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张量

2.3 张 量

一个 $(k, l)$ 型张量定义了一个映射，作用在 $k$ 个余切空间和 $l$ 个切空间的张量积上：

$$
\widehat{T}: T_p^* \otimes \cdots \otimes T_p^* \otimes T_p \otimes \cdots \otimes T_p \rightarrow R
$$

例 2.2 常见张量．
（1）标量：$(0,0)$ 型张量．
（2）矢量：$(1,0)$ 型张量．
（3）对偶矢量：$(0,1)$ 型张量．
（4）$(1,1)$ 型张量：

$$
\widehat{T}(a \widehat{\omega}+b \widehat{\eta}, c \widehat{v}+d \widehat{w})=a c \widehat{T}(\widehat{\omega}, \widehat{v})+a d \widehat{T}(\widehat{\omega}, \widehat{w})+b c \widehat{T}(\widehat{\eta}, \widehat{v})+b d \widehat{T}(\widehat{\eta}, \widehat{w}),
$$

其中 $\widehat{T}(\widehat{\omega}, \widehat{v}) \in R, \widehat{\omega} \in T_p^*, \widehat{v} \in T_p$ ，而 $a, b, c, d$ 都是实数 ${ }^{(3)}$ 。
（5）对其他类型的张量有类似的结果．
利用张量积，我们可以从低阶的张量定义更高阶的张量．给定一个（ $k, l$ ）型张量 $\widehat{T}$和一个 $(m, n)$ 型张量 $\widehat{S}$ ，它们的张量积是一个 $(k+m, l+n)$ 型张量 $T \otimes S$ ：

（5）对其他类型的张量有类似的结果．
利用张量积，我们可以从低阶的张量定义更高阶的张量．给定一个 $(k, l)$ 型张量 $\widehat{T}$和一个 $(m, n)$ 型张量 $\widehat{S}$ ，它们的张量积是一个 $(k+m, l+n)$ 型张量 $T \otimes S$ ：

$$
\begin{aligned}
\dot{\widehat{T}} \otimes & \widehat{S}\left(\widehat{\omega}^{(1)}, \cdots, \widehat{\omega}^{(k)}, \cdots, \widehat{\omega}^{(k+m)}, \widehat{v}^{(1)}, \cdots, \widehat{v}^{(l)}, \cdots, \widehat{v}^{(l+n)}\right) \\
& \equiv \widehat{T}\left(\widehat{\omega}^{(1)}, \cdots, \widehat{\omega}^{(k)}, \widehat{v}^{(1)}, \cdots, \widehat{v}^{(l)}\right) \widehat{S}\left(\omega^{(k+1)}, \cdots, \widehat{\omega}^{(k+m)}, \widehat{v}^{(l+1)}, \cdots, \widehat{v}^{(l+n)}\right)
\end{aligned}
$$

注意，一般而言，两个张量的张量积不能随便交换顺序，即 $\widehat{T} \otimes \widehat{S} \neq \widehat{S} \otimes \widehat{T}$ ，这是因为它们作用的矢量空间是不同的。

与矢量和对偶矢量一样，张量是独立于坐标系而存在的．对于一个 $(k, l)$ 型张量来说，其基矢为

$$
\widehat{e}_{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \widehat{e}_{\mu_k} \otimes \widehat{\theta}^{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \widehat{\theta}^{\nu_l}
$$

由此

$$
\widehat{T}=T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l} \widehat{e}_{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \widehat{e}_{\mu_k} \otimes \widehat{\theta}^{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \widehat{\theta}^{\nu_l},
$$

而

$$
\widehat{T}\left(\widehat{\omega}^{(1)}, \cdots, \widehat{\omega}^{(k)}, \widehat{v}^{(1)}, \cdots, \widehat{v}^{(l)}\right)=T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l} \omega_{\mu_1} \cdots \omega_{\mu_k} v^{\nu_1} \cdots v^{\nu_l}
$$

在洛伦兹变换下，张量分量的变换规律为

$$
T^{\mu_1^{\prime} \cdots \mu_k^{\prime}}{ }_{\nu_1^{\prime} \cdots \nu_l^{\prime}}=\Lambda_{\mu_1}^{\mu_1^{\prime}} \cdots \Lambda_{\mu_k}^{\mu_k^{\prime}} \Lambda_{\nu_1^{\prime}}^{\nu_1} \cdots \Lambda_{\nu_l^{\prime}}^{\nu_l} T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l} .
$$

下面我们来讨论各种类型的张量．首先是 $(0,2)$ 型的度规张量，在闵氏时空中为

$$
\widehat{\eta}=\eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \otimes \mathrm{d} x^\nu
$$

由上面的定义知它自然地给出了两个矢量的标量积，或称内积：

$$
\widehat{\eta}(\widehat{v}, \widehat{w})=\eta_{\mu \nu} v^\mu w^\nu=\widehat{v} \cdot \widehat{w}
$$

如果 $\widehat{v} \cdot \widehat{w}=0$ ，则称 $\widehat{v}$ 与 $\widehat{w}$ 正交．这个正交性与坐标系（惯性系）的选择无关，因为内积是一个标量．另一方面，考虑矢量与自身的内积可以定义矢量的模长平方 $\hat{\eta}(\widehat{v}, \widehat{v})$ ．由模长平方的正负可以对矢量进行分类，
$$
\widehat{\eta}(\widehat{v}, \widehat{v}) \begin{cases}<0, & \text { 类时矢量, } \\ =0, & \text { 类光 (零) 矢量, } \\ >0, & \text { 类空矢量. }\end{cases}
$$

如果一条曲线的切矢量总是类时的，则称这条曲线为类时曲线。对于一个有质量粒子，其世界线总是类时的．也就是说，类时曲线的切矢量总是在光锥内．

下面是其他一些常见张量的例子。
（1）克罗内克 $\delta$ 函数 $\delta_\nu^\mu$ ．它是一个 $(1,1)$ 型张量，给出了从矢量到矢量的恒等映射．
（2）度规张量的逆给出了一个 $(2,0)$ 型张量 $\eta^{\mu \nu}$ ，满足

$$
\eta^{\mu \nu} \eta_{\nu \rho}=\delta_\rho^\mu, \quad \eta_{\rho \nu} \eta^{\nu \mu}=\delta_\rho^\mu
$$

（3）列维－齐维塔＂张量＂（符号）．它是 $(0,4)$ 张量：

$$
\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma}= \begin{cases}1, & \text { 指标是 }(0,1,2,3) \text { 的偶置换, } \\ -1, & \text { 指标是 }(0,1,2,3) \text { 的奇置换, } \\ 0, & \text { 其他情形, }\end{cases}
$$
比如

$$
\varepsilon_{1032}=1, \quad \varepsilon_{3120}=-1 .
$$

张量 $\eta_{\mu \nu}, \eta^{\mu \nu}, \varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$ 与时空结构有关，在弯曲时空中都有相应的推广．
（4）电磁场强张量．
电磁场强张量可以通过电磁规范势给出：

$$
F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu
$$

其中 $A_\mu$ 是一个 $\mathrm{U}(1)$ 规范势，它的规范变换为

$$
A_\mu \rightarrow A_\mu-\partial_\mu \psi
$$

$\psi$ 是任意标量函数．易见在此规范变换下电磁场强张量是不变的，其分量为

$$
F_{\mu \nu}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\
E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\
E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\
E_3 & B_2 & -B_1 & 0
\end{array}\right) .
$$

显然，它是一个 $(0,2)$ 型张量，对下指标是反对称的：$F_{\mu \nu}=-F_{\nu \mu}$ ．

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