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判断极点的阶数

## 零点和极点的关系

> 本节主要讲什么？判断奇点的阶数是留数应用的重要内容。本节仍然可以认为是为留数准备的预备知识。直接通过定义判断极点阶数并不容易，我们希望能找到更好的方法来判断奇点的阶数，为此引入了如下定理。

### 定理
定理  设 $a$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，则下面两个条件的任一个，都是 $a$ 为 $f(z)$的 $m$ 级极点的充分必要条件：

> **1）$f(z)$ 在某环域内可表示为 $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-a)^m}$ 其中，$\varphi(z)$ 在 $a$ 点解析，且 $\varphi(a) \neq 0$ ．
2） 若 $f(z)=\frac{1}{g(z)}$,  则 $g(z)$ 的 $n$ 阶零点就是 $f(z)$ 的 $n$ 阶极点．**

证明：证明的核心思路是把函数洛朗展开，然后提取公因子$(z-a)^m$ 判断

$$
\begin{aligned}
f(z)= & \frac{a_{-m}}{(z-a)^m}+\frac{a_{-(m-1)}}{(z-n)^{m-1}}+\cdots+\frac{a_{-1}}{(z-a)}  +a_0+a_1(z-a)+\cdots \\
= & \frac{1}{(z-a)^m}\left[a_{-m}+a_{-(m-1)}(z-a)+\cdots\right]=\frac{\varphi(z)}{(z-a)^m}
\end{aligned}
$$

其中，$\varphi(z)=a_{-m}+a_{-(m-1)}(z-a)+\cdots$ 在 $a$ 解析，且

$$
\varphi(a)=a_{-m} \neq 0
$$

由

$$
g(z)=\frac{1}{f(z)}=(z-a)^m \frac{1}{\varphi(z)}
$$

因 $\varphi(a) \neq 0$ ，所以 $1 / \varphi(z)$ 在 $a$ 点解析，且 $1 / \varphi(a) \neq 0$ ．由此可知，$a$ 是 $g(z)$ 的可去奇点，作为解析点来看，显然 $a$ 是 $g(z)$ 的 $m$ 级零点．
 
具体：略。

## 判断极点的阶数
在复变函数中，判断一个极点（pole）的阶数，通常有以下几种常用且严格的方法。以下是详细的步骤和解释：

### 1. 核心定义法（利用洛朗级数）
如果一个函数 $ f(z)$ 在孤立奇点 $ z_0$ 的去心邻域内解析，且其**洛朗级数**展开式为：
$$
f(z) = \frac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \frac{a_{-m+1}}{(z-z_0)^{m-1}} + \cdots + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots
$$
其中 $ a_{-m} \neq 0$，则 $ z_0$ 是 $ m$ 阶极点。
*   **判断方法**：直接展开函数，看负幂项的最高次幂（即最靠近原点的负幂项的次数）。

### 2. 极限法（利用 $\lim_{z \to z_0} f(z)$ 的发散速度）
这是最常用的快速判别法：
*   **可去奇点**：$\lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z) = 0$。 详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=887)

*   **$ m$ 阶极点**：$\lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z) =  非零的常数 $。

*   具体做法是：尝试整数 $ m = 1, 2, 3, \dots$，直到 $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z)$ 存在且不为 0（也不为 $\infty$）为止，此时的 $ m$ 就是阶数。

### 3. 零点与极点的关系（针对有理函数或分式形式）
如果函数可以表示为 $ f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}$ 的形式，其中 $ g(z)$ 和 $ h(z)$ 在 $ z_0$ 处解析：
*   若 $ z_0$ 是 $ h(z)$ 的 **$ m$ 阶零点**，且 $ g(z_0) \neq 0$，则 $ z_0$ 是 $ f(z)$ 的 **$ m$ 阶极点**。
*   若 $ g(z_0) = 0$，设 $ z_0$ 是 $ g(z)$ 的 $ n$ 阶零点，是 $ h(z)$ 的 $ m$ 阶零点：
    *   如果 $ m > n$，则 $ z_0$ 是 $ f(z)$ 的 $ m-n$ 阶极点。
    *   如果 $ m \le n$，则 $ z_0$ 是可去奇点（或解析点）。

### 4. 利用导数公式（针对简单极点）
对于一阶极点（$ m=1$），可以用一个简便公式求留数（Residue），反过来也可以辅助判断是否为一阶：
$$
\text{Res}[f, z_0] = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)
$$
如果该极限存在且不为零，则 $ z_0$ 是一阶极点。

---

### 举例说明

**例 1：有理函数**
$ f(z) = \frac{z+1}{(z-1)^2 (z+2)}$，判断 $ z=1$ 和 $ z=-2$ 的极点阶数。
*   在 $ z=1$ 处：分母有 $ (z-1)^2$，分子 $ z+1$ 在 $ z=1$ 处不为 0（值为 2）。根据方法 3，$ z=1$ 是分母的 2 阶零点，分子的非零点，所以是 **2 阶极点**。
*   在 $ z=-2$ 处：分母有 $ (z+2)$ 的一次幂，分子 $ z+1$ 在 $ z=-2$ 处为 -1 ≠ 0。所以是 **1 阶极点**。

**例 2：含三角函数的函数**
$ f(z) = \frac{\sin z}{z^3}$，判断 $ z=0$ 的奇点类型。
*   使用洛朗展开（方法1）：$ \sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots$
    $ f(z) = \frac{1}{z^3} (z - \frac{z^3}{6} + \cdots) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{6} + \cdots$
    负幂项最高次是 $ z^{-2}$，所以是 **2 阶极点**。
*   使用极限法（方法2）：尝试 $ m=2$，计算 $\lim_{z \to 0} z^2 \cdot \frac{\sin z}{z^3} = \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1 \neq 0 $ 。所以是 2 阶极点。

**例 3：易混淆的情况**
$ f(z) = \frac{\sin z}{z}$，判断 $ z=0$。
*   虽然分母有 $ z$，但分子 $ \sin z$ 在 $ z=0$ 处也是零点。
*   用洛朗展开：$ \frac{1}{z} (z - \frac{z^3}{6} + \cdots) = 1 - \frac{z^2}{6} + \cdots$，没有负幂项。所以是 **可去奇点**，不是极点。

### 总结步骤
1.  **看形式**：如果是分式 $ g(z)/h(z)$，优先检查分子分母的零点阶数（方法 3）。
2.  **代极限**：如果不能直接看出零点阶数，就用 $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z)$ 去试（方法 2）。
3.  **做展开**：如果涉及多值函数或复杂函数，或者需要精确系数，就用洛朗展开（方法 1）。

## 理解：阶数的意义？
如果 $ g(z) $ 在 $ z_0 $ 处有 $ n $ 阶零点，意味着在 $ z_0 $ 附近，$ g(z) $ 的行为类似于 $ (z - z_0)^n $ 乘以一个非零函数（例如 $ g(z) = (z - z_0)^n \cdot h(z) $，其中 $ h(z) $ 在 $ z_0 $ 处不为零）。
 那么，$ f(z) = \frac{1}{g(z)} = \frac{1}{(z - z_0)^n \cdot h(z)} $。
 由于 $ h(z) $ 在 $ z_0 $ 处非零且光滑，它对行为的影响不大。主要部分 $ \frac{1}{(z - z_0)^n} $ 决定了 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 附近如何趋向无穷大。
 这正好是 $ n $ 阶极点的定义：函数像 $ \frac{1}{(z - z_0)^n} $ 那样“爆炸”。详见 [零点](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=886)

###  直观例子
1. **一阶零点 → 一阶极点**：
   - 设 $ g(z) = z $（在 $ z = 0 $ 处有一阶零点）。
   - 则 $ f(z) = \frac{1}{g(z)} = \frac{1}{z} $。
   - 当 $ z $ 接近 0 时，$ f(z) $ 像 $ \frac{1}{z} $ 一样趋向无穷大，这是一阶极点（爆炸速度中等）。

2. **二阶零点 → 二阶极点**：
   - 设 $ g(z) = z^2 $（在 $ z = 0 $ 处有二阶零点）。
   - 则 $ f(z) = \frac{1}{g(z)} = \frac{1}{z^2} $。
   - 当 $ z $ 接近 0 时，$ f(z) $ 像 $ \frac{1}{z^2} $ 一样更快地趋向无穷大，这是二阶极点（爆炸更剧烈）。

3. **更复杂的例子**：
   - 设 $ g(z) = z \sin(z) $。在 $ z = 0 $ 处，$ g(0) = 0 $，且分析可知它是二阶零点（因为 $ \sin(z) \approx z $ 当 $ z \to 0 $，所以 $ g(z) \approx z \cdot z = z^2 $)。
   - 则 $ f(z) = \frac{1}{g(z)} = \frac{1}{z \sin(z)} $。
   - 当 $ z $ 接近 0 时，$ f(z) \approx \frac{1}{z \cdot z} = \frac{1}{z^2} $，所以是二阶极点。

#### 总结
  **零点消失的“强度” = 极点爆炸的“强度”**：如果 $ g(z) $ 在 $ z_0 $ 以 $ n $ 阶的速度“消失”（零点），那么 $ f(z) = \frac{1}{g(z)} $ 在 $ z_0 $ 就以 $ n $ 阶的速度“爆炸”（极点）。
  阶数 $ n $ 描述了函数在该点的局部行为：阶数越高，零点消失得越“平缓”，但极点爆炸得越“剧烈”。

这就是为什么 $ g(z) $ 的 $ n $ 阶零点直接对应 $ f(z) $ 的 $ n $ 阶极点——它们互为“倒数关系”。

## 例题
`例`判断函数 $f(z)=\frac{z^2-1}{z^3-z^2-z+1}$ 的奇点的类型。
解 由于 $f(z)=\frac{(z+1)(z-1)}{(z+1)(z-1)^2}$ ，故 $z=-1$ 是 $f(z)$ 的可去奇点， $z=1$ 是 $f(z)$ 的一阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{1}{z\left(z^2+1\right)^2}$ 的奇点的类型。
解 由于 $f(z)=\frac{1}{z(z-i)^2(z+i)^2}$ ，故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的一阶极点， $z= \pm i$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{1}{\cos z}$ 的奇点的类型。
解 令 $z_k=k \pi+\frac{\pi}{2}, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$,
由于 $z_k$ 是 $\cos z$ 的一阶零点, 故 $z_k$ 是 $f(z)$ 的一阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{\cos z}{\sin ^2 z}$ 的奇点的类型。
解 令 $z_k=k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$,
由于 $z_k$ 是 $\sin ^2 z$ 的二阶零点, 但不是 $\cos z$ 的零点,
故 $z_k$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

`例`判断函数 $f(z)=\frac{\mathrm{e}^z-(1+z)}{z^4}$ 的奇点的类型。
解 由于 $z=0$ 是 $z^4$ 的四阶零点, 且是 $\mathrm{e}^z-(1+z)$ 的二阶零点,故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

> 注 直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内的洛朗级数, 有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{1}{z^4}\left[\left(1+z+\frac{1}{2 !} z^2+\frac{1}{3 !} z^3+\frac{1}{4 !} z^4+\frac{1}{5 !} z^5+\cdots\right)-(1+z)\right] \\
& =\frac{1}{2 ! z^2}+\frac{1}{3 ! z}+\frac{1}{4 !}+\frac{1}{5 !} z \cdots, \quad(0<|z|<+\infty) .
\end{aligned}
$$

因此, $z=0$ 为 $f(z)$ 的二阶极点。

`例` 判断函数 $f(z)=\frac{\mathrm{e}^z-1}{z-\sin z}$ 的奇点的类型。
解 由于 $z=0$ 是 $z-\sin z$ 的三阶零点, 且是 $\mathrm{e}^z-1$ 的一阶零点,故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

`例` 判断函数 $f(z)=\frac{\sin z}{z\left(\mathrm{e}^{z^2}-1\right)}$ 的奇点的类型。
解 由于 $z=0$ 是 $z\left(\mathrm{e}^{z^2}-1\right)$ 的三阶零点, 且是 $\sin z$ 的一阶零点,故 $z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶极点。

###  什么情况下会出现本性奇点呢?
 
 ![图片](/uploads/2025-01/01af3c.jpg)

> 上述函数都有一个共同点：$f(z)=g\left(\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\right)$ ．

![图片](/uploads/2025-01/bdbe9a.jpg)

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