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对偶矢量

2.2 对 偶 矢 量

对偶矢量也称为余矢量（co－vector）、协变矢量（covariant vector），或者简单地称为 1 形式（ 1 －form）．一个对偶矢量 $\hat{\omega}$ 是一个线性映射，把矢量映射到实数域上，即

$$
\widehat{\omega}: \widehat{a} \rightarrow \widehat{\omega}(\widehat{a}) \in R
$$

后面我们将看到，在一点 $p$ 的切矢量形成线性空间，即切空间 $T_p$ ，而对偶矢量形成余切空间 $T_p^*$ ：

$$
\left\{\widehat{\omega} \in T_p^* \mid \widehat{\omega}\left(T_p\right)=R\right\}
$$

实际上，从映射的角度，我们可以认为切空间和余切空间互为对偶：

$$
T_p \leftrightarrow T_p^* .
$$

由上面的定义可以得到以下关于对偶矢量的性质：

$$
\begin{aligned}
\widehat{\omega}(a \widehat{v}+b \widehat{w}) & =a \widehat{\omega}(\widehat{v})+b \widehat{\omega}(\widehat{w}), \\
(a \widehat{\omega}+b \widehat{\eta})(\widehat{v}) & =a \widehat{\omega}(\widehat{v})+b \widehat{\eta}(\widehat{v}),
\end{aligned}
$$

其中 $\widehat{\omega}, \widehat{\eta} \in T_p^*, \widehat{v}, \widehat{w} \in T_p, a, b \in R$ 。易见，对偶矢量确实形成矢量空间。然而，对偶矢量并非一个矢量，因为如果它是矢量，我们需要额外的结构——度规来定义标量积从而得到一个实数．实际上，对偶矢量与矢量的泛函关系并不需要度规来给出。

对偶矢量或者 1 形式有清楚的几何图像。几何上局部地看， 1 形式包含一系列曲面，它的大小反比于曲面间的间隔。而 $\hat{\omega}(\widehat{v})$ 由矢量穿过的曲面数确定，如图2．1所示 ${ }^{(1)}$ ．最简单的例子是曲面族 $x=n$ ，两个曲面相隔为 1 ，这给出了基矢 $\mathrm{d} x$ 。如果曲面间隔变宽为 $x=2 n$ ，则对应的 1 形式为 $\frac{1}{2} \mathrm{~d} x$ 。在四维中， 1 形式是三维曲面，在 $n$ 维中， 1形式是 $n-1$ 维曲面。因此， 1 形式定义了一种分割空间的方式。注意，这里

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