最后更新: 2025-03-28 14:51 查看: 2317 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

集合(高中)

## 集合的定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集 合的事物或对象称作 "元素" 或 “成员"。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。
元素通常用 $a, b, c, d, x$ 等小写字母來表示；而集合通常用 $A, B, C, D, X$ 等大寫字母來表示。

当元素 $a$ 属于集合 $\mathbf{A}$ 時，记作 $a \in \mathbf{A}$ 。
当元素 $a$ 不属于集合 $\mathbf{A}$ 时，记作 $a \notin \mathbf{A}$ 。

如果 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$

## 集合的特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

## 集合的表示

集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如:
$A=\text { 大于零的前三个自然数 }$
$B=\text { 光的三原色和白色 }$

集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如:

$C=\{1,2,3\}$

$D=\{$ 红色, 蓝色, 绿色, 白色 $\}$
尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。

比如：上述集合中， $A=C$ 而 $B=D$ ，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 $\{2,4\} ，\{4,2\}$ 和 $\{2,2,4,2\}$ 是相同的，同样因为它们有相同的元素。
集合的关系

我们来研究 2 个集合，于是有了集合之间的关系。

第一个重要的概念就是子集。首先，我们规定空集是任意集合的子集! 若 $A$ 不是空集，若 $A$ 中的任意元素都是 $B$ 中的元素，我们称 $A$ 是 $B$ 的子集(subset)，记做 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ 或 者 $B \supseteq A_{\text {。 }}$

$$
A \subseteq B=\left\{\begin{array}{c}
A=\emptyset \\
\forall a \in A, a \in B(A \neq \emptyset)
\end{array}\right.
$$

例如:

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