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洛伦兹群的进一步介绍

附录1．1 洛伦兹群的进一步介绍

前面的讨论中，我们已经定义了一般意义上的洛伦兹群是一个保持闵氏时空线元不变的群，即

$$
\Lambda^{\mathrm{T}} \eta \Lambda=\eta,
$$

其中 $\eta$ 是对角矩阵 $\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ ，而 $\Lambda$ 是一个矩阵．如果进一步要求

$$
\Lambda_0^0 \geqslant 1, \quad \operatorname{det}(\Lambda)=1,
$$

满足上面关系的矩阵构成 $\operatorname{SO}(1,3)$ 群，称为固有洛伦兹群，或者简称为洛伦兹群．洛伦兹群的生成元有 6 个，其中 3 个与纯粹三维空间转动群的生成元对应，而另外 3 个与
在不同方向上的洛伦兹变换有关．它们满足的李代数对易关系如下：

$$
\begin{aligned}
{\left[J_x, J_y\right] } & =\mathrm{i} J_z \quad \text { (及其轮换), } \\
{\left[K_x, K_y\right] } & =-\mathrm{i} J_z \quad \text { (及其轮换), } \\
{\left[J_x, K_y\right] } & =\mathrm{i} K_z \quad \text { (及其轮换), } \\
{\left[J_x, K_x\right] } & =0 \quad \text { (等等), }
\end{aligned}
$$

或者，更简洁地，

$$
\left[J_i, J_k\right]=\mathrm{i} \varepsilon_{i k m} J_m, \quad\left[J_i, K_k\right]=\mathrm{i} \varepsilon_{i k m} K_m, \quad\left[K_i, K_k\right]=-\mathrm{i} \varepsilon_{i k m} J_m,
$$

其中 $K_i$ 是洛伦兹变换的生成元，而 $J_i$ 是通常三维转动的生成元，$\varepsilon_{i k m}$ 是三维平直空间中的列维－齐维塔（Levi－Civita）符号。

实际上，洛伦兹群与 $\mathrm{SL}(2, C)$ 群是同态的．对于四维闵氏时空中的一个矢量 $x^\mu= (t, x, y, z)$ ，我们可以构造一个 $2 \times 2$ 自伴（厄米）矩阵

$$
X=\left(\begin{array}{cc}
t+z & x-\mathrm{i} y \\
x+\mathrm{i} y & t-z
\end{array}\right)
$$

易见 $X^{\dagger}=X$ ，且
$$
\operatorname{det} X=t^2-x^2-y^2-z^2
$$

这个矩阵也可以利用单位矩阵和泡利（Pauli）矩阵来展开：

$$
X=t e+x \sigma_1+y \sigma_2+z \sigma_3
$$

其中

$$
e=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad \sigma_1=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_2=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_3=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
$$

令 $L$ 是一个 $2 \times 2$ 复矩阵，它对 $X$ 的作用是

$$
X \rightarrow L X L^{\dagger}
$$

它诱导了一个对矢量 $x^\mu$ 的变换 $x^\mu \rightarrow \varphi(L) x^\mu$ ．由于

$$
\operatorname{det}\left(L X L^{\dagger}\right)=|\operatorname{det}(L)|^2 \operatorname{det} X,
$$
如果 $L$ 是一个行列式为 1 的矩阵，即 $L \in \mathrm{SL}(2, C)$ ，则它保持矢量 $x^\mu$ 的长度不变，所以，变换 $\varphi(L)$ 是一个洛伦兹变换．

从洛伦兹群的定义可见，矩阵 $\Lambda$ 的行列式可以是 +1 或者 -1 ．如果是 -1 ，这些群元在群流形上无法通过连续曲线与单位元相连。对于类时矢量，洛伦兹群的元素总是保持其大小不变。类时矢量中的零（时间）分量可正可负，而一般洛伦兹群的元素可以使其变号而不破坏矢量的大小。然而这个元素如果可与单位元相连，则不会改变类时矢量零分量的符号．这些元素构成了固有洛伦兹群，它们的行列式取 +1 ，而且保持类时矢量的向前光锥，也就是说要求

$$
\Lambda_0^0 \geqslant 1, \quad \operatorname{det}(\Lambda)=1 .
$$

在此条件下，类时矢量经过洛伦兹变换其零分量的符号不会发生变化，如果变换前指向未来，则变换后还是指向未来．

空间反射（或称宇称变换）在四维中可以由如下矩阵表示：

$$
I_{\mathrm{s}}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right),
$$

它与时间反演、固有洛伦兹群元以及它们之间的乘积一起可以构成一个群，称为完全洛伦兹群（complete Lorentz group）．显然，空间反射与固有洛伦兹群的一个元素相乘，其行列式为 -1 ．易见，空间反射与所有的空间转动生成元对易，而当它作用在洛伦兹变换生成元时，

$$
I_{\mathrm{s}} K_i I_{\mathrm{s}}^{-1}=-K_i
$$

这很容易理解，空间反射使 $K_i$ 中与空间相关的部分反号．
固有洛伦兹群加上 4 个方向的平移构成了固有庞加莱群．庞加莱群的生成元包括 6 个转动生成元和 4 个平移生成元，共 10 个生成元．而前面介绍的伽利略变换包括三维转动、速度平移和 4 个方向的平移，也有 10 个生成元。可以证明所有的伽利略变换也构成一个群，称为伽利略群．在非相对论极限下，庞加莱群可以约化为伽利略群．

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