 那么，我们自然有一个问题：复数指数函数的图像是什么意思呢？
 
 根据 $w=e^z=e^x(cos y+i sin y)$ 如果 令 $w=u+iv$ 则有
$ u=e^x \cos y,  v=e^x \sin y $

从这里可以看到，如果$x$ 固定，y取一个值，会有一个$w$和他对应，但是考虑三角函数的周期性，每隔$2 \pi$ 周期，图像会映射同一个点。 参考下图，当$z$沿着垂直轴往上走时，每隔一个周期，像点会映射到的同一个点。

![图片](/uploads/2025-01/a212c6.jpg){width=600px}

我们也可以利用复数导数的几何意义来理解，复数的像主要是由2个参数决定：模与辐角 (具体会在复数导数里解释)，所以，其关系如下：

$w=e^z=e^x(\cos y+i \sin y)=e^x \cdot e^{i y} $
 
  ![图片](/uploads/2025-01/a87f7a.jpg){width=500px}

很容易想到每过$2\pi$ 就重复一次

另外，$y=e^z$ 表示把$xoy$平面上的点映射为$uov$ 平面上的点，因为$e^z$不可能等于零，所以在这种映射里，$xoy$里的任何一点始终无法映射到$uov$里的原点。

## 再次理解指数函数
图2-19 画出了映射$f(z)=e^z$ 的基本特性. 请仔细研究它,并注意以下事实. 提示：下面列出了指数的7个性质，我们不再解释，需要自己慢慢理解。

![图片](/uploads/2025-06/18520b.jpg)
 
>  **若 $z$ 以恒速 $s$ 向上运动，则 $w$ 将以角速度 $s$ 绕原点旋转．当 $z$ 移动过距离 $2 \pi$ 后，$w$ 会回到起点．所以此映射是周期的，周期为 $2 \pi i$ ．**

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：解析函数求解方法

下一篇：对数函数（复数）

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)