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泰勒Taylor展开定理(复数)

## 为什么会有实数的泰勒展开
对于实数函数展开为幂级数，首先要问一个：为什么？为什么要对函数进行展开，原因很简单：方便估计值。
比如有一个函数$f(x)=e^x$ 问：$f(0.1)$ 和 $f(8.2)$ 的值是多少？ 这是一个初等函数，直接带进去就是

$f(0.1)=e^{0.1}=\sqrt[10]e$
$f(8.2)=e^{8.2}=e^{\frac{100}{82}}=\sqrt[41]{e^{50}}$

面对这么复杂的运算，显然靠手算是困难的，我们希望在“尽可能”简单的情况下，可以估算他的值吗？
当然可以，这就是函数的展开，比如我告诉你$e^x$ 展开式为
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
$$

这样，当你计算
$e^{0.1} \sim 1+0.1=1.1$

你大概能估算 $e^{0.1}$差不多等于1.1，而事实上$e^{0.1}=1.105$ 可以看到，误差非常小，基本上能满足“日常”使用。

再看$e^{8.2}$,如果我们估算他的值,计算$e^{8.2}$的前几项：
$1$ 
$8.2$
$\frac{8.2^2}{2} = \frac{67.24}{2} = 33.62$
$\frac{8.2^3}{6} = \frac{551.368}{6} \approx 91.8947$
$\frac{8.2^4}{24} = \frac{4521.1776}{24} \approx 188.3824$ 
$\frac{8.2^5}{120} = \frac{37073.65632}{120} \approx$308.9471 
$ \frac{8.2^6}{720} = \frac{303993.981824}{720} \approx 422.2139$$

累加前 6 项：

$$
1+ 8.2 + 33.62 + 91.8947 + 188.3824 + 308.9471 + 422.2139 \approx 1054.2581
$$

但实际  $e^{8.2} \approx 3669.2966$ ，可见仅用 6 项误差极大，需要更多项才能逼近真实值。

这样，我们就需要解决3个问题：

**（1）一个函数能不能展开为幂级数。
（2）怎么保证展开的值的精度？
（3）函数展开为幂级数的收敛域是多少**

上面举例里，第（1）问，$e^x$ 可以展开，这已经展示过了，那如何保证（2）问里展开值的精度呢？那就是靠多项式余项。

第（3）个问题主要靠**收敛半径**解决。最常见的是[等比数列](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=144)，即

$$
\frac{1}{1-x}= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$$

取几个值带进去：
当 $x=0.3$ 带入得到

$$
S= \frac{1}{1 - 0.3} = 1+0.3+0.3^2+0.3^3+....=\frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857
$$
非常完美，嗯，再代入$x=3$ 看看

$$
S= \frac{1}{1 - 3} = 1+3+3^2+3^3+....=\frac{1}{-2} \approx -\frac{1}{2}
$$

> 怎么， $1+3+3^2+...= -\frac{1}{2}$ 可以看到，**我们得到了荒谬的结论**

这就是因为当$x=3$时，$\frac{1}{1-x}$ 是发散的，而上面展开式只有在$\frac{1}{1-x}$ 的 $|x|<1$ 时才是收敛的。

上面摘自高等数学，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=448)

但当从实数推广到复数时，有些结论要修改，比如
$$
\frac{1}{1-z}= 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots
$$
因为复数无法比较大小，不能说$i$比$2i$ 大或者小，所有，有些细节有很大区别。

## 把函数展开从实数推广到解析函数
当我们把上面的实数想法推广到复数时，虽然大体思路是和实数类似，但是细节还是有不少区别，其中主要区别点是：
（1）解析函数只要在一点可导就能保证各阶可导，而且收敛半径内必然绝对收敛
（2）另外，复变函数只要在开圆盘内解析，其泰勒展开就没有传统意义上的余项，因为级数会精确收敛到函数值。这是因为“解析”这个更强条件带来的质变。
所以，复数的泰勒展开关注点是：怎么展开和收敛域是多少。

## 泰勒展开定理
我们知道收敛幂级数的和函数一定的解析函数，现在要问的一个问题是：**任何一个解析函数是否一定可以展开为幂级数呢**？

**定理** 设函数 $f$ 在以 $z_0$ 为心，半径为 $R_0$ 的圆 $\left|z-z_0\right|<R_0$ 上处处解析（参考下图），那么 $f(z)$ 有幂级数，表示为

![图片](/uploads/2025-07/fa66ec.jpg){width=300px}
 
 
$$
\boxed {
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n \quad\left(\left|z-z_0\right|<R_0\right),
}
$$

此处

$$
\boxed{
a_n=\dfrac{f^{(n)}\left(z_0\right)}{n!}  =\frac{1}{2 \pi i} \int_l \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}} d z 
}

即当 $z$ 位于上述开圆盘内时，级数 $z_1+z_2...+z_n$收敛于 $f(z)$ ．

其中$l$为$D$内包围$a$点的的任意一条闭曲线

![图片](/uploads/2025-07/d04a3f.jpg)

### 简单证明
考虑一个以 $a$ 点为圆心的圆周 $C$ ，函数 $f(z)$ 在这个区域和边界上解析。根据柯西积分公式：

$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\varsigma)}{\varsigma-z} d \varsigma
$$

对积分号内的分母做简单的变形：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\varsigma-z} & =\frac{1}{(\varsigma-a)-(z-a)} \\
& =\frac{1}{\varsigma-a} \frac{1}{1-\frac{z-a}{\varsigma-a}}
\end{aligned}
$$

在上述公式中，第二个等号后的式子由两个相乘的分式组成，其中第二个分式的分母有一个因子

$$
t=\frac{z-a}{\varsigma-a}
$$

显然，在所考虑的圆内，$|t|<1$ 。根据在高等数学中已经熟悉的认知，可以将第二个分式展开成幂级数：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\varsigma-z} & =\frac{1}{\varsigma-a} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-a}{\varsigma-a}\right)^n \\
& =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-a)^n}{(\varsigma-a)^{n+1}}
\end{aligned}
$$

将这个级数代入柯西积分公式中：

$$
f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-a)^n}{(\varsigma-a)^{n+1}} f(\varsigma) d \varsigma
$$

由于 $|t|<1$ ，积分号内的级数在圆内一致收敛，可以逐项积分：

$$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 \pi i}\left(\oint_C \frac{f(\varsigma)}{(\varsigma-a)^{n+1}} d \varsigma\right)(z-a)^n
$$

还记得对柯西积分公式求导数的结果：

$$
f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(\varsigma)}{(\varsigma-z)^{n+1}} d \varsigma
$$

根据这个导数公式，令

$$
a_n=\frac{f^n(a)}{n!}
$$

得到所讨论的函数的幂级数展开式：

$$
f(z)=\sum_n^{\infty} a_n(z-a)^n
$$

称之为解析函数的**泰勒展开**。

如果所研究的函数是有奇点的，并且 $b$ 点是离 $a$ 点最近的奇点，则在 $a$ 点的邻域将这个函数展开成幂级数后，级数的收玫半径：

$$
R=|b-a|
$$

这意味着，一个解析函数的奇点完全决定了对这个解析函数做泰勒展开后的收敛半径。
一个简单的例子是

$$
\frac{1}{1-z+z^2}
$$

这个函数。不难求出这个函数的两个奇点：

$$
z_{1,2}=\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}
$$

于是，当在原点的邻域对这个函数做泰勒展开后，所得到的幂级数的收敛半径

$$
R=\left|z_{1,2}-0\right|=1
$$

不难明白，一个解析函数在某一点处的泰勒展开是唯一的，这个情况与实变函数的情况完全一样。因此，如果有两个在同一点处展开的级数相等，它们的展开系数必定相等。这意味着，不一定用求导数的方法求系数，能用拼凑的方法得出展开的结果就更好了。

从解析函数的泰勒展开公式不难发现，解析函数的泰勒展开与实变函数的泰勒展开形式相同。

## 初等复变函数的泰勒展开

我们已经在普遍的形式上对解析函数的泰勒展开做了讨论，结果发现，解析函数的泰勒展开与实变函数的泰勒展开形式上完全相同。让我们先看最基本的几个初等复变函数，以印证上述一般性的结论。最简单的一个初等复变函数是指数函数$e^z$：

`例`将函数 $f(z)=\mathrm{e}^z$ 在 $z=0$ 点展开为幂级数。
解 $f^{(n)}(0)=\left.\mathrm{e}^z\right|_{z=0}=1, \Rightarrow a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n !}=\frac{1}{n !}$,

$$
f(z)=\mathrm{e}^z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n !}
$$
即
$$
\boxed{
e^z=1+z+\frac{z^2}{2 !}+\cdots+\frac{z^n}{n !}+\cdots,|z|<+\infty
} ...(1.1)
$$

如果取$z=1+i$ 就可以看到

$$
e^{1+i} =1+(1+i)+\frac{(1+i)^2}{2 !}+\frac{(1+i)^3}{3 !}...
$$

`例` 作为比较，看一下将函数 $f(z)=\mathrm{e}^z$ 在 $z=3$ 点展开为幂级数。

解：$e^z$ 的任意阶导数均为其本身，即 $ \frac{d^n}{dz^n} e^z = e^z $（对所有非负整数 $ n $ 成立）。  
   在点 $z = 3 $ 处，函数值及各阶导数值均为 $e^3 $，即 $f^{(n)}(3) = e^3 $。
 
  函数 $f(z) $ 在 $z = a $ 处的泰勒级数为：
$$
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (z - a)^n
   $$
   代入 $f(z) = e^z $ 和 $a = 3 $，得：
   $$
   e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^3}{n!} (z - 3)^n
   $$
   
 为更直观，写出级数的前几项：
   $$
   e^z = e^3 \left[ 1 + (z - 3) + \frac{(z - 3)^2}{2!} + \frac{(z - 3)^3}{3!} + \frac{(z - 3)^4}{4!} + \cdots \right]
   $$

> 另解， 由于$e^z=e^{3+(z-3)}=e^3e^{z-3}$ ,把$z-3$看成一个整体，带入由标准的(1.1)的$e^z$展开，也可以得到同样的结论。

## 常见问题解答 
**（1）** 为什么只能在圆域 $\left|z-z_0\right|<R$ 上展开为幂级数，而不是在整个解析区域 $D$ 上展开？

回答 这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：
－幂级数的收敛域必须是圆域。
－幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。

**（2）** 对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？
可以知道。一个结论 函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点展开为泰勒级数，其收敛半径等于从 $z_0$ 点到 $f(z)$ 的最近一个奇点 $\widetilde{z}$ 的距离。

理由
①幂级数在收敛圆内解析，因此奇点 $\widetilde{z}$ 不可能在收敛圆内；
②奇点 $\widetilde{z}$ 也不可能在收玫圆外，不然收玫半径还可以扩大，故奇点 $\widetilde{z}$ 只能在收敛圆周上。

**（3）** 对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的吗？
答：都是一样的，即具有唯一性。
比如 将函数 $f(z)=\frac{1}{1-z}$ 在 $z=0$ 点展开为幂级数。
方法一 利用已知的结果 :

$$
\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots,(|z|<1) \text {. }
$$

方法二 利用泰勒定理: $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n !}=1$.
   
## 将函数展开为泰勒级数举例
 
`例` 将 $f(z)=\frac{1}{1-z}$ 在 $z=0$ 的邻域内展开．
解 由于 $f(z)$ 在全平面除 $z=1$ 点外为解析，因此 $f(z)$ 可以在 $|z|<1$ 内展开为幂级数，而且 $|z|<1$ 就是幂级数的收敛圆．该幂级数的形式应是 $\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n$ ．我们已知道，

$$
\boxed{
1+z+z^2+\cdots+z^n+\cdots=\frac{1}{1-z}, \quad|z|<1  ...(4.7)
}
$$

这个展开式就是我们所要求的泰勒展开式．

>上式是一个很有用的公式．如我们已经看到的，它是泰勒定理证明中关键的一步，今后它还要扮演重要的角色．

我们在这里先举两个例子．
 
 
 `例` 求函数 $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$ 在 $z=0$ 的邻域内的泰勒展开式．
解 由于 $f(z)$ 在全平面除去 $z= i$ 及 $z=- i$ 以外为解析，故 $f(z)$ 在 $|z|<1$

内可以展为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n$ ．当 $|z|<1$ 时，$\left|z^2\right|<1$ ，套用公式（4．7）可得

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{1+z^2} & =\frac{1}{1-\left(-z^2\right)}=1+\left(-z^2\right)+\left(-z^

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