最后更新: 2026-02-18 11:13 查看: 513 次纠错评论(0) 课件开VIP

正弦函数与余弦函数（复数）

## 三角函数（复数）
由欧拉公式 $e ^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ ，有 $e ^{-i \theta}=\cos \theta-i \sin \theta$ ，

两式相加和详减即可得到

$$
\Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2}\left(e^{i \theta}+e^{-i \theta}\right), \sin \theta=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \theta}-e^{-i \theta}\right)
$$

上面$ \theta$ 是实数，我们认为的把他推广到复数并用$z$表示，为此，给出复数的三角函数如下定义

**复正弦函数**

$$
\boxed{
\sin z=\frac{1}{2 i}\left( e ^{i z}- e ^{-i z}\right)
}
$$
 
**复余弦函数** 
$$
\boxed{
\cos z=\frac{1}{2}\left( e ^{i z}+ e ^{-i z}\right)
}
$$

下图给出了$w=cos z$ 的图像

![图片](/uploads/2026-02/7179bd.jpg)

##  用欧拉公式来表示正弦和余弦
欧拉公式的一个简单而重要的结论是：正弦和余弦可以用指数函数构造出来．准确地说，如下图，可得

$$
e^{i \theta}+e^{-i \theta}=2 \cos \theta, \quad e^{i \theta}-e^{-i \theta}=2 i \sin \theta
$$

或者与此等价有

$$
\cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}, \quad \sin \theta=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}
$$

![图片](/uploads/2025-05/742754.jpg){width=550px}

如果把$e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$ 看成平面上的两个向量，不难发现，$\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 正好构成了平行四边形的两个对角线，详见[平面向量的平行四边形法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=165)

![图片](/uploads/2026-02/cd5a69.jpg)

## 三角函数的性质

这样定义的正弦函数和余弦函数具有如下性质：
**（1）对于 $z$ 为实数 $y$ 来说，我们的定义与通常正弦函数及余弦函数的定义是一致的**．

（2）**在 $z$ 平面上是解析的**，且

$$
(\sin z)^{\prime}=\cos z, \quad(\cos z)^{\prime}=-\sin z
$$

因为

$$
(\sin z)^{\prime}=\frac{1}{2 i}\left(e^{i z}-e^{-i z}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-i z}\right)=\cos z .
$$

同理可证另一个．

（3） **$\sin z$ 是奇函数， $\cos z$ 是偶函数**，并遵从通常的三角恒等式：

$$
\begin{aligned}
& \sin ^2 z+\cos ^2 z=1 \\
& \sin \left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cdot \cos z_2+\cos z_1 \cdot \sin z_2 \\
& \cos \left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cdot \cos z_2-\sin z_1 \cdot \sin z_2
\end{aligned}
$$

等等．例如，

$$
\begin{aligned}
\sin \left(z_1+z_2\right) & =\frac{e^{i\left(z_1+z_2\right)}-e^{-i\left(z_1+z_2\right)}}{2 i}=\frac{e^{i z_1} e^{i z_2}-e^{-i z_1} e^{-i z_2}}{2 i} \\
& =\frac{e^{i z_1}-e^{-i z_1}}{2 i} \cdot \frac{e^{i z_2}+e^{-i z_2}}{2}+\frac{e^{i z_1}+e^{-i z_1}}{2} \cdot \frac{e^{i z_2}-e^{-i z_2}}{2 i} \\
& =\sin z_1 \cdot \cos z_2+\cos z_1 \cdot \sin z_2
\end{aligned}
$$

（4） **$\sin z$ 及 $\cos z$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数**．
 由定

$$
\begin{aligned}
\cos (z+2 \pi) & =\frac{e^{i(z+2 \pi)}+e^{-i(z+2 \pi)}}{2}=\frac{e^{i z} e^{2 \pi i}+e^{-i z} e^{-2 \pi i}}{2} \\
& =\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}=\cos z
\end{aligned}
$$

同理可证另一个．

（5） **$\sin z$ 的零点（即 $\sin z=0$ 的根）为**

$$
z=n \pi \quad(n=0, \pm 1, \cdots) .
$$

$\cos z$ 的零点为

$$
z=\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi \quad(n=0, \pm 1, \cdots) .
$$

事实上，因为方程 $\sin z=0$ 可以写成 $e ^{2 i z}=1$ ．如令 $z=\alpha+ i \beta$ ，即可写成 $e ^{-2 \beta} e ^{2 i \alpha}=$ $1= e ^{2 n \pi i }$ ，故

$$
e^{-2 \beta}=1, \quad 2 \alpha=2 n \pi \quad(n=0, \pm 1, \cdots)
$$

即

$$
\beta=0, \quad \alpha=n \pi(n=0, \pm 1, \cdots)
$$

所以 $z=n \pi(n=0, \pm 1, \cdots)$ 是 $\sin z$ 的零点．
同理可推得 $\cos z$ 的零点．

**（6）在复数域内不能再断言**

$$
|\sin z| \leqslant 1, \quad|\cos z| \leqslant 1
$$

例如，取 $z= i y(y>0)$ ，则

$$
\cos (i y)=\frac{e^{i(i)}+e^{-i(i(y)}}{2}=\frac{e^{-y}+e^y}{2}>\frac{e^y}{2}
$$

只要 $y$ 充分大， $\cos (i y)$ 就可大于任一预先给定的正数．

`例`证明 $2 \sin z_1 \cos z_2=\sin \left(z_1+z_2\right)+\sin \left(z_1-z_2\right)$
证明：根据定义：
$$
2 \sin z_1 \cos z_2=2\left(\frac{e^{i z_1}-e^{-i z_1}}{2 i}\right)\left(\frac{e^{i z_2}-e^{-i \varepsilon_2}}{2}\right)
$$

右端乘起来可以化为

$$
\frac{e^{i\left(z_1+z_2\right)}-e^{-i\left(z_1+z_2\right)}}{2 i}+\frac{e^{i\left(z_1-z_2\right)}-e^{-i\left(z_1-z_2\right)}}{2 i},
$$

化简，即可的证。

## 其它三角函数
**正切函数**
$ \tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$

**余切函数**
$ \cot z=\frac{\cos z}{\sin z}$

**正割函数**
$ \sec z=\frac{1}{\cos z}$

**余割函数**
$ \csc z=\frac{1}{\sin z}$

## 双曲函数与反双曲函数
### 定义1
双曲正弦函数 $\operatorname{sh} z=\frac{1}{2}\left( e ^z- e ^{-z}\right)$ ；
双曲余弦函数 $\operatorname{ch} z=\frac{1}{2}\left( e ^z+ e ^{-z}\right)$ ；
双曲正切函数 $\operatorname{th} z=\frac{\operatorname{sh} z}{\operatorname{ch} z}$ ；
双曲余切函数 $\operatorname{coth} z=\frac{\operatorname{ch} z}{\operatorname{sh} z}$ ．

### 定义2
反双曲正弦函数 $\operatorname{Arsh} z=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^2+1}\right)$ ；

反双曲余弦函数 $\operatorname{Arch} z=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$ ；
反双曲正切函数  $  \operatorname{Arth} z=\frac{1}{2} \operatorname{Ln} \frac{1+z}{1-z}$ ；
反双曲余切函数 $\operatorname{Arcoth} z=\frac{1}{2} \operatorname{Ln} \frac{z+1}{z-1}$.

## 例题

`例` 求 $\cos i$ ．
解：根据定义，有 $\cos i=\frac{ e ^{i i}+ e ^{-i i}}{2}=\frac{ e ^{-1}+ e }{2}$ ．

`例`求 $\sin (1+2 i)$ ．
解：根据定义，有

$$
\begin{aligned}
\sin (1+2 i) & =\frac{e^{i(1+2 i)}-e^{-i(1+2 i)}}{2 i} \\
& =\frac{e^{-2}(\cos 1+i \sin 1)-e^2(\cos 1-i \sin 1)}{2 i} \\
& =\frac{e^2+e^{-2}}{2} \sin 1+i \frac{e^2-e^{-2}}{2} \cos 1 .
\end{aligned}
$$

## 理解：复数三角函数
现在我们已经理解了在任意点 $z$（不仅是在虚轴上的点）处 $e ^z$ 的意义，于是很自然地可将余弦与正弦的定义推广为复函数：

$$
\cos z \equiv \frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}, \quad \sin z \equiv \frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i} ...(2.22)
$$

当然还有另一种方法来推广 $\cos x$ 与 $\sin x$ ，即通过幂级数展开式．

$$
\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots, \quad \sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots
$$

然而，直接写出 $e ^{ \pm i z}$ 的幂级数就很容易看出，这两种方法给出的复函数是一样的．
由定义（2．22）可见， $\cos z$ 和 $\sin z$ 与它们的实自变量的前身有许多共同之处．例如， $\cos (-z)=\cos z, \sin (-z)=-\sin z$ ．还有，因为 $e ^z$ 是以 $2 \pi i$ 为周期的周期函数， $\cos z$ 与 $\sin z$ 也就是周期函数，不过是以 $2 \pi$ 为周期．当我们考察这些映射的几何时，周期性的含义也就更清楚．

（2．22）的其他的直接推论是欧拉公式的以下重要推广：

$$
e^{i z}=\cos z+i \sin z, \quad e^{-i z}=\cos z-i \sin z
$$

**警告： $\cos z$ 与 $\sin z$ 现在就是复数——它们不是 $e ^{ i z}$ 的实部和虚部**．

不难看到，关于 $\cos x$ 与 $\sin x$ 的所有熟知的恒等式对于新的复函数仍然成立．例如，我们仍然有

$$
\cos ^2 z+\sin ^2 z=(\cos z+i \sin z)(\cos z-i \sin z)=e^{i z} e^{-i z}=e^0=1 .
$$

不过，这个恒等式现在不再表示勾股定理．类似于此，我们将证明，如果 $a$ 与 $b$ 是任意复数，则

$$
\begin{aligned}
& \cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b ...(2.23) \\
& \sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b ...(2.24)
\end{aligned}
$$

尽管这些恒等式不再表示单位圆上的点的乘法法则．首先

$$
\begin{aligned}
\cos (a+b)+i \sin (a+b) & =e^{i(a+b)}=e^{i a} e^{i b} \\
& =(\cos a+i \sin a)(\cos b+i \sin b) \\
& =(\cos a \cos b-\sin a \sin b)+i(\sin a \cos b+\cos a \sin b)
\end{aligned}
$$

这些都与前一章完全相同。但是，由于上面的警告，我们不能由令双方的实部与虚部相等而得出（2．23）与（2．24）．相反地，我们需先求出 $\cos (a+b)- i \sin (a+b)$ 的类似恒等式，再与上式相加（或相减）来完成证明

## 与双曲函数的关系

回想一下双曲余弦函数与双曲正弦函数的定义是

$$
\cosh x \equiv \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \quad \sinh x \equiv \frac{e^x-e^{-x}}{2}
$$

把它们解释为 $e ^x$ 与 $\pm e ^{-x}$ 的平均值（即中点）即可得到图 2－24a 与图 2－24b 中 $\cosh x$ 与 $\sinh x$ 的图像．

你可能已经知道， $\cosh x$ 与 $\sinh x$ 都满足一些与 $\cos x$ 和 $\sin x$ 所满足的非常相似的恒等式．例如，若 $r_1, r_2$ 是任意实数，则可证明［练习］

$$
\begin{aligned}
& \cosh \left(r_1+r_2\right)=\cosh r_1 \cosh r_2+\sinh r_1 \sinh r_2 \\
& \sinh \left(r_1+r_2\right)=\sinh r_1 \cosh r_2+\cosh r_1 \sinh r_2
\end{aligned}
$$

然而，图 2－24 也表明双曲函数的实际性状与圆函数（即三角函数）很不相同：它们不是周期函数，而当 $x$ 趋向无穷大时会变得任意大。所以，令人吃惊而且高兴的是，复数的引入带来了这两类函数的统一．

![图片](/uploads/2025-06/f1f538.jpg)
 
 开始时，我们可以看到，如果我们把 $z$ 限制在虚轴上，则

$$
\cos (i y)=\cosh y, \quad \sin (i y)=i \sinh y
$$

这个统一性的一个实际的好处是，如果记得（或能用欧拉公式很快地导出）一个含有余弦和正弦的关于三角函数的恒等式，就可以立刻写出一个关于双曲函数的相应恒等式．举一个例，如果我们以 $a= i r_1$ 和 $b= i r_2$ 代入（2．23）和（2．24），立即可得（2．25）和（2．26）。

圆函数和双曲函数的这种联系，还会变得更密切，如果我们把后者以显然的

![图片](/uploads/2025-06/b4317d.jpg)
 
 方式推广为复函数如下：

$$
\cosh z \equiv \frac{e^z+e^{-z}}{2}, \quad \sinh z \equiv \frac{e^z-e^{-z}}{2}
$$

因为我们有

$$
\cosh z=\cos (i z), \quad \sinh z=-i \sin (i z),
$$

这两类函数的区别就几乎完全消失了： $\cosh$ 就是先旋转 $(\pi / 2)$ ，再继以 $\cos$ 的复合；同样， $\sinh$ 就是先旋转 $(\pi / 2)$ ，接着来一个 $\sin$ ，最后再来一个旋转 $-(\pi / 2)$ ．

##  三角函数可视化映射的几何意义
和实的情况一样， $\sin z=\cos \left(z-\frac{\pi}{2}\right)$ ，这意味着可以由 $\cos$ 得到 $\sin$ ，只要先把复平面平移 $-(\pi / 2)$ ．再由前面的说明就知道只需研究 $\cos z$ 就足以理解所有四个函数： $\cos z, \sin z, \cosh z$ 和 $\sinh z$ ．我们现在来考虑映射 $z \mapsto w=\cos z$ 的几何本性．

我们先从研究位于实轴下侧的水平直线 $y=-c$（这里 $c>0$ ）的象开始．把这条直线理解为一个质点以单位速度向东运动的轨道，这在心理上是有帮助的，于是此点在时刻 $t$ 的位置是 $z=t- i c$ ．在图 2－26 上用粗线画出，当 $z$ 走过这一直线时，$-z$
 ![图片](/uploads/2025-06/204922.jpg)
 
 就沿直线 $y=c$（左上图的虚线）运动，但方向相反．应用映射 $z \mapsto i z$（即旋转 $(\pi / 2))$ ，象点就沿着两条铅直线 $x= \pm c$ 运动，仍为单位速度，在这两条直线上的运动方向仍相反。最后再施以 $z \mapsto \frac{1}{2} e ^z$ ，象点则画出以原点为中心、以 $\frac{1}{2} e ^{ \pm c}$ 为半径的两个圆周．这两个运动都有单位角速度，但两个角速度反号（右图的两个虚线圆周）。

原来在直线 $y=-c$ 上运动的点在映射 $z \mapsto w=\cos z$ 下的象的轨道正是这两个反向旋转的圆周运动之和．它明显地是一种对称的卵形曲线而与实轴和虚轴交于 $a=\cosh c$ 和 $i b= i \sinh c$ 处。也很清楚，每当 $z$ 完成移动 $2 \pi$ 时， $\cos z$ 就完成一次沿此卵形曲线轨道完全的一周；这就是 $\cos z$ 的周期性．

我没有找到更简单的几何解释，但是很容易用式子证明 $\cos z$ 所画出的卵形线是一个完全的椭圆。记 $w=u+ i v$ ，我们可以从图上看出［练习］$u=a \cos t, v=b \sin t$ ，这正是我们熟知的椭圆 $(u / a)^2+(v / b)^2=1$ 的参数式．此外

$$
\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\cosh ^2 c-\sinh ^2 c}=1
$$

所以焦点是处于 $\pm 1$ 处，而与 $z$ 沿之运动的特定水平直线无关．
请试着细细思索一下．这椭圆的形状怎样随 $c$ 而变？当 $c$ 趋近零时，我们又怎样回复到实的余弦函数？而当 $z$ 沿一条位于实轴上侧的直线 $y=c$（这里仍有 $c>0)$ 向东运动时， $\cos z$ 的轨道是什么？铅直线 $x=c$ 在 $z \mapsto \cosh z$ 下的象是什么？ $\sin z$ 当 $z$ 沿直线 $y=c$ 向东运动时的轨道是什么？它与 $\cos z$ 的轨道有何区别；所得到的 $|\sin z|$ 的变化与图 2－25 所示的模曲面是否相容？

在往下读之前，请试用图 2－26 的思想自己画出铅直线在映射 $z \mapsto \cos z$ 下的象．

如图 2－27 所示，答案是双曲线．我们可以用加法法则（2．23）来证明这一点．加法法则给出

$$
u+i v=\cos (x+i y)=\cos x \cosh y-i \sin x \sinh y
$$

在水平直线上，$y$ 是常数，所以 $(u / \cosh y)^2+(v / \sinh y)^2=1$ ，这和前面一样．但在铅直线上，$x$ 是常数，而 $(u / \cos x)^2-(v / \sin x)^2=1$ ，这是一个双曲线的方程．进一步，因为 $\cos ^2 x+\sin ^2 x=1$ ，所以此双曲线的焦点在 $\pm 1$ 处，而与被映射的究竟是哪一条铅直线无关．
 ![图片](/uploads/2025-06/4b33d8.jpg)
 
 图 2－27 上通过画出一个由铅直线与水平直线所成的网格的象把这些结果变得更加生动。注意一个事实，即此网格中的每一个小正方形，都被 $\cos z$ 映成一个形状接近正方形的象。这个听起来惊（看起来喜）的现象我们已经在 $z \mapsto e ^z$ 的情况下见到过了。

希望这已经引起了你的好奇心——以下各章将致力于深入探讨这个现象．在现在的 $z \mapsto \cos z$ 的情况下，我们至少可以对此现象的一部分做出数学解释，那就是，象＂正方形＂的各边确实是以直角相交的；换言之，每个椭圆与每条双曲线交成直角．

这一点是与这些椭圆和双曲线都是共焦的这一性质相联系的。要想证明这个结果［练习］，把每条曲线都设想为一个镜子，再求助于我们熟知的圆锥截线的反射性质：由一个焦点发出的光线将被椭圆直接反射到另一个焦点，而被双曲线反射后，沿着直接背离另一个焦点的方向而去．见图 2－27．

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