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复变函数论
第四篇 解析函数
对数函数(复数)
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2023-11-18 10:45
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对数函数(复数)
对数函数定义为指数函数的反函数。 定义 满足方程 $\mathrm{e}^w=z$ 的函数 $w=f(z)$ 称为对数函数,记作 $\boldsymbol{w}=\mathbf{L n} \boldsymbol{z}$. 计算 令 $z=|z| \mathrm{e}^{i \operatorname{Arg} z}=r \mathrm{e}^{i \theta}, w=u+i v$, 由 $\mathrm{e}^w=z$, 有 $\mathrm{e}^u \cdot \mathrm{e}^{i v}=r \cdot \mathrm{e}^{i \theta}$, $$ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} u=\ln r=\ln |z|,- \text { 由 } z \text { 的模得到 } w \text { 的实部; } \\ v=\theta=\operatorname{Arg} z . \quad \text { 由 } z \text { 的辐角得到 } w \text { 的虚部。 } \end{array}\right. $$ 即 $w=\operatorname{Ln} z=\ln |z|+i A r g z$ $$ =\ln |z|+i \arg z+2 k \pi i, \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) $$ $w=\operatorname{Ln} z=\ln |z|+i \arg z+2 k \pi i,(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$. **显然对数函数为多值函数。** 主值(枝) 称 $w=\ln |z|+i \arg z$ 为 $w=\operatorname{Ln} z$ 的主值(枝), 记为 $w=\ln z$. 故有 $\operatorname{Ln} z=\ln z+2 k \pi i,(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$. 特别地, 当 $z=x>0$ 时, $\operatorname{Ln} z$ 的主值 $\ln z=\ln x$ 就是实对数函数。 分支(枝) 对于任意一个固定的 $k$, 称 $\ln z+2 k \pi i$ 为 $\operatorname{Ln} z$ 的一个分支(枝)。 性质 (1) $w=\operatorname{Ln} z$ 在原点无定义, 故它的定义域为 $z \neq 0$. 注意到,函数 $\arg z$ 在原点无定义; 或者指数函数 $\mathrm{e}^w \neq 0$. (2) $\operatorname{Ln} z$ 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续;特别地, $\ln z$ 在除去原点及负实轴的平面内连续。 注意到,函数 $\arg z$ 在原点及负实轴上不连续。 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311180623262.png) 例 求下列对数以及它们的主值。 (1) $\operatorname{Ln}(-i)$ (2) $\operatorname{Ln}(1+i)$ 解 (1) $\operatorname{Ln}(-i)=\ln |-i|+i \arg (-i)+2 k \pi i$ $$ =\ln 1+i\left(-\frac{\pi}{2}\right)+2 k \pi i=-\frac{\pi}{2} i+2 k \pi i, $$ 主值 $\ln (-i)=-\frac{\pi}{2} i$. (2) $\operatorname{Ln}(1+i)=\ln |1+i|+i \arg (1+i)+2 k \pi i$ $$ =\ln \sqrt{2}+i\left(\frac{\pi}{4}\right)+2 k \pi i, $$ 主值 $\ln (1+i)=\ln \sqrt{2}+i\left(\frac{\pi}{4}\right)$. 例 求对数 $\operatorname{Ln}(-1)$ 以及它的主值。 解 $$ \begin{aligned} \operatorname{Ln}(-1) & =\ln |-1|+i \arg (-1)+2 k \pi i \\ & =\ln 1+i \pi+2 k \pi i=(2 k+1) \pi i \end{aligned} $$ 主值 $\ln (-1)=\pi i$. **可见,在复数域内,负实数是可以求对数的。** 例 求对数 $\operatorname{Ln} 2$ 以及它的主值。 解 $\operatorname{Ln} 2=\ln |2|+i \arg 2+2 k \pi i=\ln 2+2 k \pi i$; 主值 $\ln 2=\ln 2$. 在实数范围内 在复数范围内 -可见,当 $z$ 为正实数时, $\ln z$ 与实对数函数是一致的。 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311184fc1069.png)
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