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复变函数与积分变换
第四篇 幂级数
幂级数的运算
最后
更新:
2025-06-23 14:57
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幂级数的运算
幂级数可以用多项式逼近到任意的精确度,这一事实蕴涵着两个具有相同中心的幂级数可以如多项式一样去相加、相乘和相除。 如果两个幂级数 $P(z)$ 和 $Q(z)$ 分别具有收玫圆盘 $D_1$ 和 $D_2$ ,则所得的 $(P+Q)$ 与 $P Q$ 至少将在 $D_1$ 和 $D_2$ 中的较小一个圆盘中收敛(也可能在大一些的圆盘中收玫)。在 $(P / Q)=P(1 / Q)$ 的情况则没有这种一般的结论,因为 $(1 / Q)$ 的级数的收玫性不仅受限于 $D_2$ 的边缘圆周,还受限于 $D_2$ 中使 $Q(z)=0$ 的点,因此我们这时还要假定 $Q(0) \neq 0$ 。 现在用几个例子来说明(2.13).前面我们在求 $1 /\left(1-z^2\right)$ 以 $k$ 为中心的幂级数时,其实已经假设了这个结果成立.用分项分式来分解 $$ \frac{1}{1-z^2}=\frac{(1 / 2)}{1-z}+\frac{(1 / 2)}{1+z} $$ 我们对右方的两个函数得出了两个幂级数,然后假设可以如多项式一样处理,即将相应系数相加。 在 $k=0$ 的特例下,我们可以验证这个程序能行,因为我们已经知道对于以原点为中心的级数的正确答案是 $$ \frac{1}{1-z^2}=1+z^2+z^4+z^6+\cdots $$ 因为 $$ \begin{aligned} & \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+\cdots, \\ & \frac{1}{1+z}=1-z+z^2-z^3+z^4-z^5+\cdots, \end{aligned} $$ 可见,把相应项的系数相加确实给出 $1 /\left(1-z^2\right)$ 的正确的级数. 因为也可以写出 $$ \frac{1}{1-z^2}=\left[\frac{1}{1-z}\righ
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