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复变函数与积分变换
第四篇 幂级数
阿贝尔 ( Abel ) 定理
最后
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2025-01-17 09:46
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阿贝尔 ( Abel ) 定理
## 阿贝尔 ( Abel ) 定理 **定理** 对于幂级数 $\sum a_n z^n$ ，有 （1）如果级数在 $z_0$ 点收敛，则它在 $|z|<\left|z_0\right|$ 上绝对收敛； （2）如果级数在 $z_1$ 点发散，则它在 $|z|>\left|z_1\right|$ 上发散。 证明（1）由 $\sum a_n z_0^n$ 收玫，有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n z_0^n=0$ ， 则存在 $M$ ，使对所有的 $n$ 有 $\left|a_n z_0^n\right| \leq M$ ， $$ \Rightarrow\left|a_n z^n\right|=\left|a_n z_0^n\right| \cdot\left|\frac{z}{z_0}\right|^n \leq M q^n \text {, 其中 } q=\left|\frac{z}{z_0}\right| \text {, } $$ 当 $|z|<\left|z_0\right|$ 时，$q<1$ ，即得 $\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_n z^n\right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} M q^n$ 收敛。 （2）反证法：已知级数在 $z_1$ 点发散， 假设存在 $z_2:\left|z_2\right|>\left|z_1\right|$ ，使得级数在 $z_2$ 点收玫，由定理的第（1）条有，级数在 $|z|<\left|z_2\right|$ 上绝对收敛； $\Rightarrow$ 级数在 $z_1$ 点收敛，与已知条件矛盾。
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