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贝塞尔函数

贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 。

贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α = n+½），因此贝塞尔函数在波的传播问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位

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## 贝塞尔方程

$$
x^2 \frac{d^2 F}{d x^2}+x \frac{d F}{d x}+\left(x^2-v^2\right) F=0, x=k r
$$

显然，这是一个二阶齐次线性常微分方程，其解为:

$$
F(x)=c_1 J_v(x)+c_2 Y_v(x)
$$

其中， $v$ 为阶数，
$J_v(x)=J_v(k r)$ 为第一类贝塞尔函数 (Bessel functions of the first kind)，
$Y_v(x)=Y_v(k r)$ 为第二类贝塞尔函数 (Bessel functions of the second kind)，有的也记为 $N_v(x)$ 。

### 第一类贝塞尔函数

第一类贝塞尔函数 (Bessel function of the first kind) ，又称贝塞尔函数 (Bessel function)，下文中有时会简称为 $J$ 函数，记作 $J_{\alpha^{\circ}}$

第一类 $\alpha$ 阶贝塞尔函数 $J_\alpha(x)$ 是贝塞尔方程当 $\alpha$ 为整数或 $\alpha$ 非负时的解，须满足在 $x$ $=0$ 时有限。这样选取和处理 $J_\alpha$ 的原因见本主题下面的性质介绍; 另一种定义方法是通过它在 $x=0$ 点的泰勒级数展开 (或者更一般地通过幕级数展开，这适用于 $\alpha$ 为非整数) :

$$
J_\alpha(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m ! \Gamma(m+\alpha+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m+\alpha}
$$

上式中 $\Gamma(z)$ 为 $\Gamma$ 函数 (它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广)。第一类贝塞尔函数的形状大致与按 $1 / \sqrt{x}$ 速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐近形式的介绍)，但它们的零点并不是周期性的，另外随着啲增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图 2 所示为 0 阶、1 1 阶和 2 阶第一类贝塞尔函数 $J_\alpha(x)$ 的曲线 $(\alpha=0,1,2)$ 。

如果 $\alpha$ 不为整数，则 $J_\alpha(x)$ 和 $J_{-\alpha}(x)$ 线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若 $\alpha$ 是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系:

$$
J_{-\alpha}(x)=(-1)^\alpha J_\alpha(x)
$$

于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与 $J_\alpha(x)$ 线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。

** 贝塞尔积分**
$\alpha$ 为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出:

$$
J_\alpha(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos (\alpha \tau-x \sin \tau) d \tau .
$$

$(\alpha$ 为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页)
这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为:

$$
J_\alpha(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(\alpha \tau-x \sin \tau)} d \tau
$$

和超几何级数的关系
贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式:

$$
J_\alpha(z

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