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集合(高中)

## 集合的定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集 合的事物或对象称作 "元素" 或 “成员"。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。
元素通常用 $a, b, c, d, x$ 等小写字母來表示；而集合通常用 $A, B, C, D, X$ 等大寫字母來表示。

当元素 $a$ 属于集合 $\mathbf{A}$ 時，记作 $a \in \mathbf{A}$ 。
当元素 $a$ 不属于集合 $\mathbf{A}$ 时，记作 $a \notin \mathbf{A}$ 。

如果 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$

## 集合的特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

## 集合的表示

集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如:
$A=\text { 大于零的前三个自然数 }$
$B=\text { 光的三原色和白色 }$

集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如:

$C=\{1,2,3\}$

$D=\{$ 红色, 蓝色, 绿色, 白色 $\}$
尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。

比如：上述集合中， $A=C$ 而 $B=D$ ，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 $\{2,4\} ，\{4,2\}$ 和 $\{2,2,4,2\}$ 是相同的，同样因为它们有相同的元素。
集合的关系

我们来研究 2 个集合，于是有了集合之间的关系。

第一个重要的概念就是子集。首先，我们规定空集是任意集合的子集! 若 $A$ 不是空集，若 $A$ 中的任意元素都是 $B$ 中的元素，我们称 $A$ 是 $B$ 的子集(subset)，记做 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ 或 者 $B \supseteq A_{\text {。 }}$

$$
A \subseteq B=\left\{\begin{array}{c}
A=\emptyset \\
\forall a \in A, a \in B(A \neq \emptyset)
\end{array}\right.
$$

例如: "集合 $A=\{x \mid a-1<x<2 a\}$ 是集合 $B=\{x \mid-2<x<5\}$ 的子集"这句话翻译为数学语言包括:

情况①： $A=\emptyset$
即 $2 a \leq a-1 \Leftrightarrow a \leq-1$ ， 这时 $A=\emptyset$ 一定是集合 $B$ 的子集
情况② : $A \neq \emptyset$ ，即 $a>-1$

这时还需要满足: $\left\{\begin{array}{c}a-1 \geq-2 \\ 2 a \leq 5\end{array}\right.$ 即

$-1<a<\frac{5}{2}$

综合起来， $a \leq \frac{5}{2}$ 就是 "集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集"

这句话翻译后的数学语言
若 $A \subseteq B$ 且 $A \supseteq B$ ，称集合 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 相等，记为 $A=B$ 。

## 常用集合的记法

(1) 所有非负整数组成的集合, 称为自然数集, 记作 $\mathbf{N}$.

在自然数集 $\mathbf{N}$ 中, 去掉元素 0 之后的集合, 称为正整数集, 记作 $\mathbf{N}_{+}$或 $\mathbf{N}^*$.

(2) 所有整数组成的集合, 称为整数集, 记作 $\mathbf{Z}$.

(3) 所有有理数组成的集合, 称为有理数集, 记作 $\mathbf{Q}$.

(4) 所有实数组成的集合, 称为实数集, 记作 $\mathbf{R}$.

(5) 全体复数组成的集合叫复数集, 记作 $C$.

N：是英语大词 Natural Number 的首字母（通常记忆为Number首字母）。
Z：是德语Zahl 的首字母（通常记忆为Zero首字母），
Q: 是Quotient 商的首字母
R:是 Real  Number的首字母
C:是 Complex Number 首字母。

有了集合，就可以很容易表示他们的关系。

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## 真子集

若 $\mathrm{A} \subs

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