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复变函数与积分变换
第四篇 幂级数
收敛圆与收敛半径
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2025-01-17 09:50
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收敛圆与收敛半径
## 收敛圆与收敛半径 定义 如图设 $C_R$ 的半径为 $R$ , (1)称圆域 $|z|<R$ 为收敛圆。 (2)称 $R$ 为收敛半径。 ![图片](/uploads/2025-01/2968af.jpg){width=300px} 注意 级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。 约定 $R=0$ 表示级数仅在 $z=0$ 点收敛; $R =+\infty$ 表示级数在整个复平面上 收敛。 `例`考察级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}(n z)^n=1+z+(2 z)^2+(3 z)^3+\cdots$ 的收敛性。 解 对任意的 $z \neq 0$ ,都有 $\lim _{n \rightarrow+\infty}( n z )^n \neq 0$ , 故级数 $\sum(n z)^n$ 仅在 $z=0$ 点收玫,收敛半径为 $R=0$ . `例`考察级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z}{n}\right)^n=1+z+\left(\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{z}{3}\right)^3+\cdots$ 的收敛性。 解 对任意固定的 $z, \exists N$ ,当 $n>N$ 时,有 $\frac{|z|}{n}<\frac{1}{2}$ ,由 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 收敛,$\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{|z|}{n}\right)^n$ 收玫, 因此级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z}{n}\right)^n$ 在全平面上收玫,收玫半径为 $R=+\infty$ . `例`求幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n=1+z+z^2+\cdots$ 的收敛半径与和函数。 解 级数的部分和为 $s_n=1+z+z^2+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z},(z \neq 1)$ (1)当 $|z|<1$ 时, $\lim _{n \rightarrow+\infty}|z|^{n+1}=0, \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} z^{n+1}=0$ , $\Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} s_n=\frac{1}{1-z}$ ,级数收敛; (2)当 $|z| \geq 1$ 时, $\lim _{n \rightarrow+\infty} z^{n+1} \neq 0$ ,级数发散。 故级数收敛半径为 $R=1$ ,和函数为 $s(z)=\frac{1}{1-z}$ . $$ \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots,(|z|<1) $$
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