最后更新: 2025-01-17 10:03 ● 参与者查看: 210 次纠错分享参与项目词条搜索

幂级数的性质与展开

## 幂级数的运算性质
**性质** 设 $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n,|z|<r_1, g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n,|z|<r_2$ ，令 $r=\min \left(r_1, r_2\right)$ ，则在 $|z|<r$ 内有

$$
\begin{aligned}
& f(z) \pm g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \pm \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n \pm b_n\right) z^n \\
& \begin{aligned}
f(z) g(z) & =\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) z^n \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_0 b_n+a_1 b_{n-1}+\cdots+a_n b_0\right) z^n
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

**性质** 设 $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n,\left|z-z_0\right|<R$ ，则
（1）函数 $f(z)$ 在收敛圆 $\left|z-z_0\right|<R$ 内解析。
（2）函数 $f(z)$ 的导数可由其幂函数**逐项求导**得到，即

$$
f^{\prime}(z)=\sum_{n=1}^{+\infty} n a_n\left(z-z_0\right)^{n-1}
$$

（3）在收敛圆内可以**逐项积分**，即

$$
F(z)=\int_{z_0}^z f(z) d z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}\left(z-z_0\right)^{n+1} .
$$

### 幂级数的代换（复合）性质
性质 设级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ 在 $|z|<R$ 内收玫，和函数为 $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ ，又设函数 $g(z)$ 在 $|z|<r$ 内解析，且满足 $|g(z)|<R$ ，则当 $|z|<r$ 时，有 $f[g(z)]=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n[g(z)]^n$ ．

在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。

## 例题

`例`把函数 $\frac{1}{(1-z)^2}$ 表示成形如 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ 的幂级数。
解 方法一 利用乘法运算性质

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{(1-z)^2} & =\frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-z}=\left(1+z+z^2+\cdots\right)\left(1+z+z^2+\cdots\right) \\
& =1+2 z+3 z^2+\cdots+(n+1) z^n+\cdots,|z|<1
\end{aligned}
$$

方法二 利用逐项求导性质

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{(1-z)^2} & =\left(\frac{1}{1-z}\right)^{\prime}=\left(1+z+z^2+\cdots\right)^{\prime} \\
& =1+2 z+3 z^2+\cdots+(n+1) z^n+\cdots,|z|<1
\end{aligned}
$$

`例`把函数 $\frac{1}{z-b}$ 表示成形如 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-a)^n$ 的幂级数,其中 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 是不相等的复常数。

解

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{z-b} & =\frac{1}{(z-a)-(b-a)}=-\frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-a}{b-a}} \\
& =-\frac{1}{b-a}-\frac{(z-a)}{(b-a)^2}-\frac{(z-a)^2}{(b-a)^3}-\cdots-\frac{(z-a)^n}{(b-a)^{n+1}}-\cdots,
\end{aligned}
$$

其收玫半径为 $\boldsymbol{R}=|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|$, 收玫圆为 $|z-a|<|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|$.

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