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狭义相对论中的运动学

1.2 狭义相对论中的运动学

在本节中我们讨论狭义相对论中有质量粒子和无质量粒子的运动学，以及相关的物理效应．有质量粒子的运动不必是匀速直线运动，其世界线只要是类时曲线即可．我们要讨论的是平直时空中粒子的各种运动．

1．2．1 有质量粒子
对于有质量粒子，其世界线（轨道）可以通过一个单参数函数 $x^\mu(\lambda)$ 来描述．这里我们已经选定一个坐标系（惯性系）$\left\{x^\mu\right\}$ ，而 $\lambda$ 是一个刻画粒子运动的参数，其选择有任意性．对有质量粒子而言，参数的一个自然选择是粒子的固有时 $\lambda=\tau$ ．换句话说，我们总可以利用描述粒子运动的重参数化不变性，选择粒子的固有时作为参数，这为我们研究粒子的运动提供了方便．在此选择下，粒子的 4－速度为

$$
u^\mu \equiv \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau}
$$

它满足归一化条件

$$
\widehat{u} \cdot \widehat{u}=-1,
$$

即 4 －速度是一个模长平方为 -1 的类时矢量．在粒子的共动参考系中，粒子总是静止的，4－速度的取值为

$$
u^\mu=(1,0,0,0)
$$

而在另一个参考系看来，粒子的运动速度是 $v$ ，其 4－速度的取值为
$$
u^\mu=\gamma_v(1, \boldsymbol{v})
$$

其中 $\gamma_v$ 是与 $\boldsymbol{v}$ 相关的洛伦兹因子，$\gamma_v=1 / \sqrt{1-\boldsymbol{v}^2}$ ．
一个质量为 $m$ 的粒子，其 4 －动量定义为

$$
\widehat{p} \equiv m \widehat{u}
$$

其分量为

$$
p^\mu=m u^\mu=(E, \boldsymbol{P})
$$

其中

$$
\begin{aligned}
& E=m \gamma=m+\frac{1}{2} m v^2+\cdots \\
& \boldsymbol{P}=m \gamma \boldsymbol{v}=m \boldsymbol{v}+\cdots
\end{aligned}
$$
$\boldsymbol{v}$ 是粒子速度．由（1．40）式，上面的分量满足（下面两式中明显写出了光速 $c$ ）

$$
E^2-\boldsymbol{P}^2 c^2=m^2 c^4
$$

在相对于粒子静止的参考系，即所谓的共动参考系中，

$$
E=m c^2 .
$$

这就是著名的爱因斯坦质能关系．实际上，质能关系来自有质量粒子的 4－速度归一化关系．进一步地，我们可以定义粒子的 4－加速度

$$
a^\mu \equiv \frac{\mathrm{d} u^\mu}{\mathrm{d} \tau}=\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \tau^2}
$$

在狭义相对论中速度的叠加与牛顿力学中不同．如果粒子的世界线在某参考系 $S$中用 $x^i(t), i=1,2,3$ 来描述，则其在 $S$ 中的坐标速度为

$$
u^i=\frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{~d} t} .
$$

如果参考系 $S^{\prime}$ 相对于 $S$ 沿 $x$ 方向以速度 $v$ 运动，如图 1.3 所示，则在 $S^{\prime}$ 中，粒子的速度应该由 $\mathrm{d} x^{\prime i} / \mathrm{d} t^{\prime}$ 来给出．由

$$
\mathrm{d} t^{\prime}=\gamma(\mathrm{d} t-v \mathrm{~d} x), \quad \mathrm{d} x^{\prime}=\gamma(\mathrm{d} x-v \mathrm{~d} t), \quad \mathrm{d} y^{\prime}=\mathrm{d} y, \quad \mathrm{~d} z^{\prime}=\mathrm{d} z,
$$

可知

$$
\begin{aligned}
u_x^{\prime} & =\frac{\mathrm{d} x^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\frac{u_x-v}{1-u_x v} \\
u_y^{\prime} & =\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\frac{u_y}{\gamma\left(1-u_x v\right)} \\
u_z^{\prime} & =\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\frac{u_z}{\gamma\left(1-u_x v\right)}
\end{aligned}
$$

显然，这与牛顿力学中的速度叠加方式不同．当然，在速度较小，$v \ll 1$ 时，上面的速度叠加关系就回到了牛顿力学的情形。

如果我们有三个参考系，其中 $S^{\prime}$ 相对于 $S$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正向运动，而 $S^{\prime \prime}$ 相对于 $S^{\prime}$ 以速度 $v^{\prime}$ 沿 $x^{\prime}$ 轴正向运动，则利用洛伦兹变换有

$$
\begin{aligned}
t^{\prime \prime} & =t \cosh \left(\phi_v+\phi_{v^{\prime}}\right)-x \sinh \left(\phi_v+\phi_{v^{\prime}}\right) \\
x^{\prime \prime} & =-t \sinh \left(\phi_v+\phi_{v^{\prime}}\right)+x \cosh \left(\phi_v+\phi_{v^{\prime}}\right) \\
y^{\prime \prime} & =y \\
z^{\prime \prime} & =z
\end{aligned}
$$

其中 $\phi_v, \phi_{v^{\prime}}$ 分别是对应着速度 $v, v^{\prime}$ 的快度参数， $\tanh \phi_v=v, \tanh \phi_{v^{\prime}}=v^{\prime}$ ．上面的变换关系说明参考系 $S^{\prime \prime}$ 相对于 $S$ 以速度 $u=\tanh \left(\phi_v+\phi_{v^{\prime}}\right)$ 沿 $x$ 轴正向运动．也就是说，利用快度参数我们简单地叠加即可：$\phi_u=\phi_v+\phi_{v^{\prime}}$ ．因此

$$
u=\tanh \left(\phi_v+\phi_{v^{\prime}}\right)=\frac{\tanh \phi_v+\tanh \phi_{v^{\prime}}}{1+\tanh \phi_v \tanh \phi_{v^{\prime}}}=\frac{v^{\prime}+v}{1+v^{\prime} v}
$$

这就是沿同一方向的两个速度的相对论叠加公式．
有一种误解，好像在狭义相对论中只能讨论匀速运动而不知如何讨论加速运动，因为加速运动时惯性系仿佛随时都是变化的．实际上，我们可以在狭义相对论中自如地讨论平直时空中的各种粒子运动问题．下面我们先讨论一个最简单的情形：匀加速直线运动．在上面的讨论中我们有惯性系 $S$ 和 $S^{\prime}$ ，互相通过洛伦兹变换相联系．如果一个粒子在 $S$ 中运动，其坐标速度为 $u^i$ ，则其坐标加速度为

$$
a^i=\frac{\mathrm{d} u^i}{\mathrm{~d} t}
$$

而对于坐标系 $S^{\prime}$ 的观测者，它看到的粒子运动速度是 $u^{\prime i}$ ，加速度为

$$
a^{\prime i}=\frac{\mathrm{d} u^i}{\mathrm{~d} t^{\prime}}
$$

由

$$
\mathrm{d} t^{\prime}=\gamma\left(1-u_x v\right) \mathrm{d} t
$$
我们就可以得到

$$
\begin{aligned}
& a_x^{\prime}=\frac{1}{\gamma^3\left(1-u_x v\right)^3} a_x \\
& a_y^{\prime}=\frac{1}{\gamma^2\left(1-u_x v\right)^2} a_y+\frac{u_y v}{\gamma^3\left(1-u_x v\right)^3} a_x \\
& a_z^{\prime}=\frac{1}{\gamma^2\left(1-u_x v\right)^2} a_z+\frac{u_z v}{\gamma^3\left(1-u_x v\right)^3} a_x
\end{aligned}
$$

由此可见，与牛顿力学中伽利略变换下加速度不变不同，狭义相对论中的加速度不再是不变的．然而，加速度仍然有绝对的意义，因为如果粒子相对于一个观测者没有加速度，则对另一个观测者也没有加速度，尽管不同观测者看到的加速度不同。

对于一个沿某条世界线运动的有质量粒子，在其世界线的任何一个事件点我们都可以定义一个瞬时的惯性系，这个惯性系相对于原来的坐标系 $S$ 具有的速度正好是粒子在该点的速度 $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}$ ．这样我们就有了一个瞬时静止参考系（IRF）$S^{\prime}$ ，在其中粒子
看起来是静止的，$u^{\prime}=0$ ．其次，由上面对固有时的讨论，我们知道固有时间隔与 $S^{\prime}$ 中的坐标时间隔一样，$\Delta \tau=\Delta t^{\prime}$ ．我们考虑一个沿 $x$ 方向的一维运动，此时有

$$
a=\left(1-u^2\right)^{3 / 2} a^{\prime},
$$

其中 $a^{\prime}$ 是在 IRF 中粒子的静止加速度，也就是相对于固有时的加速度．如果我们令 $a^{\prime}=a_0$ 是一个常数，就有

$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}=\left(1-u^2\right)^{3 / 2} a_0 .
$$

如果取初始时刻的速度 $u(t=0)=0$ ，我们可以对方程（1．60）积分，得到

$$
\left(x-x_0+\frac{1}{a_0}\right)^2-t^2=\frac{1}{a_0^2} .
$$

这是一条双曲线，也就是说一个做匀加速运动的粒子的轨迹是一条双曲线．注意，这里匀加速是相对于固有时而言，即加速度 4－矢量是常数．我们可以取粒子的运动原点为 $x_0=1 / a_0$（见图 1．8），则上面的方程可以进一步简化．为简单起见，我们讨论 $1+1$ 维中这个粒子的世界线

$$
t(\sigma)=a_0^{-1} \sinh \sigma, \quad x(\sigma)=a_0^{-1} \cosh \sigma, \quad-\infty<\sigma<\infty,
$$

$\sigma$ 是描述世界线的参数．由于这是一条类时曲线，其上的度规是 $\mathrm{d} \tau^2=\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2= \left(a_0^{-1} \mathrm{~d} \sigma\right)^2$ ．由于 $\tau$ 与粒子的固有时相关，通过选定 $\sigma=0$ 时 $\tau=0$ ，有
$$
\tau=a_0^{-1} \sigma .
$$

利用固有时作为参数，描述世界线的坐标函数变为

$$
t(\tau)=a_0^{-1} \sinh \left(a_0 \tau\right), \quad x(\tau)=a_0^{-1} \cosh \left(a_0 \tau\right)
$$

粒子的 4－速度 $u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau}$ 总与世界线相切，

$$
u^t=\cosh \left(a_0 \tau\right), \quad u^x=\sinh \left(a_0 \tau\right),
$$

满足 $\widehat{u} \cdot \widehat{u}=-1$ ．而在原来的静止坐标系中，粒子的坐标速度为

$$
v^x=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\tanh \left(a_0 \tau\right)
$$

其在 $\tau= \pm \infty$ 时趋于光速．粒子的 4－加速度为

$$
a^t=a_0 \sinh \left(a_0 \tau\right), \quad a^x=a_0 \cosh \left(a_0 \dot{\tau}\right)
$$

![图片](/uploads/2025-11/bdbb50.jpg)
 
 其大小

$$
a_0=(\widehat{a} \cdot \widehat{a})^{\frac{1}{2}} .
$$

因此，这个粒子的运动确实是一个匀加速运动（相对于粒子本身的瞬时静止参考系而言）

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