最后更新: 2025-01-15 14:17 查看: 217 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

三角函数（复数）

## 三角函数（复数）

由欧拉公式 $e ^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ ，有 $e ^{-i \theta}=\cos \theta-i \sin \theta$ ，

$$
\Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2}\left(e^{i \theta}+e^{-i \theta}\right), \sin \theta=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \theta}-e^{-i \theta}\right)
$$

**正弦函数**
$\sin z=\frac{1}{2 i}\left( e ^{i z}- e ^{-i z}\right)$ ．

**余弦函数** 
$\cos z=\frac{1}{2}\left( e ^{i z}+ e ^{-i z}\right)$ ；

`例`证明 $2 \sin z_1 \cos z_2=\sin \left(z_1+z_2\right)+\sin \left(z_1-z_2\right)$
证明：根据定义：
$$
2 \sin z_1 \cos z_2=2\left(\frac{e^{i z_1}-e^{-i z_1}}{2 i}\right)\left(\frac{e^{i z_2}-e^{-i \varepsilon_2}}{2}\right)
$$

右端乘起来可以化为

$$
\frac{e^{i\left(z_1+z_2\right)}-e^{-i\left(z_1+z_2\right)}}{2 i}+\frac{e^{i\left(z_1-z_2\right)}-e^{-i\left(z_1-z_2\right)}}{2 i},
$$

化简，即可的证。

这样定义的正弦函数和余弦函数具有如下性质：
（1）对于 $z$ 为实数 $y$ 来说，我们的定义与通常正弦函数及余弦函数的定义是一致的．
（2）在 $z$ 平面上是解析的，且

$$
(\sin z)^{\prime}=\cos z, \quad(\cos z)^{\prime}=-\sin z
$$

因为

$$
(\sin z)^{\prime}=\frac{1}{2 i}\left(e^{i z}-e^{-i z}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-i z}\right)=\cos z .
$$

同理可证另一个．

（3） $\sin z$ 是奇函数， $\cos z$ 是偶函数，并遵从通常的三角恒等式：

$$
\begin{aligned}
& \sin ^2 z+\cos ^2 z=1 \\
& \sin \left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cdot \cos z_2+\cos z_1 \cdot \sin z_2 \\
& \cos \left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cdot \cos z_2-\sin z_1 \cdot \sin z_2
\end{aligned}
$$

等等．例如，

$$
\begin{aligned}
\sin \left(z_1+z_2\right) & =\frac{e^{i\left(z_1+z_2\right)}-e^{-i\left(z_1+z_2\right)}}{2 i}=\frac{e^{i z_1} e^{i z_2}-e^{-i z_1} e^{-i z_2}}{2 i} \\
& =\frac{e^{i z_1}-e^{-i z_1}}{2 i} \cdot \frac{e^{i z_2}+e^{-i z_2}}{2}+\frac{e^{i z_1}+e^{-i z_1}}{2} \cdot \frac{e^{i z_2}-e^{-i z_2}}{2 i} \\
& =\sin z_1 \cdot \cos z_2+\cos z_1 \cdot \sin z_2
\end{aligned}
$$

（4） $\sin z$ 及 $\cos z$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数．
 由定

$$
\begin{aligned}
\cos (z+2 \pi) & =\frac{e^{i(z+2 \pi)}+e^{-i(z+2 \pi)}}{2}=\frac{e^{i z} e^{2 \pi i}+e^{-i z} e^{-2 \pi i}}{2} \\
& =\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}=\cos z
\end{aligned}
$$

同理可证另一个．

（5） $\sin z$ 的零点（即 $\sin z=0$ 的根）为

$$
z=n \pi \quad(n=0, \pm 1, \cdots) .
$$

$\cos z$ 的零点为

$$
z=\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi \quad(n=0, \pm 1, \cdots) .
$$

事实上，因为方程 $\sin z=0$ 可以写成 $e ^{2 i z}=1$ ．如令 $z=\alpha+ i \beta$ ，即可写成 $e ^{-2 \beta} e ^{2 i \alpha}=$ $1= e ^{2 n \pi i }$ ，故

$$
e^{-2 \beta}=1, \quad 2 \alpha=2 n \pi \quad(n=0, \pm 1, \cdots)
$$

即

$$
\beta=0, \quad \alpha=n \pi(n=0, \pm 1, \cdots)
$$

所以 $z=n \pi(n=0, \pm 1, \cdots)$ 是 $\sin z$ 的零点．
同理可推得 $\cos z$ 的零点．

（6）在复数域内不能再断言

$$
|\sin z| \leqslant 1, \quad|\cos z| \leqslant 1
$$

例如，取 $z= i y(y>0)$ ，则

$$
\cos (i y)=\frac{e^{i(i)}+e^{-i(i(y)}}{2}=\frac{e^{-y}+e^y}{2}>\frac{e^y}{2}
$$

只要 $y$ 充分大， $\cos (i y)$ 就可大于任一预先给定的正数．

## 其它三角函数
**正切函数**
$ \tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$

**余切函数**
$ \cot z=\frac{\cos z}{\sin z}$

**正割函数**
$ \sec z=\frac{1}{\cos z}$

**余割函数**
$ \csc z=\frac{1}{\sin z}$

`例` 求 $\cos i$ ．
解：根据定义，有 $\cos i=\frac{ e ^{i i}+ e ^{-i i}}{2}=\frac{ e ^{-1}+ e }{2}$ ．

`例`求 $\sin (1+2 i)$ ．
解：根据定义，有

$$
\begin{aligned}
\sin (1+2 i) & =\frac{e^{i(1+2 i)}-e^{-i(1+2 i)}}{2 i} \\
& =\frac{e^{-2}(\cos 1+i \sin 1)-e^2(\cos 1-i \sin 1)}{2 i} \\
& =\frac{e^2+e^{-2}}{2} \sin 1+i \frac{e^2-e^{-2}}{2} \cos 1 .
\end{aligned}
$$

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