最后更新: 2025-01-18 10:28 查看: 348 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

孤立奇点的分类

> 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类定义

设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点, 将 $f(z)$ 在 $0<\left|z-z_0\right|<\delta$ 内展开为洛朗级数: $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n$,
  (1) 若 $\forall \boldsymbol{n}<\mathbf{0}$, 有 $\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}=\mathbf{0}$, (即不含负幂次项)则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 **可去奇点**。
  
  
  
 （2）若 $\exists N<0$ ，有 $a_N \neq 0$ ，且 $\forall n < N$ ，有 $a _{ n }= 0$ ，（即含有限个负幂次项）则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 **$N$ 阶极点**；

特别地，当 $N=1$ 时，称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的**简单极点**。

（3）若 $\forall N<0, \exists n<N$ ，有 $a_n \neq 0$ ，（即含无限个负幂次项）则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的**本性奇点**。

### 总结：
 ![图片](/uploads/2025-01/ea77d7.jpg)

（1）可去奇点 不含负幂次项；
（2）$N$ 阶极点 含有限多的负幂次项，且最高负幂次为 $N$ ；
（3）本性奇点 含有无穷多的负幂次项。

![图片](/uploads/2025-01/66eb78.jpg)
 
 
`例`判断函数 $f(z)=\frac{\sin z}{z}$ 的奇点的类型。
解 $z=0$ 是 $f(z)$ 的奇点，由 $\lim _{z \rightarrow 0} f(z)=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\sin z}{z}=1$ ，
可知，$z=0$ 是 $f(z)$ 的可去奇点。
注 将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内的洛朗级数，有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{\sin z}{z}=\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{3!} z^3+\frac{1}{5!} z^5-\cdots\right) \\
& =1-\frac{1}{3!} z^2+\frac{1}{5!} z^4-\cdots,(0<|z|<+\infty) . \text { (不含负幂次项) }
\end{aligned}
$$

如果约定 $f(z)$ 在 $z=0$ 点的值为 1 ，则 $f(z)$ 在 $z=0$ 点就解析了，因此称 $z = 0$ 为 $f ( z )$ 的可去奇点。

`例`判断函数 $f(z)= e ^{\frac{1}{z}}$ 的奇点的类型。
解 $z=0$ 是 $f(z)$ 的奇点，考察极限 $\lim _{z \rightarrow 0} f(z)$ ．
由 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y=0}} f(z)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y=0}} e ^{\frac{1}{x}}=+\infty ; \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{-} \\ y=0}} f(z)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0^{-} \\ y=0}} e ^{\frac{1}{x}}=0$,
可知， $\lim _{z \rightarrow 0} f(z)$ 不存在且不为 $\infty$ ．
因此，$z=0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点。
注 将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内的洛朗级数，有

$$
f(z)=e^{\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\cdots+\frac{1}{n!z^n}+\cdots,(0<|z|<+\infty) .
$$

（含无穷多个负幂次项）

`例`判断函数 $f(z)=\frac{ e ^z}{(z-1)^2}$ 的奇点的类型。
解 $z=1$ 是 $f(z)$ 的奇点，由 $\lim _{z \rightarrow 1} f(z)=\lim _{z \rightarrow 1} \frac{ e ^z}{(z-1)^2}=\infty$ ，可知，$z=1$ 是 $f(z)$ 的极点。

注 将 $f(z)$ 在 $z=1$ 的去心邻域内的洛朗级数，有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{e \cdot e^{z-1}}{(z-1)^2}=\frac{e}{(z-1)^2}\left(1+(z-1)+\frac{1}{2!}(z-1)^2+\cdots\right) \\
& =\frac{e}{(z-1)^2}+\frac{e}{z-1}+\frac{e}{2!}+\frac{e}{3!}(z-1)+\cdots,(0<|z|<+\infty) .
\end{aligned}
$$

（含有限个负幂次项，且最高负幂次为 2 ）
 可见，$z=1$ 为 $f(z)$ 的二阶极点。
 
 
 `例`判断函数 $f(z)=\frac{\cos z}{z^3}$ 的奇点的类型。
解 $z=0$ 是 $f(z)$ 的奇点，由 $\lim _{z \rightarrow 0} f(z)=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\cos z}{z^3}=\infty$ ，可知，$z=0$ 是 $f(z)$ 的极点。

注 将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内的洛朗级数，有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{\cos z}{z^3}=\frac{1}{z^3}\left(1-\frac{1}{2!} z^2+\frac{1}{4!} z^4-\cdots\right) \\
& =\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2!z}+\frac{1}{4!} z-\cdots,(0<|z|<+\infty) .
\end{aligned}
$$

可见，$z=0$ 为 $f ( z )$ 的三阶极点。

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