最后更新: 2025-06-23 14:46 查看: 222 次反馈同步训练

幂级数的概念

## 实函数的幂级数
实幂级数的神秘之处许多实函数 $F(x)$ 都可以写为幂级数（例如用泰勒定理）：

$$
F(x)=\sum_{j=0}^{\infty} c_j x^j=c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3+\cdots
$$

其中 $c_j$ 都是实数，$x$ 是实数．当然，这个无穷级数一般地只在某个以原点为中点的收敛区间 $-R<x<R$ 中收敛于 $F(x)$ ．但是 $R$（收敛半径）是怎样由 $F(x)$ 确定的？

结果是，这个问题有非常简单的答案，但只是当我们在复平面上研究它的实质时才有这样的答案。如果我们反过来只限制在实直线上——在最初用到这些级数的时代，数学家还不得不这样做—— $R$ 和 $F(x)$ 之间的关系还极为神秘．从历史上说，正是这种神秘才引导柯西在复分析中取得好几个突破。

要想看到确有神秘之处，考虑下面两个函数：

$$
G(x)=\frac{1}{1-x^2}, \quad H(x)=\frac{1}{1+x^2}
$$

由熟知的无穷几何级数

$$
\frac{1}{1-x}=\sum_{j=0}^{\infty} x^j=1+x+x^2+x^3+\cdots, \quad \text { 当且仅当 }-1<x<1,
$$

就得出

$$
G(x)=\sum_{j=0}^{\infty} x^{2 j}, \quad H(x)=\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j x^{2 j}
$$

这两个级数都有同样的收敛区间：$-1<x<1$ ．
看一下图 2－12a 就很容易懂得，何以 $G(x)$ 级数的收玫区间是 $-1<x<1$ ．这个级数在 $x= \pm 1$ 处都发散，因为这两点是函数本身的奇点，就是说，它们是 $|G(x)|$变为无穷之处。但是如果看图 2－12b 上画的 $y=|H(x)|$ ，似乎这个级数没有理由在 $x= \pm 1$ 处爆破．然而它确实爆破了．

![图片](/uploads/2025-06/fcff31.jpg)
 
 为了进而理解这一点，我们以 $x=k$（而不是 $x=0$ ）为中心把它们展为幂级数，即把它们写成 $\sum_{j=0}^{\infty} c_j X^j$ 的形状，其中 $X=(x-k)$ 度量由中心 $k$ 到 $x$ 的位移．为了展开 $G$ ，我们先在 $k$ 处展开 $1 /(a-x)$ 作为（2．3）的推广：

$$
\frac{1}{a-x}=\frac{1}{a-(X+k)}=\frac{1}{(a-k)} \frac{1}{1-\left(\frac{X}{a-k}\right)}
$$
所以

$$
\frac{1}{a-x}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{X^j}{(a-k)^{j+1}} \text {, 当且仅当 }|X|<|a-k| \text {. }
$$

为了把它用于 $G$ ，做因式分解 $\left(1-x^2\right)=(1-x)(1+x)$ ，然后把 $G$ 分成分项分式

$$
\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-x}-\frac{1}{-1-x}\right]=\frac{1}{2} \sum_{j=0}^{\infty}\left[\frac{1}{(1-k)^{j+1}}-\frac{1}{(-1-k)^{j+1}}\right] X^j
$$

这两项分别适用于 $|X|<|1-k|$ 和 $|X|<|1+k|$ ，所以收敛区间 $|X|<R$ 由下式给出：

$$
R=\min (|1-k|,|1+k|)=(\text { 由 } k \text { 到最近的 } G \text { 之奇点的距离 }) \text {. }
$$

图 2－13a 上画出了这个很容易理解的结果，暂时不去问那个加了阴影的圆盘．

![图片](/uploads/2025-06/abe413.jpg)
 
 在 $H(x)

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