最后更新: 2025-01-18 10:35 查看: 601 次反馈刷题

判断极点的阶数

## 判断极点的阶数
若 $f(z)=\frac{1}{\left(z-z_0\right)^N} \varphi(z)$, 其中 $\varphi(z)$ 在 $z_0$ 点的邻域内解析,且 $\varphi\left(z_0\right) \neq 0$, 则 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $N$ 阶极点。

> 事实上, $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $N$ 阶极点的充要条件(即定义)为：

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{a_{-N}}{\left(z-z_0\right)^N}+\cdots \frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1\left(z-z_0\right)+\cdots \\
& =\frac{1}{\left(z-z_0\right)^N}\left[a_{-N}+a_{-N+1}\left(z-z_0\right)+\cdots\right]=\frac{1}{\left(z-z_0\right)^N} \varphi(z),
\end{aligned}
$$

其中, $\varphi(z)$ 在 $z_0$ 点的邻域内解析, 且 $\varphi\left(z_0\right)=a_{-N} \neq 0$.

若 $f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$, 且 $z_0$ 为 $\varphi(z)$ 的 $n$ 阶零点, 为 $\psi(z)$ 的 $m$ 阶零点, 即 $f(z)=\frac{\left(z-z_0\right)^m \varphi_1(z)}{\left(z-z_0\right)^n \psi_1(z)}=\frac{\left(z-z_0\right)^m}{\left(z-z_0\right)^n} Q(z)$,

则 (1) 当 $m \geq n$ 时, $z_0$ 为 $f(z)$ 的可去奇点。
   (2) 当 $m<n$ 时, $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $(n-m)$ 阶极点。

**特别地**, 若 $f(z)=\frac{1}{\psi(z)}$,
  则 $\psi(z)$ 的 $n$ 阶零点就是 $f(z)$ 的 $n$ 阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{z^2-1}{z^3-z^2-z+1}$ 的奇点的类型。
解 由于 $f(z)=\frac{(z+1)(z-1)}{(z+1)(z-1)^2}$ ，故 $z=-1$ 是 $f(z)$ 的可去奇点， $z=1$ 是 $f(z)$ 的一阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{1}{z\left(z^2+1\right)^2}$ 的奇点的类型。
解 由于 $f(z)=\frac{1}{z(z-i)^2(z+i)^2}$ ，故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的一阶极点， $z= \pm i$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{1}{\cos z}$ 的奇点的类型。
解 令 $z_k=k \pi+\frac{\pi}{2}, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$,
由于 $z_k$ 是 $\cos z$ 的一阶零点, 故 $z_k$ 是 $f(z)$ 的一阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{\cos z}{\sin ^2 z}$ 的奇点的类型。
解 令 $z_k=k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$,
由于 $z_k$ 是 $\sin ^2 z$ 的二阶零点, 但不是 $\cos z$ 的零点,
故 $z_k$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{\mathrm{e}^z-(1+z)}{z^4}$ 的奇点的类型。
解 由于 $z=0$ 是 $z^4$ 的四阶零点, 且是 $\mathrm{e}^z-(1+z)$ 的二阶零点,故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

> 注 直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内的洛朗级数, 有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{1}{z^4}\left[\left(1+z+\frac{1}{2 !} z^2+\frac{1}{3 !} z^3+\frac{1}{4 !} z^4+\frac{1}{5 !} z^5+\cdots\right)-(1+z)\right] \\
& =\frac{1}{2 ! z^2}+\frac{1}{3 ! z}+\frac{1}{4 !}+\frac{1}{5 !} z \cdots, \quad(0<|z|<+\infty) .
\end{aligned}
$$

因此, $z=0$ 为 $f(z)$ 的二阶极点。

`例` 判断函数 $f(z)=\frac{\mathrm{e}^z-1}{z-\sin z}$ 的奇点的类型。
解 由于 $z=0$ 是 $z-\sin z$ 的三阶零点, 且是 $\mathrm{e}^z-1$ 的一阶零点,故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

`例` 判断函数 $f(z)=\frac{\sin z}{z\left(\mathrm{e}^{z^2}-1\right)}$ 的奇点的类型。
解 由于 $z=0$ 是 $z\left(\mathrm{e}^{z^2}-1\right)$ 的三阶零点, 且是 $\sin z$ 的一阶零点,故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

###  什么情况下会出现本性奇点呢?
 
 ![图片](/uploads/2025-01/01af3c.jpg)

> 上述函数都有一个共同点：$f(z)=g\left(\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\right)$ ．

![图片](/uploads/2025-01/bdbe9a.jpg)

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