最后更新: 2025-01-15 10:13 查看: 228 次反馈刷题

幂函数（复数）

## 幂函数（复数）
**定义** 函数 $w=z^\alpha$ 规定为 $z^\alpha=\mathrm{e}^{\alpha \operatorname{Ln} z}(\alpha$ 为复常数, $z \neq 0$ )
称为复变量 $z$ 的幂函数。
还规定：当 $\alpha$ 为正实数，且 $z=0$ 时, $z^\alpha=0$.

> 注意 上面利用指数函数以一种 “规定” 的方式定义了幂函数,但不要将这种 “规定” 方式反过来作用于指数函数即 $\mathbf{e}^z=\mathbf{e}^{\mathbf{L n} \mathbf{e}^z}=\mathbf{e}^{z \operatorname{Ln} \mathbf{e}}$. 是错误的

讨论
(1) 当 $\alpha$ 为正整数时, $z^n=\mathrm{e}^{n \operatorname{Ln} z}=\mathrm{e}^{n \ln z}$. (单值)此时, $z^\alpha$ 处处解析, 且 $\left(z^\alpha\right)^{\prime}=\alpha z^{\alpha-1}$.
(2) 当 $\alpha$ 为负整数时, $z^{-n}=\frac{1}{z^n}$. (单值)此时, $z^\alpha$ 除原点外处处解析, 且 $\left(z^\alpha\right)^{\prime}=\alpha z^{\alpha-1}$.
(3) 当 $\alpha=0$ 时, $z^0=1$.

(4) 当 $\alpha$ 为有理数时, $z^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{z^m}$. ( $n$ 值)其中, $m$ 与 $n$ 为互质的整数, 且 $n \geq 1$.此时, $z^\alpha$ 除原点与负实轴外处处解析,且 $\left(z^\alpha\right)^{\prime}=\alpha z^{\alpha-1}$.
(5) 当 $\alpha$ 为无理数或复数 $(\operatorname{Im} \alpha)$ 肘 ,一般为无穷多值。此时, $z^\alpha$ 除原点与负实轴外处处解析。

`例`求 $i^i$ 的值。
解 $i^i= e ^{i \operatorname{Ln} i}= e ^{i\left(\frac{\pi}{2} i+2 k \pi i\right)}= e ^{-\left(\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right)},(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ．

> 可见，$i^i$ 是正实数，它的主值是 $e ^{-\frac{\pi}{2}}$ ．

`例` 求 $1 ^{\sqrt{2}}$ 的值。

解
$$
\begin{aligned}
1^{\sqrt{2}} & =e^{\sqrt{2} Ln 1}=e^{\sqrt{2}[0+i(0+2 k \pi)]}=e^{2 \sqrt{2} k \pi i} \\
& =\cos (2 \sqrt{2} k \pi)+i \sin (2 \sqrt{2} k \pi), \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) .
\end{aligned}
$$
> 可见，不要想当然地认为 $1^\alpha=1$ ．

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