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复变函数论
第七篇 留数及其应用
留数的概念
日期:
2023-11-18 13:43
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留数的概念
定义 设 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 的孤立奇点, 将 $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域内展开成洛朗级数: $$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n=\cdots+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1\left(z-z_0\right)+\cdots, $$ 称 $a_{-1}$ 为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的留数, 记作: $$ \operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=a_{-1}=\frac{1}{2 \pi i} \oint_C f(z) \mathrm{d} z, $$ 其中, $C$ 是 $z_0$ 的去心邻域内绕 $z_0$ 的一条简单闭曲线。 注 有时直接称 $\frac{1}{2 \pi i} \int_C f(z) \mathrm{d} z$ 为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的留数。    
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