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贝塞尔函数

贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 。

贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α = n+½），因此贝塞尔函数在波的传播问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位

![v2-eb32f4b7370a33ac96b769eb2b6f18e6_b.gif](/uploads/2023-11/cdd539.gif)

## 贝塞尔方程

$$
x^2 \frac{d^2 F}{d x^2}+x \frac{d F}{d x}+\left(x^2-v^2\right) F=0, x=k r
$$

显然，这是一个二阶齐次线性常微分方程，其解为:

$$
F(x)=c_1 J_v(x)+c_2 Y_v(x)
$$

其中， $v$ 为阶数，
$J_v(x)=J_v(k r)$ 为第一类贝塞尔函数 (Bessel functions of the first kind)，
$Y_v(x)=Y_v(k r)$ 为第二类贝塞尔函数 (Bessel functions of the second kind)，有的也记为 $N_v(x)$ 。

### 第一类贝塞尔函数

第一类贝塞尔函数 (Bessel function of the first kind) ，又称贝塞尔函数 (Bessel function)，下文中有时会简称为 $J$ 函数，记作 $J_{\alpha^{\circ}}$

第一类 $\alpha$ 阶贝塞尔函数 $J_\alpha(x)$ 是贝塞尔方程当 $\alpha$ 为整数或 $\alpha$ 非负时的解，须满足在 $x$ $=0$ 时有限。这样选取和处理 $J_\alpha$ 的原因见本主题下面的性质介绍; 另一种定义方法是通过它在 $x=0$ 点的泰勒级数展开 (或者更一般地通过幕级数展开，这适用于 $\alpha$ 为非整数) :

$$
J_\alpha(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m ! \Gamma(m+\alpha+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m+\alpha}
$$

上式中 $\Gamma(z)$ 为 $\Gamma$ 函数 (它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广)。第一类贝塞尔函数的形状大致与按 $1 / \sqrt{x}$ 速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐近形式的介绍)，但它们的零点并不是周期性的，另外随着啲增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图 2 所示为 0 阶、1 1 阶和 2 阶第一类贝塞尔函数 $J_\alpha(x)$ 的曲线 $(\alpha=0,1,2)$ 。

如果 $\alpha$ 不为整数，则 $J_\alpha(x)$ 和 $J_{-\alpha}(x)$ 线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若 $\alpha$ 是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系:

$$
J_{-\alpha}(x)=(-1)^\alpha J_\alpha(x)
$$

于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与 $J_\alpha(x)$ 线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。

** 贝塞尔积分**
$\alpha$ 为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出:

$$
J_\alpha(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos (\alpha \tau-x \sin \tau) d \tau .
$$

$(\alpha$ 为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页)
这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为:

$$
J_\alpha(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(\alpha \tau-x \sin \tau)} d \tau
$$

和超几何级数的关系
贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式:

$$
J_\alpha(z)=\frac{(z / 2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}{ }_0 F_1\left(\alpha+1 ;-z^2 / 4\right) .
$$

$\alpha$ 为整数。由于函数线性相关的特性(用了一个就少了一个，所以要再构造一个)，才需定义如下详细介绍的第二类贝塞尔函数。
![图片](/uploads/2023-11/bedc7b.svg)

### 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）

第二类贝塞尔函数 (Bessel function of the second kind) ，又称诺伊曼函数 (Neumann function)，下文中有时会简称为 $Y$ 函数，记作 $Y_{\alpha^{\circ}}$

第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。这种函数通常用 $Y_\alpha(x)$ 表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。 $x=0$ 点是第二类贝塞尔函数的 (无穷) 奇点。
$Y_\alpha(x)$ 又被称为诺依曼函数 (Neumann function)，有时也记作 $N_\alpha(x)$ 。它和 $J_\alpha(x)$ 存在如下关系:

$$
Y_\alpha(x)=\frac{J_\alpha(x) \cos (\alpha \pi)-J_{-\alpha}(x)}{\sin (\alpha \pi)},
$$

若 $\alpha$ 为整数 (此时上式是 $\frac{0}{0}$ 型未定式) 则取右端的极限值。
从前面对 $J_\alpha(x)$ 的定义可以知道，若 $\alpha$ 不为整数时，定义 $r_\alpha$ 是多余的 (因为贝塞尔方程的两个线性无关解都已经用函数表示出来了) 。另一方面，若 $\alpha$ 为整数， $Y_\alpha$便可以和 $J_\alpha$ 构成贝塞尔方程的一个解系。与J函数类似，Y函数正负整数阶之间也存在如下关系:

$$
Y_{-n}(x)=(-1)^n Y_n(x)
$$

$J_\alpha(x)$ 和 $Y_\alpha(x)$ 均为沿负实半轴割开的复平面内关于 $x$ 的全纯函数。当 $\alpha$ 为整数时，复平面内不存在贝塞尔函数的支点，所以 $J$ 和 $Y$ 均为 $x$ 的整函数。若将 $x$ 固定，则贝塞尔函数是 $\alpha$ 的整函数。图3所示为 0 阶、1阶和 2 阶第二类贝塞尔函数 $Y_\alpha(x)$ 的曲线 $(\alpha=0,1,2)$ :
![图片](/uploads/2023-11/5ea413.svg)

### 第三类贝塞尔函数 (汉克尔函数)

第三类贝塞尔函数 (Bessel function of the third kind)，又称汉克尔函数 (Hankel function)。
贝塞尔方程的另外一对重要的线性无关解称为汉克尔函数 (Hankel functions) $H_\alpha{ }^{(1)}(x)$ 和 $H_\alpha{ }^{(2)}(x)$ ，分别定义为:

$$
\begin{aligned}
& H_\alpha^{(1)}(x)=J_\alpha(x)+i Y_\alpha(x) \\
& H_\alpha^{(2)}(x)=J_\alpha(x)-i Y_\alpha(x)
\end{aligned}
$$

其中 $i$ 为虚数单位 $\sqrt{-1}$ 。以上的线性组合也成为第三类贝塞尔函数；它们描述了二维波动方程的外向行柱面波解和内向行柱面波解 ("行"与在"行动"中同音) 。

利用前面推出的关系可将汉克尔函数表示成:

$$
\begin{aligned}
& H_\alpha^{(1)}(x)=\frac{J_{-\alpha}(x)-e^{-\alpha \pi i} J_\alpha(x)}{i \sin (\alpha \pi)} \\
& H_\alpha^{(2)}(x)=\frac{J_{-\alpha}(x)-e^{\alpha \pi i} J_\alpha(x)}{-i \sin (\alpha \pi)}
\end{aligned}
$$

若 $\alpha$ 为整数，则须对等号右边取极限值。另外，无论 $\alpha$ 是不是整数，下面的关系都成立:

$$
\begin{aligned}
& H_{-\alpha}^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i} H_\alpha^{(1)}(x) \\
& H_{-\alpha}^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i} H_\alpha^{(2)}(x)
\end{aligned}
$$

**修正贝塞尔函数**
贝塞尔函数当变量 $x$ 为复数时同样成立，并且当 $x$ 为纯虚数时能得到一类重要情形——它们被称为第一类修正贝塞尔函数 (modified Bessel function of the first kind) 和第二类修正贝塞尔函数 (modified Bessel function of the second kind)，或虚变量的贝塞尔函数（有时还称为双曲型贝塞尔函数)，定义为:

$$
\begin{aligned}
& I_\alpha(x)=i^{-\alpha} J_\alpha(i x) \\
& K_\alpha(x)=\frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha}(x)-I_\alpha(x)}{\sin (\alpha \pi)}=\frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(i x)
\end{aligned}
$$

以上形式保证了当变量 $x$ 为实数时，函数值亦为实数。这两个函数构成了下列修正贝塞尔方程 (与一般贝塞尔方程的差别仅在两个正负号) 的一个相互线性无关的解系:

$$
x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-\left(x^2+\alpha^2\right) y=0 .
$$

修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于: 一般贝塞尔函数随实变量是振荡型的，而修正贝塞尔函数 $/ \alpha$ 和 $K_\alpha$ 则分别是指数增长和指数衰减型的。和第一类贝塞尔函数 $J_\alpha$ 一样，函数 $\alpha_\alpha$ 当 $\alpha>0$ 时在 $x=0$ 点等于 0 ，当 $\alpha=0$ 时在 $x=0$ 点趋于有限值。类似地， $K_\alpha$ 在 $x=0$ 点发散（趋于无穷）。
![图片](/uploads/2023-11/12d526.svg)
![图片](/uploads/2023-11/dd84f9.svg)

## 性质

1 递推关系

$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d x}\left[x^v J_v(x)\right]=x^v J_{v-1}(x) \\
\frac{d}{d x}\left[x^{-v} J_v(x)\right]=-x^{-v} J_{v+1}(x)
\end{gathered}
$$

特别地:

$$
\begin{gathered}
J_{v-1}-J_{v+1}=2 J_v^{\prime}(x) \\
J_{v-1}+J_{v+1}=\frac{2 v J_v(x)}{x}
\end{gathered}
$$

2 正交性

$$
\int_0^{+\infty} J_m(k r) J_m\left(k^{\prime} r\right) r d r=\frac{1}{k} \delta\left(k-k^{\prime}\right),\left(m \geq-1 ; k, k^{\prime}>0\right)
$$

上式证明可参考该文献: Revisiting the orthogonality of Bessel functions of the first kind on an infinite interval—J Ponce de Leon.

$$
\int_0^a J_m(k r) J_m\left(k^{\prime} r\right) r d r=\frac{a^2}{2}\left[J_m^{\prime}(k a)\right]^2 \delta\left(k-k^{\prime}\right)
$$

3 积分表示

$$
\begin{gathered}
J_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (x \sin \theta-n \theta) d \theta \\
\int_0^{+\infty} J_m(x) \mathrm{d} x=1, m \geq-\frac{1}{2}
\end{gathered}
$$

$\mathrm{m}$ 为大于 -0.5 的整数与半整数。

$$
2 \pi J_0\left(k_r r\right)=\int_0^{2 \pi} \exp \left(i k_r r \cos \theta\right) d \theta
$$

4 渐近表达式

当 $x \rightarrow+\infty$ ，

$$
J_v(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x-\frac{v \pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right),|\arg x|<\pi
$$

当 $x \rightarrow 0$ ，

$$
J_v(x) \sim \frac{1}{\Gamma(v+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^v+O\left(x^{v+2}\right)
$$

5 汉克尔函数(Hankel function)

$$
\begin{aligned}
& H_v^{(1)}(x) \equiv J_v(x)+i Y_v(x) \\
& H_v^{(2)}(x) \equiv J_v(x)-i Y_v(x)
\end{aligned}
$$

汉克尔函数也叫第三类贝塞尔函数。
6 汉克尔变换

$$
\begin{aligned}
& F_v(k)=\int_0^{+\infty} f(r) J_v(k r) r \mathrm{~d} r \\
& f(r)=\int_0^{+\infty} F_v(k) J_v(k r) k \mathrm{~d} k
\end{aligned}
$$

特点:
(1) 正变换与逆变换形式是一模一样的;
(2) 宗量 $k r$ 是没有量纲的，但 $r($ 极径)具有长度量纲，因此 $k$ 为波数量纲。在地震学中， $k$ 常被称作水平波数。

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