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对排列数公式阶乘形式的认识

## 对排列数公式阶乘形式的认识

作者：高 宇，(北京市第十二中学,北京 １０００７１)

排列数公式有两种形式, 一是连乘形式: $A_n^m=n(n-1)(n-2) \times \ldots \ldots \times(n-m-1)$, 其原理通过分步计数原理很容易理解; 二是阶乘形式: $A_n^m=\frac{n !}{(n-m) !}$. 阶乘形式的排列数公式在解决一些化简、证明时具备一定的优势, 但对它的理解不能仅限于此. 是否可以从排列的实际意义出发, 对阶乘形式的排列数公式进行解释呢? 这一问题中所涉及的思维方法对后续理解组合数公式、明确排列数与组合数的区别与联系将有很大的帮助. 所以在学习组合之前, 有必要对这一内容进行研究.
1 对 $A_n^m=\frac{n !}{(n-m) !}$ 的认识
容易想到等号右边, $n$ ! 是 $n$ 个不同元素的全排列数, $(n-m) !$ 是 $n-m$ 个不同元素的全排列数, 为什么二者相除的结果等于等号左边的 $A_n^m$ (即从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个的排列数)?

我们不妨举一个具体的例子: 求从 $a, b, c$, $d, e, f, g$ 这 7 个元素中取出 4 个的排列数.

根据排列数的定义我们知道, 该排列数应为 $A_7^4$.

从另一角度看, 我们可将 $a, b, c, d, e, f, g$进行全排列, 得到 $A_7^7$ 个不同的排列. 在这些排列中, 依次取出指定的 4 个位置元素作为从这 7 个元素中任选 4 个的一个排列, 这里我们不妨依次取出每个排列的前四个元素, 此时不难发现, 在一些情况下, 我们取出的结果完全相同, 如:

$$
\left.\begin{array}{l}
a, b, c, d, e, f, g \\
a, b, c, d, e, g, f \\
a, b, c, d, f, e, g \\
a, b, c, d, f, g, e \\
a, b, c, d, g, e, f \\
a, b, c, d, g, f, e
\end{array}\right\} \text { 取出的结果均为 } a, b, c, d .
$$

它们的个数是剩下的 3 个元素 $e, f, g$ 的全排列数, 即 $A_3^3=6$ 个; 而取出的前 4 个元素依次为 $a, b, c, d$, 所以 $a, b, c, d$ 是 “从 $a, b, c$, $d, e, f, g$ 这 7 个元素中取出 4 个”的一个排列.但是在 $A_7^7$ 中它们包含 6 种不同情况, 我们可以理解为这 6 种不同情况最终对应为同 1 个结果: $a, b, c, d$. 当前 4 个元素为其他结果时,也具备同样的对应规律, 所以从 $a, b, c, d, e$, $f, g$ 这 7 个元素中取出 4 个的排列数为 $\frac{A_7^?}{A_3^3}$.

同理可知, 在 $n$ 个不同元素中给定 $m$ 个元素的一个排列, 余下的 $n-m$ 个元素的所有排列有 $(n-m)$ ! 种, 但它们所对应的是给定 $m$个元素的同一个排列, 所以 $A_n^m=\frac{n !}{(n-m) !}$.

对排列数公式阶乘形式的这一认识, 一方面有助于对后续 “去序法” 的理解; 另一方面,利用这种思维方法很容易理解组合数公式, 并解释排列数公式与组合数之间的关系: 组合数 $C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}$ 中的分子是从 $n$ 个不同元素中取出的 $m$ 个的全排列数, 由于在组合问题中这 $m$ 个元素不需要排序, 所以这 $m$ 个元素的全排列对应同一个组合. 故 $A_n^m$ 除以 $A_m^m$ 即为从 $n$ 个不同元素中取出的 $m$ 个的组合数.
2 应用
例 14 名男生 3 名女生站成一排, 要求 3 名女生从左到右按从高到矮的顺序, 共有多少种不同站法?

解法一 在 7 个位置中取出 4 个位置, 让 4 名男生站好共有 $A$ 种不同方法; 其余 3 个位置 3 名女生从左到右按从高到矮的顺序站队,

所以共有 $A_7^4 \times 1=840$ 种不同方法.
解法二 在 7 个位置中取出 3 个位置, 3 名女生从左到右按从高到矮的顺序站好共有 $C_7^3$ 种不同方法, 将 4 名男生安排在余下 4 个位置上, 有 $A_4^4$ 种不同方法, 所以共有 $C_7^3 \times A_4^4=$ 840 种不同方法.

解法三 7 名学生全排列有 $A_7^7$ 种不同方法, 其中在 4 名男生站定的情况下, 3 名女生有 $A_3^3$ 种不同站法. 由于 3 名女生顺序确定, 所以这 $A_3^3$ 种不同站法只对应于 1 种符合条件的站法,故共有 $\frac{A_7^7}{A_3^3}=840$ 种不同方法, 这也是我们常说的“去序法”.

例 2 书架上原来摆放着 6 本书, 现要插人 3 本不同的书,则不同的插法有 ( ).
(A) $A_7^3$ 种
(B) $A_4^4$ 种
(C) $A_9^3$ 种
(D) $2 A_3^3$ 种
答案: (C)
解法一从 9 个位置中选出 3 个放人需要插人的 3 本书有 $A_9^3$ 种不同方法,再将原有的 6 本书按原顺序放人剩下的 6 个位置, 故共有 $A_9^3$种不同方法.

解法二 9 本书的全排列共 $A_9^9$ 种, 原有的 6 本书相对顺序不变, 所以需要 “去序”, 故共有 $\frac{A_9^9}{A_6^6}=A_9^3$ 种不同方法.
3 反思
排列数公式阶乘形式中蕴含的对应规律是“去序法”的主要依据, 在解决 “顺序一定问题” 时具备一定优势. 其思维方法对于理解排列与组合的基本概念, 明确排列与组合的区别与联系有重要的意义, 在学习中应该予以重视.

文章来源：《中学生数学》 https://zxss.cbpt.cnki.net/WKH/WebPublication/index.aspx?mid=zxss

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