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狭义相对论里的矢量

张量分析是学习广义相对论的基本工具。在本章中我们在狭义相对论中引进张量分析，介绍矢量、张量的概念及其基本运算。最后，作为张量分析的一个具体的应用，我们将讨论能动张量的定义．
2.1 矢 量

在平直时空中，矢量可以定义为从一个端点到一个终点的有向线段。这样的定义在更一般的场合并不适用。比如我们在讨论粒子运动时，粒子的运动轨迹，即世界线通常都不是一条直线，在某点处粒子的速度并非在世界线上的矢量，而是如我们所知是在此点世界线的切矢量方向上。为了更一般地描述矢量，我们需要引进新的概念。我们将看到切矢量与方向导数可以一一对应，从而通过方向导数可以一般性地讨论矢量。这种做法不止在平直时空中适用，也可以用于弯曲时空中矢量场的讨论．

考虑一条世界线 $P(\lambda)$ ，在其上某点 $\lambda=\lambda_0$ 处的切矢量为

$$
\widehat{t}=\left.\frac{\mathrm{d} P(\lambda)}{\mathrm{d} \lambda}\right|_{\lambda=\lambda_0}
$$

如果我们取定一个坐标系，其原点在 $O$ 处，则世界线上的点可以如下描述：

$$
P(\lambda)-O=x^\mu(\lambda) \widehat{e}_\mu,
$$

其中 $x^\mu$ 是坐标函数，而 $\widehat{e}_\mu$ 是坐标基矢．切矢量为

$$
\widehat{t}=\left.\frac{\mathrm{d} P(\lambda)}{\mathrm{d} \lambda}\right|_{\lambda=\lambda_0}=\left(\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}\right)_{\lambda=\lambda_0} \widehat{e}_\mu
$$

下面我们考虑一个沿世界线 $x^\mu(\lambda)$ 的任意函数 $f\left(x^\mu(\lambda)\right)$ ，它随世界线的变化为

$$
\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} \lambda}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f\left(x^\mu(\epsilon+\lambda)\right)-f\left(x^\mu(\lambda)\right)}{\epsilon}=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\partial f}{\partial x^\mu} .
$$

令 $\hat{t}$ 是世界线的切矢量，在坐标 $\left\{x^\mu\right\}$ 中，相对于坐标基矢，切矢量的分量为

$$
t^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda},
$$

因此

$$
\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} \lambda}=t^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} f .
$$

由于 $f$ 是一个任意函数，在世界线上某一点 $\lambda=\lambda_0$ 的方向导数就由 $\widehat{t}$ 给出，即

$$
\left.\partial_{\widehat{t}}\right|_{\lambda_0}=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\right|_{\lambda_0}=\left.t^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}\right|_{\lambda_0} .
$$

方向导数是一个算子，作用在任意函数上，告诉我们函数如何沿世界线变化．
上面的讨论告诉我们，对每一个方向导数，都有一个切矢量与之对应。反之亦然，对每一个切矢量 $\hat{t}$ ，都有一个沿曲线的方向导数，此时的曲线 $x^\mu(\lambda)=x^\mu\left(\lambda_0\right)+t^\mu\left(\lambda-\lambda_0\right)$ ，也就是说可以近似为一条直线来讨论。所以，切矢量和方向导数是一一对应的。

简而言之，我们可以用一个等价的观点来描述矢量：一个矢量可以看作一个算子

$$
\widehat{a}=\partial_{\widehat{a}}
$$

在某坐标系下，这个矢量可以写成分量的形式

$$
\widehat{a}=a^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}
$$

显然，这样定义的矢量满足矢量代数的所有关系．这样描述矢量带来一些好处，如更加严格、简化了一些概念（如矢量场的对易子）、有利于计算等。

如前所述，矢量是不依赖于坐标系的选取的。在讨论具体问题时，为了方便，我们取定一组坐标系 $\left\{x^\mu\right\}$ ，相应地，就有了一组坐标基矢

$$
\widehat{e}_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}
$$

每一个坐标基矢只不过是沿着相应坐标轴的方向导数。当我们换一组坐标时，矢量是不变的，但相应的坐标基矢变化了，而矢量的分量也随之变化．假定新的坐标系为 $\left\{x^{\nu^{\prime}}\right\}$ ，则有

$$
\begin{aligned}
\widehat{a} & \equiv a^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}=a^\mu \frac{\partial x^{\nu^{\prime}}}{\partial x^\mu} \cdot \frac{\partial}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \\
& \equiv a^{\nu^{\prime}} \frac{\partial}{\partial x^{\nu^{\prime}}}
\end{aligned}
$$

所以矢量分量的变化为

$$
a^{\nu^{\prime}}=\frac{\partial x^{\nu^{\prime}}}{\partial x^\mu} a^\mu
$$

而坐标基矢的变化为

$$
\widehat{e}_{\nu^{\prime}}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \widehat{e}_\mu
$$

在不少文献中，常把 $a^\mu$ 称为逆变矢量（contra－variant vector），其在坐标变换下的行为如上．我们再次强调，矢量是与坐标变换无关的，只有其分量才会在不同的坐标系中有不同的值。

狭义相对论中的洛伦兹变换不过是一种坐标变换。这个坐标变换对应于观测者的变化，只不过此时观测者间的变换是要求保持线元不变的非奇异坐标变换

$$
x^\mu \rightarrow x^{\mu^{\prime}}=\Lambda_\nu^{\mu^{\prime}} x^\nu
$$

因此

$$
a^\mu \rightarrow a^{\mu^{\prime}}=\Lambda_\nu^{\mu^{\prime}} a^\nu
$$

而

$$
\widehat{e}_\mu=\Lambda_\mu^{\nu^{\prime}} \widehat{e}_{\nu^{\prime}}, \quad \widehat{e}_{\nu^{\prime}}=\Lambda_{\nu^{\prime}}^\mu \widehat{e}_\mu
$$

其中 $\Lambda_{\nu^{\prime}}^\mu$ 是 $\Lambda_\mu^{\nu^{\prime}}$ 的逆，

$$
\Lambda_\mu^{\nu^{\prime}} \Lambda_{\sigma^{\prime}}^\mu=\delta_{\sigma^{\prime}}^{\nu^{\prime}}, \quad \Lambda_{\nu^{\prime}}^\mu \Lambda_\rho^{\nu^{\prime}}=\delta_\rho^\mu
$$

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