最后更新: 2025-01-18 10:40 查看: 290 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

留数的概念

## 留数的概念
 设 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 的孤立奇点, 将 $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域内展开成洛朗级数:

$$
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n=\cdots+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1\left(z-z_0\right)+\cdots,
$$

称 $a_{-1}$ 为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的留数, 记作:

$$
\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=a_{-1}=\frac{1}{2 \pi i} \oint_C f(z) \mathrm{d} z,
$$

其中, $C$ 是 $z_0$ 的去心邻域内绕 $z_0$ 的一条简单闭曲线。
注 有时直接称 $\frac{1}{2 \pi i} \int_C f(z) \mathrm{d} z$ 为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的留数。

## 留数的计算方法
1．可去奇点
方法 若 $z_0$ 为 $f(z)$ 的可去奇点，则 $\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=0$ ．
2．本性奇点
方法 若 $z_0$ 为 $f(z)$ 的本性奇点，则＂只好＂将 $$(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域内展开成洛朗级数。

注（1）在具体展开的时候，并不需要写出＂完整＂的洛朗级数，只需将其中负一次幂的系数 $a _{-1}$ 求出来就可以了。
（2）对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。

3.极点
方法 若 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，
则 $\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=\frac{1}{(m-1)!} \lim _{z \rightarrow z_0} \frac{ d ^{m-1}}{ d z^{m-1}}\left[\left(z-z_0\right)^m f(z)\right]$ ．
理由 $f(z)=\frac{a_{-m}}{\left(z-z_0\right)^m} \cdots+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1\left(z-z_0\right)+\cdots$ ，

$$
\begin{aligned}
& \left(z-z_0\right)^m f(z)=a_{-m}+\cdots+a_{-1}\left(z-z_0\right)^{m-1}+a_0\left(z-z_0\right)^m+\cdots, \\
& \frac{ d ^{m-1}}{d z^{m-1}}\left[\left(z-z_0\right)^m f(z)\right]=(m-1)!a_{-1}+\left(z-z_0\right) \varphi(z), \\
& a_{-1}=\frac{1}{(m-1)!} \lim _{z \rightarrow z_0} \frac{ d ^{m-1}}{d_z^{m-1}}\left[\left(z-z_0\right)^m f(z)\right] .
\end{aligned}
$$

若 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，
则 $\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=\frac{1}{(m-1)!} \lim _{z \rightarrow z_0} \frac{ d ^{m-1}}{ d ^{m-1}}\left[\left(z-z_0\right)^m f(z)\right]$ ．
（1）若 $z_0$ 为 $f(z)$ 的简单极点，则

$$
\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=\lim _{z \rightarrow z_0}\left(z-z_0\right) f(z)
$$

（2）若 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}, \quad Q\left(z_0\right)=0, Q^{\prime}\left(z_0\right) \neq 0, P\left(z_0\right) \neq 0$ ，且 $P(z), Q(z)$ 在 $z_0$ 点解析，则 $\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=\frac{P\left(z_0\right)}{Q^{\prime}\left(z_0\right)}$ ．

特别（2）若 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}, Q\left(z_0\right)=0, Q^{\prime}\left(z_0\right) \neq 0, P\left(z_0\right) \neq 0$ ，且 $P(z), Q(z)$ 在 $z_0$ 点解析，则 $\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=\frac{P\left(z_0\right)}{Q^{\prime}\left(z_0\right)}$ ．
 事实上，此时 $z_0$ 为 $f(z)$ 的简单极点，故有

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right] & =\lim _{z \rightarrow z_0}\left(z-z_0\right) \frac{P(z)}{Q(z)} \\
& =\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{P(z)}{\frac{Q(z)-Q\left(z_0\right)}{z-z_0}}=\frac{P\left(z_0\right)}{Q^{\prime}\left(z_0\right)} .
\end{aligned}
$$

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