最后更新: 2025-11-18 11:19 查看: 290 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

狭义相对论里的矢量

张量分析是学习广义相对论的基本工具。在本章中我们在狭义相对论中引进张量分析，介绍矢量、张量的概念及其基本运算。最后，作为张量分析的一个具体的应用，我们将讨论能动张量的定义．
2.1 矢 量

在平直时空中，矢量可以定义为从一个端点到一个终点的有向线段。这样的定义在更一般的场合并不适用。比如我们在讨论粒子运动时，粒子的运动轨迹，即世界线通常都不是一条直线，在某点处粒子的速度并非在世界线上的矢量，而是如我们所知是在此点世界线的切矢量方向上。为了更一般地描述矢量，我们需要引进新的概念。我们将看到切矢量与方向导数可以一一对应，从而通过方向导数可以一般性地讨论矢量。这种做法不止在平直时空中适用，也可以用于弯曲时空中矢量场的讨论．

考虑一条世界线 $P(\lambda)$ ，在其上某点 $\lambda=\lambda_0$ 处的切矢量为

$$
\widehat{t}=\left.\frac{\mathrm{d} P(\lambda)}{\mathrm{d} \lambda}\right|_{\lambda=\lambda_0}
$$

如果我们取定一个坐标系，其原点在 $O$ 处，则世界线上的点可以如下描述：

$$
P(\lambda)-O=x^\mu(\lambda) \widehat{e}_\mu,
$$

其中 $x^\mu$ 是坐标函数，而 $\widehat{e}_\mu$ 是坐标基矢．切矢量为

$$
\widehat{t}=\left.\frac{\mathrm{d} P(\lambda)}{\mathrm{d} \lambda}\right|_{\lambda=\lambda_0}=\left(\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}\right)_{\lambda=\lambda_0} \widehat{e}_\mu
$$

下面我们考虑一个沿世界线 $x^\mu(\lambda)$ 的任意函数 $f\left(x^\mu(\lambda)\right)$ ，它随世界线的变化为

$$
\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} \lambda}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f\left(x^\mu(\epsilon+\lambda)\right)-f\left(x^\mu(\lambda)\right)}{\epsilon}=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\partial f}{\pa

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