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第一章:集合与逻辑
集合(高中)
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2024-11-03 09:50
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集合(高中)
## 集合的定义 简单来说,所谓的一个集合,就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集 合的事物或对象称作 "元素" 或 “成员"。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。 元素通常用 $a, b, c, d, x$ 等小写字母來表示;而集合通常用 $A, B, C, D, X$ 等大寫字母來表示。 当元素 $a$ 属于集合 $\mathbf{A}$ 時,记作 $a \in \mathbf{A}$ 。 当元素 $a$ 不属于集合 $\mathbf{A}$ 时,记作 $a \notin \mathbf{A}$ 。 如果 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 两个集合所包含的元素完全一样,则二者相等,写作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$ ## 集合的特性 无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。 互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。 确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。 ## 集合的表示 集合可以用文字或数学符号描述,称为描述法,比如: $A=\text { 大于零的前三个自然数 }$ $B=\text { 光的三原色和白色 }$ 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素,称为列举法,比如: $C=\{1,2,3\}$ $D=\{$ 红色, 蓝色, 绿色, 白色 $\}$ 尽管两个集合有不同的表示,它们仍可能是相同的。 比如:上述集合中, $A=C$ 而 $B=D$ ,因为它们正好有相同的元素。 元素列出的顺序不同,或者元素列表中有重复,都没有关系。比如:这三个集合 $\{2,4\} ,\{4,2\}$ 和 $\{2,2,4,2\}$ 是相同的,同样因为它们有相同的元素。 集合的关系 我们来研究 2 个集合,于是有了集合之间的关系。 第一个重要的概念就是子集。首先,我们规定空集是任意集合的子集! 若 $A$ 不是空集,若 $A$ 中的任意元素都是 $B$ 中的元素,我们称 $A$ 是 $B$ 的子集(subset),记做 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ 或 者 $B \supseteq A_{\text {。 }}$ $$ A \subseteq B=\left\{\begin{array}{c} A=\emptyset \\ \forall a \in A, a \in B(A \neq \emptyset) \end{array}\right. $$ 例如: "集合 $A=\{x \mid a-1<x<2 a\}$ 是集合 $B=\{x \mid-2<x<5\}$ 的子集"这句话翻译为数学语言包括: 情况①: $A=\emptyset$ 即 $2 a \leq a-1 \Leftrightarrow a \leq-1$ , 这时 $A=\emptyset$ 一定是集合 $B$ 的子集 情况② : $A \neq \emptyset$ ,即 $a>-1$ 这时还需要满足: $\left\{\begin{array}{c}a-1 \geq-2 \\ 2 a \leq 5\end{array}\right.$ 即 $-1<a<\frac{5}{2}$ 综合起来, $a \leq \frac{5}{2}$ 就是 "集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集" 这句话翻译后的数学语言 若 $A \subseteq B$ 且 $A \supseteq B$ ,称集合 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 相等,记为 $A=B$ 。 ## 常用集合的记法 (1) 所有非负整数组成的集合, 称为自然数集, 记作 $\mathbf{N}$. 在自然数集 $\mathbf{N}$ 中, 去掉元素 0 之后的集合, 称为正整数集, 记作 $\mathbf{N}_{+}$或 $\mathbf{N}^*$. (2) 所有整数组成的集合, 称为整数集, 记作 $\mathbf{Z}$. (3) 所有有理数组成的集合, 称为有理数集, 记作 $\mathbf{Q}$. (4) 所有实数组成的集合, 称为实数集, 记作 $\mathbf{R}$. (5) 全体复数组成的集合叫复数集, 记作 $C$. N:是英语大词 Natural Number 的首字母(通常记忆为Number首字母)。 Z:是德语Zahl 的首字母(通常记忆为Zero首字母), Q: 是Quotient 商的首字母 R:是 Real Number的首字母 C:是 Complex Number 首字母。 有了集合,就可以很容易表示他们的关系。 ![图片](/uploads/2024-11/f16e13.svg){width=300px} ## 真子集 若 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ 且存在一个元素 $b \in B, b \notin A$ ,我们称 $\mathrm{A}$ 是 $\mathrm{B}$ 的真子集(proper subset),记为 $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$ 或者 $\mathrm{A} \subsetneq \mathrm{B}$ 。 **例题1** 已知集合 $A=\{ a+2, (a+1)^2, a^2+3a+3 )\}$, 若 $ 1 \in A$,求实数$a$的值。 解析: (1)若$a+2=1$,则$a=-1$,带入得A的集合为 $A=\{1,0,1\}$ 含有重复元素舍去。 (2)若 $(a+1)^2=1$ 的$a=-2$或$a=0$ 此时$A=\{ 0,1,1\}$(含有重复元素舍去) 或$A=\{ 2,1,3 \}$ 满足 (3)若$a^2+3a+3=1$解得$a=-1$或 $a=-2$ 含有重复元素应该舍去。 所以,最终 $a=0$ ## 维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.例如,A是B的真子集,可用下表示. ![图片](/uploads/2023-11/image_2023110482ce50a.png)
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