最后更新: 2025-01-17 09:50 ● 参与者查看: 209 次纠错分享参与项目词条搜索

收敛圆与收敛半径

## 收敛圆与收敛半径

定义 如图设 $C_R$ 的半径为 $R$ ，
（1）称圆域 $|z|<R$ 为收敛圆。
（2）称 $R$ 为收敛半径。
 ![图片](/uploads/2025-01/2968af.jpg){width=300px}
 
注意 级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。

约定 $R=0$ 表示级数仅在 $z=0$ 点收敛；
$R =+\infty$ 表示级数在整个复平面上 收敛。

`例`考察级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}(n z)^n=1+z+(2 z)^2+(3 z)^3+\cdots$ 的收敛性。

解 对任意的 $z \neq 0$ ，都有 $\lim _{n \rightarrow+\infty}( n z )^n \neq 0$ ， 故级数 $\sum(n z)^n$ 仅在 $z=0$ 点收玫，收敛半径为 $R=0$ ．

`例`考察级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z}{n}\right)^n=1+z+\left(\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{z}{3}\right)^3+\cdots$ 的收敛性。
解 对任意固定的 $z, \exists N$ ，当 $n>N$ 时，有 $\frac{|z|}{n}<\frac{1}{2}$ ，由 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 收敛，$\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{|z|}{n}\right)^n$ 收玫，
因此级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z}{n}\right)^n$ 在全平面上收玫，收玫半径为 $R=+\infty$ ．

`例`求幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n=1+z+z^2+\cdots$ 的收敛半径与和函数。
解 级数的部分和为 $s_n=1+z+z^2+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z},(z \neq 1)$
（1）当 $|z|<1$ 时， $\lim _{n \rightarrow+\infty}|z|^{n+1}=0, \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} z^{n+1}=0$ ，
$\Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} s_n=\frac{1}{1-z}$ ，级数收敛；
（2）当 $|z| \geq 1$ 时， $\lim _{n \rightarrow+\infty} z^{n+1} \neq 0$ ，级数发散。
故级数收敛半径为 $R=1$ ，和函数为 $s(z)=\frac{1}{1-z}$ ．

$$
\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots,(|z|<1)
$$

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