最后更新: 2026-02-21 11:14 查看: 510 次纠错评论(0) 课件开VIP

奇点的流体力学意义

解析函数是指流体在区域 $D$ 内作无源、漏的无旋流动时，对应复势 $f(z)$ 是 $D$ 内的解析函数（可能是多值的）．现在我们举两个例子来说明某些奇点具有的流体力学意义．

`例` 考察复势为 $f(z)=\frac{N}{2 \pi} \ln z$ 的流动（ $N$ 为非零实数）。
解 我们知道 $f(z)=\frac{N}{2 \pi} \ln z$ 对应的流动在 $0<|z|<+\infty$ 内是无源、漏的并且是无旋的．现在我们来看看原点及 $\infty$（作为 $\ln z$ 的支点）有什么性质．

令 $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ ，易知其势函数及流函数分别为

$$
\varphi(r, \theta)=\frac{N}{2 \pi} \ln r, \quad \psi(r, \theta)=\frac{N}{2 \pi} \theta .
$$

为了确定原点、 $\infty$ 及 $N$ 的物理意义，考察沿圆周 $C: r=$ 常数的环量及流量．

$$
\Gamma_C+\mathrm{i} N_C=\int_C f^{\prime}(z) \mathrm{d} z=\frac{N}{2 \pi} \int_C \frac{\mathrm{~d} z}{z}=\mathrm{i} N .
$$

故 $\Gamma_C=0, N_C=N$ ．即对于任意的同心圆周 $r=$ 常数，均有相同的流量流过．这恰好说明，每单位时间内有 $|N|$ 这样多的流量自原点涌出（ $N>0$ ）到点 $\infty$ 漏掉或自点 $\infty$ 涌出 $(N<0)$ 到原点漏掉．即原点就是一个源（ $N>0$ ）或漏（ $N<0$ ）．对应的，$\infty$ 就算作一个漏 （ $N>0$ ）或源（ $N<0$ ）。而称 $|N|$ 为源（漏）强（图5．3）。

![图片](/uploads/2026-02/1fb8fc.jpg)
 
 
  故势线是同心圆周 $r=$ 常数，流线是过原点的射线 $\theta=$ 常数，且此流动的复速度 $\overline{v(z)}=f^{\prime}(z)=\frac{N}{2 \pi z}$ ，以 $z=0$ 为一阶极点，以 $z=\infty$ 为一阶零点（只要令 $v(\infty)=0$ ）。

`例` 我们来求复势 $ w = f(z) = \dfrac{1}{z}$ 对应的**势函数** $\varphi(x,y)$ 和**流函数** $\psi(x,y)$。

### 1. 分离实部与虚部
设
$$
z = x + iy,\quad w = \varphi + i\psi
$$
$$
w = \frac{1}{z} = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}
       = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
$$

对比 $w = \varphi + i\psi$，直接读出：

**势函数**
$$
\boxed{\varphi(x,y) = \dfrac{x}{x^2+y^2}}
$$

**流函数**
$$
\boxed{\psi(x,y) = -\dfrac{y}{x^2+y^2}}
$$

### 2. 极坐标形式（更直观）
令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$：
$$
\varphi = \frac{\cos\theta}{r},\quad
\psi = -\frac{\sin\theta}{r}
$$

这是**平面偶极子（dipole）** 的复势，流线和等势线都是圆。
 
 
现在考察复势 $f(z)=\frac{1}{z}$ 的流动情况。

我们首先指出，$\frac{1}{z}$ 以 $z=0$ 为一阶极点，以 $z=\infty$ 为可去奇点（一阶零点，只要令 $f(\infty)=0$ ），它在 $0<|z|<+\infty$ 内是无源（漏）并且是无旋的．

其次，已经算得势函数及流函数分别为
$$
\varphi(x, y)=\frac{x}{x^2+y^2}, \quad \psi(x, y)=\frac{-y}{x^2+y^2},
$$

故势线及流线是经过原点且互为正交的圆周（图5．4）．

![图片](/uploads/2026-02/0422ac.jpg){width=400px}
 
 
设 $C$ 是不过原点但包围原点的周线，则

$$
\Gamma_C+\mathrm{i} N_C=\int_C f^{\prime}(z) \mathrm{d} z=-\int_C \frac{\mathrm{~d} z}{z^2}=0 .
$$

这种流动，可以想象为在原点处有充分多的流体以无限大的速度涌出，同时又以无限大的速度被漏掉．原点称为重源或称为偶极子，它是强度相同的一个源及一个漏无限接近而它们的强度无限增大时的极限情形．

## 在电场中的应用举例
在平面电场中，电通 $\varphi$ 和电位 $\psi$ 都是调和函数，即它们都满足拉普拉斯方程，而且电力线（相当于势线）$\varphi=k_1$ 和等位线（相当于流线）$\psi=k_2$ 互相正交．这种性质正好和一个解析函数的实部和虚部所具有的性质相符合。因此，在研究平面电场时，常将电场
 的电通 $\varphi$（相当于势函数）和电位 $\psi$（相当于流函数）分别看作一个解析函数的实部和虚部，而将它们合为一个解析函数进行研究。这种由电通作实部，电位作虚部组成的解析函数

$$
f(z)=\varphi(x, y)+\mathrm{i} \psi(x, y)
$$

称为电场的复电位（相当于复势）．
如果不是利用解析函数作为研究电场的工具，则研究电场的电通和电位是孤立进行的，看不出它们之间的联系，在研究过程中也无一定的方法可循．如果使用解析函数，则这些缺点都可以克服，而且计算起来亦较简单．反过来，如果知道了一个平面电场的复电位，则通过对复电位的实部和虚部的研究，便可得出电场的分布情况。

注 静电场的势函数一定是单值函数．

`例` 已知一电场的电力线方程为

$$
\arctan \frac{y}{x+b}-\arctan \frac{y}{x-b}=k_1,
$$

试求其等位线方程和复电位。
解 设复电位 $f(z)=\varphi+\mathrm{i} \psi$ ，则

$$
\varphi(x, y)=\arctan \frac{y}{x+b}-\arctan \frac{y}{x-b}
$$

根据 C．—R．方程，

$$
\psi_y=\varphi_x=\frac{-y}{(x+b)^2+y^2}+\frac{y}{(x-b)^2+y^2} .
$$

两边对 $y$ 积分，得

$$
\begin{aligned}
\psi(x, y) & =\int\left[\frac{y}{(x-b)^2+y^2}-\frac{y}{(x+b)^2+y^2}\right] \mathrm{d} y \\
& =\frac{1}{2} \ln \left[(x-b)^2+y^2\right]-\frac{1}{2} \ln \left[(x+b)^2+y^2\right]+\lambda(x)
\end{aligned}
$$

又 $\psi_x=-\varphi_y$ ，而

$$
\begin{gathered}
\psi_x=\frac{x-b}{(x-b)^2+y^2}-\frac{x+b}{(x+b)^2+y^2}+\lambda^{\prime}(x), \\
\varphi_y=\frac{x+b}{(x+b)^2+y^2}-\frac{x-b}{(x-b)^2+y^2},
\end{gathered}
$$

故 $\lambda^{\prime}(x)=0$ ，即 $\lambda(x)=\lambda$ 为一常数．于是得等位线方程为

或

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{2} \ln \left[(x-b)^2+y^2\right]-\frac{1}{2} \ln \left[(x+b)^2+y^2\right]+\lambda=\lambda_1, \\
\ln \sqrt{\frac{(x-b)^2+y^2}{(x+b)^2+y^2}}=k_2 \quad\left(k_2=\lambda_1-\lambda\right) .
\end{gathered}
$$

复电位为

或

$$
\begin{gathered}
f(z)=\left(\arctan \frac{y}{x+b}-\arctan \frac{y}{x-b}\right)+\mathrm{i} \ln \sqrt{\frac{(x-b)^2+y^2}{(x+b)^2+y^2}}, \\
f(z)=\mathrm{i} \ln \left(\frac{z-b}{z+b}\right) .
\end{gathered}
$$

这是双曲线传输线所产生的电场（图5．5）．$f(z)$ 的支点 $-b$ 及 $b$ 就是这个电场的正、负电荷位置。

通过上面的讨论，我们知道，利用解析函数对电场进行研究是十分理想的，它可将对电场的电位和电通的研究联系起来，克服了分别研究的复杂手续，而且使问题得到了简化．但找出这样的解析函数是极不容易的．因此，一般是将问题反转过来，不是根据电场去找解析函数，而是先研究一些不同的解析函数，找出它们所表示的电场图形，再由这些电场的图形推出带电导体的形状．如此积累了一些电场图形与解析函数之间的关系，再由这些已知的关系，推出新电场的复电位函数。即使现有导体的形状为已知的关系所不具备，也可选用近似的形状，把所得的解析函数用于现有的情况，较无根据的猜测，总要好些．下面就介绍一个由解析函数所表示的电场．

![图片](/uploads/2026-02/65b4d5.jpg)
 
 `例` 求由 $f(z)=z^{\frac{1}{2}}$ 所表现的电场．
解 设 $f(z)=u+\mathrm{i} v$ ，则

故

$$
\begin{gathered}
(u+\mathrm{i} v)^2=x+\mathrm{i} y \\
u^2-v^2=x, \quad 2 u v=y
\end{gathered}
$$

解两式得

或

$$
\begin{aligned}
& y^2=4 u^2\left(u^2-x\right) \\
& y^2=4 v^2\left(v^2+x\right)
\end{aligned}
$$

令 $u=k_1$ ，得电力线方程为

$$
y^2=4 k_1^2\left(k_1^2-x\right),
$$

即

$$
y^2=-2 p(x-a) \quad\left(\text { 这里 } p=2 k_1^2, a=k_1^2\right),
$$

这是抛物线（图5．6）。
令 $v=k_2$ ，得等位线方程为

$$
y^2=4 k_2^2\left(k_2^2+x\right),
$$

即

$$
y^2=2 p(x+a) \quad\left(\text { 这里 } p=2 k_2^2, a=k_2^2\right) \text {, }
$$

这也是抛物线（图5．6）．

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