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狭义相对论中的运动学

1.2 狭义相对论中的运动学

在本节中我们讨论狭义相对论中有质量粒子和无质量粒子的运动学，以及相关的物理效应．有质量粒子的运动不必是匀速直线运动，其世界线只要是类时曲线即可．我们要讨论的是平直时空中粒子的各种运动．

1．2．1 有质量粒子
对于有质量粒子，其世界线（轨道）可以通过一个单参数函数 $x^\mu(\lambda)$ 来描述．这里我们已经选定一个坐标系（惯性系）$\left\{x^\mu\right\}$ ，而 $\lambda$ 是一个刻画粒子运动的参数，其选择有任意性．对有质量粒子而言，参数的一个自然选择是粒子的固有时 $\lambda=\tau$ ．换句话说，我们总可以利用描述粒子运动的重参数化不变性，选择粒子的固有时作为参数，这为我们研究粒子的运动提供了方便．在此选择下，粒子的 4－速度为

$$
u^\mu \equiv \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau}
$$

它满足归一化条件

$$
\widehat{u} \cdot \widehat{u}=-1,
$$

即 4 －速度是一个模长平方为 -1 的类时矢量．在粒子的共动参考系中，粒子总是静止的，4－速度的取值为

$$
u^\mu=(1,0,0,0)
$$

而在另一个参考系看来，粒子的运动速度是 $v$ ，其 4－速度的取值为
$$
u^\mu=\gamma_v(1, \boldsymbol{v})
$$

其中 $\gamma_v$ 是与 $\boldsymbol{v}$ 相关的洛伦兹因子，$\gamma_v=1 / \sqrt{1-\boldsymbol{v}^2}$ ．
一个质量为 $m$ 的粒子，其 4 －动量定义为

$$
\widehat{p} \equiv m \widehat{u}
$$

其分量为

$$
p^\mu=m u^\mu=(E, \boldsymbol{P})
$$

其中

$$
\begin{aligned}
& E=m \gamma=m+\frac{1}{2} m v^2+\cdots \\
& \boldsymbol{P}=m \gamma \boldsymbol{v}=m \boldsymbol{v}+\cdots
\end{aligned}
$$
$\boldsymbol{v}$ 是粒子速度．由（1．40）式，上面的分量满足（下面两式中明显写出了光速 $c$ ）

$$
E^2-\boldsymbol{P}^2 c^2=m^2 c^4
$$

在相对于粒子静止的参考系，即所谓的共动参考系中，

$$
E=m c^2 .
$$

这就是著名的爱因斯坦质能关系．实际上，质能关系来自有质量粒子的 4－速度归一化关系．进一步地，我们可以定义粒子的 4－加速度

$$
a^\mu \equiv \frac{\mathrm{d} u^\mu}{\mathrm{d} \tau}=\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \tau^2}
$$

在狭义相对论中速度的叠加与牛顿力学中不同．如果粒子的世界线在某参考系 $S$中用 $x^i(t), i=1,2,3$ 来描述，则其在 $S$ 中的坐标速度为

$$
u^i=\frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{~d} t} .
$$

如果参考系 $S^{\prime}$ 相对于 $S$ 沿 $x$ 方向以速度 $v$ 运动，如图 1.3 所示，则在 $S^{\prime}$ 中，粒子的速度应该由 $\mathrm{d} x^{\prime i} / \mathrm{d} t^{\prime}$ 来给出．由

$$
\mathrm{d} t^{\prime}=\gamma(\mathrm{d} t-v \mathrm{~d} x), \quad \mathrm{d} x^{\prime}=\gamma(\mathrm{d} x-v \mathrm{~d} t), \quad \mathrm{d} y^{\prime}=\mathrm{d}

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