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对偶矢量

2.2 对 偶 矢 量

对偶矢量也称为余矢量（co－vector）、协变矢量（covariant vector），或者简单地称为 1 形式（ 1 －form）．一个对偶矢量 $\hat{\omega}$ 是一个线性映射，把矢量映射到实数域上，即

$$
\widehat{\omega}: \widehat{a} \rightarrow \widehat{\omega}(\widehat{a}) \in R
$$

后面我们将看到，在一点 $p$ 的切矢量形成线性空间，即切空间 $T_p$ ，而对偶矢量形成余切空间 $T_p^*$ ：

$$
\left\{\widehat{\omega} \in T_p^* \mid \widehat{\omega}\left(T_p\right)=R\right\}
$$

实际上，从映射的角度，我们可以认为切空间和余切空间互为对偶：

$$
T_p \leftrightarrow T_p^* .
$$

由上面的定义可以得到以下关于对偶矢量的性质：

$$
\begin{aligned}
\widehat{\omega}(a \widehat{v}+b \widehat{w}) & =a \widehat{\omega}(\widehat{v})+b \widehat{\omega}(\widehat{w}), \\
(a \widehat{\omega}+b \widehat{\eta})(\widehat{v}) & =a \widehat{\omega}(\widehat{v})+b \widehat{\eta}(\widehat{v}),
\end{aligned}
$$

其中 $\widehat{\omega}, \widehat{\eta} \in T_p^*, \widehat{v}, \widehat{w} \in T_p, a, b \in R$ 。易见，对偶矢量确实形成矢量空间。然而，对偶矢量并非一个矢量，因为如果它是矢量，我们需要额外的结构——度规来定义标量积从而得到一个实数．实际上，对偶矢量与矢量的泛函关系并不需要度规来给出。

对偶矢量或者 1 形式有清楚的几何图像。几何上局部地看， 1 形式包含一系列曲面，它的大小反比于曲面间的间隔。而 $\hat{\omega}(\widehat{v})$ 由矢量穿过的曲面数确定，如图2．1所示 ${ }^{(1)}$ ．最简单的例子是曲面族 $x=n$ ，两个曲面相隔为 1 ，这给出了基矢 $\mathrm{d} x$ 。如果曲面间隔变宽为 $x=2 n$ ，则对应的 1 形式为 $\frac{1}{2} \mathrm{~d} x$ 。在四维中， 1 形式是三维曲面，在 $n$ 维中， 1形式是 $n-1$ 维曲面。因此， 1 形式定义了一种分割空间的方式。注意，这里用平面来分割空间是一种特殊的情形，一般而言只是局域成立的。换句话说，如果考虑一个点附近的 1 形式场和矢量场间的作用，这个图像是成立的．对于一般的标量函数也是如此，其梯度相当于 1 形式场。一个直观的图像是等高线，它对空间进行了切割，当相邻等高线比较近时，代表着梯度较大，也就是该处 1 形式的值较大．值得提醒大家的是，等

![图片](/uploads/2025-11/f64993.jpg)
 
 高线的存在不依赖于坐标系的选择，因此 1 形式场本身是与坐标系的选择无关的，而矢量穿过等高线的多少给出了矢量与 1 形式间的值。

考虑在点 $P_0$ 的矢量，其终点在 $P$ ．对于由函数 $f=$ 常数给出的 1 形式，矢量穿过曲面的次数由

$$
\left\langle\mathrm{d} f, P-P_0\right\rangle=f(P)-f\left(P_0\right)
$$

给出，其中 $\mathrm{d} f$ 代表1形式．而矢量 $P-P_0=\lambda \widehat{V}$ 对应着方向导数

$$
\partial_{\widehat{V}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}
$$

所以

$$
\partial_{\widehat{V}} f(P)=\left\langle\mathrm{d} f, \frac{\mathrm{~d} P}{\mathrm{~d} \lambda}\right\rangle=\langle\mathrm{d} f, \widehat{V}\rangle
$$

即函数沿着 $\widehat{V}$ 的方向导数给出了 1 形式 $\mathrm{d} f$ 与矢量 $\widehat{V}$ 间的泛函关系．这个讨论与坐标系的选择无关。

对于对偶矢量来说，在某坐标系下其基矢 $\widehat{\theta}^\nu$ 可以定义为

$$
\widehat{\theta}^\nu\left(\widehat{e}_\mu\right)=\delta_\mu^\nu
$$

对于一个对偶矢量（1 形式），我们有
$$
\widehat{\omega}=\omega_\mu \widehat{\theta}^\mu
$$

因此

$$
\widehat{\omega}(\widehat{v})=\omega_\mu \widehat{\theta}^\mu\left(v^\nu \widehat{e}_\nu\right)=\omega_\mu v^\nu \widehat{\theta}^\mu\left(\widehat{e}_\nu\right)=\omega_\mu v^\nu \delta_\nu^\mu=\omega_\mu v^\mu
$$

与矢量一样，对偶矢量与坐标系的选择无关，由此我们可以知道在洛伦兹变换下 1 形式的分量以及基矢的变换性质为

$$
\omega_{\mu^{\prime}}=\Lambda_{\mu^{\prime}}^\nu \omega_\nu, \quad \widehat{\theta}^{\rho^{\prime}}=\Lambda_\sigma^{\rho^{\prime}} \widehat{\theta}^\sigma
$$

上面的讨论好像很抽象，下面我们看一个具体的例子．
例 2.1 标量函数的梯度。
如前所述，标量函数的梯度给出了对偶矢量的几何描述。我们通过某个坐标系来讨论．考虑一个标量函数 $f\left(x^\mu\right)$ 的梯度．$f$ 沿着一个矢量 $\hat{t}^{\prime}$ 的变化是我们已经讨论过
的方向导数 $t^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu}$ ，它给出了 1 形式与矢量间的泛函关系．我们可以把它重新写作

$$
\mathrm{d} f(\widehat{t}) \equiv t^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu}
$$

由此可见， $\mathrm{d} f$ 定义了矢量到实数的映射，因此它是一个对偶矢量（2）．更清楚地，我们知道标量函数的梯度在一个坐标系下可以写作

$$
\mathrm{d} f=\frac{\partial f}{\partial x^\mu} \mathrm{d} x^\mu
$$

这表明了函数沿 $x^\mu$ 方向的变化．显然，我们有

$$
\widehat{\theta}^\mu=\mathrm{d} x^\mu
$$

它满足对偶基矢的性质，因为 $\mathrm{d} x^\mu\left(\frac{\partial}{\partial x^\nu}\right)=\delta_\nu^\mu$ 。换言之，如果我们选择的标量函数恰好是 $x^\mu=$ 常数，则这个标量函数的梯度定义了对偶基矢，它只沿着 $x^\mu$ 坐标轴定义的方向导数有变化．

更一般地，对于标量函数 $g(x)=-t^2+x^2+y^2+z^2$ ，其梯度有分量

$$
\frac{\partial g}{\partial x^\mu}=(-2 t, 2 x, 2 y, 2 z)
$$

可以写作

$$
\mathrm{d} g=-2 t \mathrm{~d} t+2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y+2 z \mathrm{~d} z
$$

如前所述，＂标量函数 $=$ 常数＂定义了一个曲面，其梯度是一个 1 形式场．这个 1形式场实际上就是通常曲面的（余）法矢量．更准确地说，这个 1 形式场与曲面上所有切矢量的作用都是零：如果 $\hat{t}$ 是曲面上的任意切矢量，而 $\mathrm{d} f$ 是曲面 $f=$ 常数定义的 1 形式，则我们总有

$$
\langle\widehat{t}, \mathrm{~d} f\rangle=\widehat{t}(\mathrm{~d} f)=0
$$

因为函数沿着曲面是不变的，沿着切向方向的变化为零。这实际上可以清楚地看出 1形式场与通常的法矢量的差别．通常，我们定义法矢量是正交于切矢量的，然而这种正交性的定义来自法矢量和切矢量间的内积，这需要通过引进度规场来定义。而1形式场与切矢量间的作用实际上是不需要度规场的。因此，一个更自然的图像是 1 形式场与曲面正交，或者说梯度定义了一个法向 1 形式。如果曲面是封闭的，把空间分成了内外，此时若一个 1 形式与指向外的矢量的作用是正的，则称这个法向 1 形式是向外的，否则为向内的．

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