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洛伦兹群的进一步介绍
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2025-11-14 11:59
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洛伦兹群的进一步介绍
附录1.1 洛伦兹群的进一步介绍 前面的讨论中,我们已经定义了一般意义上的洛伦兹群是一个保持闵氏时空线元不变的群,即 $$ \Lambda^{\mathrm{T}} \eta \Lambda=\eta, $$ 其中 $\eta$ 是对角矩阵 $\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ ,而 $\Lambda$ 是一个矩阵.如果进一步要求 $$ \Lambda_0^0 \geqslant 1, \quad \operatorname{det}(\Lambda)=1, $$ 满足上面关系的矩阵构成 $\operatorname{SO}(1,3)$ 群,称为固有洛伦兹群,或者简称为洛伦兹群.洛伦兹群的生成元有 6 个,其中 3 个与纯粹三维空间转动群的生成元对应,而另外 3 个与 在不同方向上的洛伦兹变换有关.它们满足的李代数对易关系如下: $$ \begin{aligned} {\left[J_x, J_y\right] } & =\mathrm{i} J_z \quad \text { (及其轮换), } \\ {\left[K_x, K_y\right] } & =-\mathrm{i} J_z \quad \text { (及其轮换), } \\ {\left[J_x, K_y\right] } & =\mathrm{i} K_z \quad \text { (及其轮换), } \\ {\left[J_x, K_x\right] } & =0 \quad \text { (等等), } \end{aligned} $$ 或者,更简洁地, $$ \left[J_i, J_k\right]=\mathrm{i} \varepsilon_{i k m} J_m, \quad\left[J_i, K_k\right]=\mathrm{i} \varepsilon_{i k m} K_m, \quad\left[K_i, K_k\right]=-\mathrm{i} \v
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