最后更新: 2025-01-15 10:10 查看: 245 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

对数函数（复数）

## 对数函数（复数）
对数函数定义为指数函数的反函数。
**定义** 满足方程 $\mathrm{e}^w=z$ 的函数 $w=f(z)$ 称为对数函数,记作 $\boldsymbol{w}=\mathbf{L n} \boldsymbol{z}$.

计算 令 $z=|z| \mathrm{e}^{i \operatorname{Arg} z}=r \mathrm{e}^{i \theta}, w=u+i v$,
由 $\mathrm{e}^w=z$, 有 $\mathrm{e}^u \cdot \mathrm{e}^{i v}=r \cdot \mathrm{e}^{i \theta}$,

$$
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
u=\ln r=\ln |z|,- \text { 由 } z \text { 的模得到 } w \text { 的实部； } \\
v=\theta=\operatorname{Arg} z . \quad \text { 由 } z \text { 的辐角得到 } w \text { 的虚部。 }
\end{array}\right.
$$

即 $w=\operatorname{Ln} z=\ln |z|+i A r g z$

$$
=\ln |z|+i \arg z+2 k \pi i, \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)
$$

$w=\operatorname{Ln} z=\ln |z|+i \arg z+2 k \pi i,(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$.
**显然对数函数为多值函数。**
主值（枝） 称 $w=\ln |z|+i \arg z$ 为 $w=\operatorname{Ln} z$ 的主值(枝)，
记为 $w=\ln z$.
故有 $\operatorname{Ln} z=\ln z+2 k \pi i,(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$.
特别地, 当 $z=x>0$ 时,
$\operatorname{Ln} z$ 的主值 $\ln z=\ln x$ 就是实对数函数。

分支(枝) 对于任意一个固定的 $k$, 称 $\ln z+2 k \pi i$ 为 $\operatorname{Ln} z$ 的一个分支(枝)。

性质 (1) $w=\operatorname{Ln} z$ 在原点无定义, 故它的定义域为 $z \neq 0$.
注意到，函数 $\arg z$ 在原点无定义；
或者指数函数 $\mathrm{e}^w \neq 0$.
(2) $\operatorname{Ln} z$ 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续;特别地, $\ln z$ 在除去原点及负实轴的平面内连续。
注意到，函数 $\arg z$ 在原点及负实轴上不连续。

（3） $\operatorname{Ln} z$ 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；特别地， $\ln z$ 在除去原点及负实轴的平面内解析。由反函数求导法则可得 $\frac{ d \ln z}{d z}=\frac{1}{\left( e ^w\right)_w^{\prime}}=\frac{1}{ e ^w}=\frac{1}{z}$ ．进一步有 $\frac{ d \operatorname{Ln} z}{d z}=\frac{ d (\ln z+2 k \pi i)}{ d z}=\frac{ d \ln z}{d z}=\frac{1}{z}$

（4） $\operatorname{Ln}\left(z_1 z_2\right)=\operatorname{Ln} z_1+\operatorname{Ln} z_2$ ；

$$
\operatorname{Ln} \frac{z_1}{z_2}=\operatorname{Ln} z_1-\operatorname{Ln} z_2
$$

（在集合意义下）

`例`求下列对数以及它们的主值。
(1) $\operatorname{Ln}(-i)$
(2) $\operatorname{Ln}(1+i)$

解 (1) $\operatorname{Ln}(-i)=\ln |-i|+i \arg (-i)+2 k \pi i$

$$
=\ln 1+i\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2 k \pi i=-\frac{\pi}{2} i+2 k \pi i,
$$

主值 $\ln (-i)=-\frac{\pi}{2} i$.
(2) $\operatorname{Ln}(1+i)=\ln |1+i|+i \arg (1+i)+2 k \pi i$

$$
=\ln \sqrt{2}+i\left(\frac{\pi}{4}\right)+2 k \pi i,
$$

主值 $\ln (1+i)=\ln \sqrt{2}+i\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

`例`求对数 $\operatorname{Ln}(-1)$ 以及它的主值。

解

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Ln}(-1) & =\ln |-1|+i \arg (-1)+2 k \pi i \\
& =\ln 1+i \pi+2 k \pi i=(2 k+1) \pi i
\end{aligned}
$$

主值 $\ln (-1)=\pi i$.
**可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。**

`例`求对数 $\operatorname{Ln} 2$ 以及它的主值。
解 $\operatorname{Ln} 2=\ln |2|+i \arg 2+2 k \pi i=\ln 2+2 k \pi i$;
主值 $\ln 2=\ln 2$.
在实数范围内
在复数范围内
-可见，当 $z$ 为正实数时， $\ln z$ 与实对数函数是一致的。

`例` 求导 $f(z)=\ln (1+z) ;$
解 $f^{\prime}(z)=\frac{1}{1+z}$ ，
其中，$z \in D_1$（如图）。
 ![图片](/uploads/2025-01/e6c32d.jpg)

`例` 求导 $g(z)=ln z^2$
解：$g^{\prime}(z)=\frac{1}{z^2} \cdot 2 z=\frac{2}{z}$,
其中，$z \in D_2$（如图）。
 ![图片](/uploads/2025-01/4c8a1e.jpg)

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