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复变函数与积分变换
第四篇 幂级数
绝对收敛与条件收敛
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2025-01-17 09:41
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绝对收敛与条件收敛
## 绝对收敛与条件收敛 **定义** （1）若 $\sum\left|z_n\right|$ 收敛，则称 $\sum z_n$ 绝对收敛。 （2）若 $\sum\left|z_n\right|$ 发散，$\sum z_n$ 收敛，则称 $\sum z_n$ 条件收敛。 **定理** 若 $\sum\left|z_n\right|$ 收敛，则 $\sum z_n$ 必收敛。 证明 由 $\sum\left|z_n\right|$ 收敛，$\Rightarrow \sum \sqrt{x_n^2+y_n^2}$ 收敛， 又由 $\left|x_n\right| \leq \sqrt{x_n^2+y_n^2}, \quad\left|y_n\right| \leq \sqrt{x_n^2+y_n^2}$ ， 根据正项级数的比较法可得，$\sum\left|x_n\right|$ 和 $\sum\left|y_n\right|$ 均收玫， $\Rightarrow \sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 均收敛，$\Rightarrow \sum z_n$ 收敛。 `例`设 $z_n=\frac{i^n}{n!}$ ，讨论级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} z_n$ 的收玫性。 解 由 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left|z_n\right|=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}= e$ ，可知 $\sum_{n=0}^{+\infty} z_n$ 绝对收敛，故 $\sum_{n=0}^{+\infty} z_n$ 收
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