最后更新: 2025-01-17 10:00 ● 参与者查看: 30 次纠错分享参与项目词条搜索

求收敛半径的方法

## 求收敛半径的方法

对于幂级数 $\sum a_n z^n$ ，有
（1）**比值法** 如果 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}=\lambda$ ，则收玫半径为 $R=\frac{1}{\lambda}$ ．

推导 考虑正项级数 $\sum\left|a_n z^n\right|$ ，利用达朗贝尔判别法：

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|a_{n+1} z^{n+1}\right|}{\left|a_n z^n\right|}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|} \cdot|z|=\lambda|z|,
$$

$\left.\begin{array}{l}\text { 当 } \lambda|z|<1 \text { 即 }|z|<1 / \lambda \text { 时，级数收玫；} \\ \text { 当 } \lambda|z|>1 \text { 即 }|z|>1 / \lambda \text { 时，级数发散。 }\end{array}\right\} \Rightarrow R=\frac{1}{\lambda}$ ．

对于幂级数 $\sum a_n z^n$ ，有
（1）比值法 如果 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}=\lambda$ ，则收敛半径为 $R=\frac{1}{\lambda}$ ．
（2）根值法 如果 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left|c_n\right|}=\rho$ ，则收敛半径为 $R=\frac{1}{\rho}$ ．
（利用正项级数的柯西判别法即可得到）

`例`求幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n^2}$ 的收敛半径与收敛圆。
解 由 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}=1$ ，得
收玫半径为 $R=1$ ，收玫圆为 $|z|<1$ ．

`例`求幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$ 的收敛半径与收敛圆。
解 由 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n!}{(n+1)!}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n+1}=0$ ，得收玫半径为 $R=+\infty$ ，收玫圆为 $|z|<+\infty$ ．

`例`求幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}(z-1)^n$ 的收敛半径与收敛圆。
解 由于

$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|} & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}} \\
& =\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
\end{aligned}
$$

故级数的收敛半径为 $R=\frac{1}{ e }$ ，收敛圆为 $|z-1|<\frac{1}{ e }$ ．

上一篇：收敛圆与收敛半径

下一篇：幂级数的性质与展开

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)