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二元复变函数的解析性

## 二元复变函数的解析性

作者：耿永才, 陈 玲
(上海应用技术大学理学院, 上海 201418)

**摘 要**: 由于复变函数的复杂性, 很多有关复变函数的教材都重点介绍了一元复变函数的性质, 简单地提及了多元复变函数, 但是对多元函数的解析性, 比如二元复变函数的柯西-黎曼条件, 没有具体的推导. 本文利用数学分析和一元复变函数的研究方法, 对二元复变函数的解析性进行了讨论.

### 0 引 言

复变函数是自变量为复数的函数. 众所周知, 实数范围内一元二次方程求解时, 如果判别式小于零,就会出现负数开平方的问题.16世纪中叶, 意大利的卡尔丹首先提出了复数开平方的思想, 这就是复数的维形 ${ }^{[1]} .1777$ 年, 欧拉系统地建立了复数理论, 发现了指数函数和三角函数的关系 ${ }^{[2]} .19$ 世纪, 经过数学家柯西、黎曼、维尔斯特拉斯的努力, 非常系统的复数理论已经形成, 其在热力学、电磁学和流体力学方面有很多的应用 ${ }^{[3-4]}$.

对于一元复变函数而言, 每个自变量都对应着独立的两个部分: 实部和虚部; 因变量也对应着两个独立的部分: 实部和虚部.一元复变函数其实相当于两个独立的实变元作为自变量, 而因变量又相当于两个独立的二元函数. 所以与一元实变函数不同的是, 一元复变函数的自变量变化的范围不是区间而是区域, 极限没有左右极限, 积分不是定积分而是两个独立的第二类曲线积分. 由于因变量也是二元的, 在研究可微性时, 实部和虚部两个二元函数不但要可微, 同时也要满足柯西 - 黎曼条件. 在求解解析函数的积分时, 两个柯西-黎曼条件相当于两个格林公式, 因此自然得到了解析函数的柯西定理. 通过上面分析可知, 当复变函数的自变量有两个时, 其实相当于有 4 个独立的实变量, 通过对应法则后, 因变量仍然有实部和虚部, 并且这两部分都相当于以 4 个独立实变量作为自变量的四元函数. 所以要研究该函数的极限、连续性、可微性和可积性具有一定的难度和创新性. 基于此, 本文作者主要研究二元复变函数的解析性和可积性, 导出解析函数的柯西-黎曼条件和积分运算.

1 二元复变函数的性质
1.1 二元复变函数的极限与连续

定义 1 设复数集合 $Z$, 对于任意两个独立的复数 $z=x_j+\mathrm{i} y_j \in Z, j=1,2$, 有唯一确定的复数 $w=u\left(z_1, z_2\right)+$ $\mathrm{i} v\left(z_1, z_2\right)$ 与之对应, 则称在 $D=\mathrm{Z} \times \mathrm{Z}$ 上确定了一个单值函数 $w=f\left(z_1, z_2\right), x_j, y_j \in \mathrm{R}, j=1,2$. 其 $u\left(z_1, z_2\right)=$ $u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right), v\left(z_1, z_2\right)=v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)$ 为两个四元实变函数.
1.1.1 二元复变函数的极限

定义 2 设函数 $w=f\left(z_1, z_2\right)$ 在 $D$ 上确定, $P_0$ 是 $D$ 的聚点. $A=a+\mathrm{i} b, a, b \in \mathrm{R}$ 是一个常复数. 如果对任意给定的 $\varepsilon>0$, 可以找到一个与 $\varepsilon$ 有关的正数 $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, 使得当 $P \in U^{\circ}\left(P_0 ; \delta\right) \cap D$ 时, 都有 $|f(P)-A|<\varepsilon$, 则称 $f$ 在 $D$ 上当 $P \rightarrow P_0$ 时以 $A$ 为极限, 记作

$$
\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in D}} f(P)=A .
$$

若用 $\left(z_1, z_2\right),\left(z_1^0, z_2^0\right)$ 分别表示 $P, P_0$ 时, 式 (1) 写为:
1.1.2 二元复变函数的连续性
定义 3 设 $w=f\left(z_1, z_2\right)=u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)+i v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)$ 在 $D$ 的聚点 $P_0 \in D$. 如果有

$$
\lim _{\left(z_1, z_2\right) \rightarrow\left(z_2^0, z_2^0\right)} f\left(z_1, z_2\right)=f\left(z_1^0, z_2^0\right),
$$

则 $w=f\left(z_1, z_2\right)$ 在点 $P_0$ (对于集合 $D$ ) 上连续. 如果 $w=f\left(z_1, z_2\right)$ 在 $D$ 上的每一个聚点连续, 则 $w=f\left(z_1, z_2\right)$ 在集合 $D$ 上连续.

对于复变函数 $w=f\left(z_1, z_2\right)=u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)+\mathrm{i} v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)$ 来说, $f(z)$ 在点 $\left(z_1^0, z_2^0\right)$ (其中 $z_1^0=x_1^0+\mathrm{i} y_1^0$ 且 $\left.z_2^0=x_2^0+\mathrm{i} y_2^0\right)$ 连续的条件等价于:

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x_1 \rightarrow x_1^0, x_2 \rightarrow x_2^0, y_1 \rightarrow y_1^0, y_2 \rightarrow y_2^0} u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=u\left(x_1^0, x_2^0, y_1^0, y_2^0\right), \\
& \lim _{x_1 \rightarrow x_1^0, x_2 \rightarrow x_2^0, y_1 \rightarrow y_1^0, y_2 \rightarrow y_2^0} v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=v\left(x_1^0, x_2^0, y_1^0, y_2^0\right) .
\end{aligned}
$$

1.2 二元复变函数的解析性

定理 (柯西-黎曼条件) 设二元复变函数 $w=f\left(z_1, z_2\right)=u\left(z_1, z_2\right)+i v\left(z_1, z_2\right)$ 在区域 $D$ 内确定, 则 $w=$ $f\left(z_1, z_2\right)$ 在点 $\left(z_1, z_2\right) \in D$ 可微的必要与充分条件是: 在点 $\left(z_1, z_2\right) 、 u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)$ 及 $v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)$ 都可微,并且

$$
\frac{\partial u}{\partial x_1}=\frac{\partial v}{\partial y_1}, \frac{\partial u}{\partial y_1}=-\frac{\partial v}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}=\frac{\partial v}{\partial y_2}, \frac{\partial u}{\partial y_2}=-\frac{\partial v}{\partial x_2}
$$

证明 先证必要性:
设 $w=f\left(z_1, z_2\right)$ 在点 $\left(z_1, z_2\right)$ 有 $f$ 对 $z_1$ 的偏导数 $\alpha_1, \alpha_1=a_1+\mathrm{i} b_1$, 有 $f$ 对 $z_2$ 的偏导数 $\alpha_2, \alpha_2=a_2+\mathrm{i} b_2$, 这里 $a_1, b_1, a_2, b_2$ 均为实数. 根据导数定义, 当 $\left(z_1+\Delta z_1, z_2+\Delta z_2\right) \in D$ 时 $\left(\Delta z_1 \neq 0\right)$,

$$
f\left(z_1+\Delta z_1, z_2+\Delta z_2\right)-f\left(z_1, z_2\right)=\alpha_1 \Delta z_1+\alpha_2 \Delta z_2+\circ(\rho),
$$

在这里, $\Delta z_1=\Delta x_1+\mathrm{i} \Delta y_1, \Delta z_2=\Delta x_2+\mathrm{i} \Delta y_2$, 然后引人虚部和实部可以得到:

$$
\left\{\begin{aligned}
u\left(x_1+\Delta x_1, x_2, y_1+\Delta y_1, y_2\right)- & u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)+\mathrm{i} v\left(x_1+\Delta x_1, x_2, y_1+\Delta y_1, y_2\right)-v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)= \\
& \left(a_1+\mathrm{i} b_1\right)\left(\Delta x_1+\mathrm{i} \Delta y_1\right)+o\left(\Delta z_1 \mid\right), \\
u\left(x_1, x_2+\Delta x_2, y_1, y_2+\Delta y_2\right)- & u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)+\mathrm{i} v\left(x_1, x_2+\Delta x_2, y_1, y_2+\Delta y_2\right)-v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)= \\
& \left(a_2+\mathrm{i} b_2\right)\left(\Delta x_2+\mathrm{i} \Delta y_2\right)+o\left(\left|\Delta z_2\right|\right) .
\end{aligned}\right.
$$

当忽略高阶无穷小项时, 式 (7) 变为:

$$
\left\{\begin{array}{l}
u\left(x_1+\Delta x_1, x_2, y_1+\Delta y_1, y_2\right)-u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_1 \Delta x_1-b_1 \Delta y_1, \\
v\left(x_1+\Delta x_1, x_2, y_1+\Delta y_1, y_2\right)-v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_1 \Delta y_1+b_1 \Delta x_1, \\
u\left(x_1, x_2+\Delta x_2, y_1, y_2+\Delta y_2\right)-u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_2 \Delta x_2-b_2 \Delta y_2, \\
v\left(x_1, x_2+\Delta x_2, y_1, y_2+\Delta y_2\right)-v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_2 \Delta y_{22}+b_2 \Delta x_2 .
\end{array}\right.
$$

根据中值定理, 有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x_1} \Delta x_1+\frac{\partial u}{\partial y_1} \Delta y_1=a_1 \Delta x_1-b_1 \Delta y_1 \\
\frac{\partial v}{\partial x_1} \Delta x_1+\frac{\partial v}{\partial y_1} \Delta y_1=a_1 \Delta y_1+b_1 \Delta x_1 \\
\frac{\partial u}{\partial x_2} \Delta x_2+\frac{\partial u}{\partial y_2} \Delta y_2=a_2 \Delta x_2-b_2 \Delta y_2 \\
\frac{\partial v}{\partial x_2} \Delta x_2+\frac{\partial v}{\partial y_2} \Delta y_2=a_2 \Delta y_2+b_2 \Delta x_2
\end{array}\right.
$$

对比式(9)两边, 可以得到:

$$
\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x_1}=a_1, & \frac{\partial u}{\partial y_1}=-b_1, \\ \frac{\partial v}{\partial y_1}=a_1, & \frac{\partial v}{\partial x_1}=b_1, \\ \frac{\partial u}{\partial x_2}=a_2, & \frac{\partial u}{\partial y_2}=-b_2, \\ \frac{\partial v}{\partial y_2}=a_2, & \frac{\partial v}{\partial x_2}=b_2,\end{cases}
$$

即:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x_1}=\frac{\partial v}{\partial y_1}, \frac{\partial u}{\partial y_1}=-\frac{\partial v}{\partial x_1}, \\
\frac{\partial u}{\partial x_2}=\frac{\partial v}{\partial y_2}, \frac{\partial u}{\partial y_2}=-\frac{\partial v}{\partial x_2}
\end{array}\right.
$$

所以可微的必要性得证.
再证充分性:
因为 $u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)$ 及 $v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)$ 在点 $\left(z_1, z_2\right)$ 上都可微, 并且

成立, 又因为

$$
\left\{\begin{array}{l}
u\left(x_1+\Delta x_1, x_2, y_1+\Delta y_1, y_2\right)-u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_1 \Delta x_1-b_1 \Delta y_1+o\left(\mid \Delta z_1\right), \\
v\left(x_1+\Delta x_1, x_2, y_1+\Delta y_1, y_2\right)-v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_1 \Delta y_1+b_1 \Delta x_1+o\left(\mid \Delta z_1\right), \\
u\left(x_1, x_2+\Delta x_2, y_1, y_2+\Delta y_2\right)-u\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_2 \Delta x_2-b_2 \Delta y_2+o\left(\mid \Delta z_2\right), \\
v\left(x_1, x_2+\Delta x_2, y_1, y_2+\Delta y_2\right)-v\left(x_1, x_2, y_1, y_2\right)=a_2 \Delta y_2+b_2 \Delta x_2+o\left(\mid \Delta z_2\right),
\end{array}\right.
$$

且 $\left|\Delta z_1\right| \rightarrow 0,\left|\Delta z_2\right| \rightarrow 0$, 其中, $\left(z_1+\Delta z_1, z_2+\Delta z_2\right) \in D\left(\Delta z_1, \Delta z_2 \neq 0\right)$.
将式 (13) 的第二和第四方程分别乘 $\mathrm{i}$, 再分别和第一、第三方程相加, 得到:

$$
f\left(z_1+\Delta z_1, z_2+\Delta z_2\right)-f\left(z_1, z_2\right)=\alpha_1 \Delta z_1+\alpha_2 \Delta z_2+o(\rho),
$$

所以, $w=f\left(z_1, z_2\right)$ 在点 $\left(z_1, z_2\right)$ 处可微, 有偏导数 $\alpha_1=a_1+\mathrm{i} b_1, \alpha_2=a_2+\mathrm{i} b_2$.
2 结 语
本文主要讨论了二元复变函数的解析性, 通过具体的证明, 得到了二元复变函数解析的充分必要条件, 从数学本质上得到了和一元解析函数黎曼 - 柯西条件的异同.

参考文献:
[ 1 ] WU H F. Introduction to History of Mathematics in China [D]. Haikou: Hainan Normal University, 2014.
[2] WU H M. Reflection on the teaching of mathematical concepts: discovering the "beauty" of mathematical culture [J]. New Curriculum (Middle School), 2013,12:134-135.
[ 3 ] CAI S H. Q\&A on teaching the "Plural" chapter of mathematics in senior three [J]. Reference for Middle School Mathematics Teaching, 2002(12):1-3.
[ 4 ] KONG F H. An example of teaching design based on the history of mathematics: plural (lesson one) [J]. Middle School Mathematics Monthly, 2012(7):26-28.
[ 5 ] YU J R. Complex Functions [M]. 3rd ed. Beijing: Higher Education Press, 2000.
(责任编辑: 冯珍珍)

文章来源： https://pubscholar.cn/articles/bf05df810b26599072800fdfd0ce42cc335b52c3f4109edb63751ad06915326b1ee92e81c27edc973c45446da36e35cb

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