最后更新: 2025-11-18 11:24 查看: 45 次纠错评论(0) 课件开VIP

张量运算

2.4 张 量 运 算

利用张量作用在别的张量上可以定义各种各样的张量运算．为了简单起见，我们利用张量的分量形式进行讨论，尽管这些讨论可以利用更加形式化的定义．

首先，在张量上我们可以定义指标的缩并运算，即一个上指标和一个下指标间可以求和缩并：

$$
S^{\mu \rho}{ }_\sigma=T^{\mu \nu \rho}{ }_{\sigma \nu},
$$

这样的运算可以通过克罗内克 $\delta$ 函数来诱导．需要注意的是由于指标代表矢量空间，其顺序非常重要，有必要保持指标的相对顺序。一般而言，

$$
T^{\mu \nu \rho}{ }_{\sigma \nu} \neq T^{\mu \rho \nu}{ }_{\sigma \nu} .
$$

其次，我们可以利用度规张量 $\eta_{\mu \nu}$ 及其逆 $\eta^{\mu \nu}$ 来提升或者下降指标：

$$
T^{\alpha \beta \mu}{ }_\delta=\eta^{\mu \gamma} T^{\alpha \beta}{ }_{\gamma \delta}, \quad T_\mu{ }^\beta{ }_{\gamma \delta}=\eta_{\mu \alpha} T^{\alpha \beta}{ }_{\gamma \delta} .
$$

在升降指标和缩并时，需要注意以下几点：
（1）不要改变指标的顺序；
（2）不求和的指标保持顺序；
（3）求和指标必须在方程的同一侧；
（4）简单地，我们可以把一个矢量变成一个对偶矢量，反之亦然：

$$
v_\mu=\eta_{\mu \nu} v^\nu, \quad \omega^\mu=\eta^{\mu \nu} \omega_\nu .
$$

（5）在欧氏空间中，我们不必区分 $v_\mu$ 和 $v^\mu$ ，但在闵氏时空中，二者间会有差别：

$$
\omega_\mu=\left(\omega_0, \omega_1, \omega_2, \omega_3\right) \rightarrow \omega^\mu=\left(-\omega_0, \omega_1, \omega_2, \omega_3\right) .
$$

在弯曲时空中，二者的差别将更加明显．
利用度规场，我们可以把一个 1 形式场变成一个矢量场，从而把矢量间的标量积转化为 1 形式与矢量间的运算。而利用度规场的逆我们可以定义 1 形式场间的标量积。两个 1 形式场间的标量积可以定义为

$$
\widehat{\omega} \cdot \widehat{\eta}=g^{\mu \nu} \omega_\mu \eta_\nu .
$$

由此我们可以计算

$$
\|\widehat{\omega}\|^2 \equiv \widehat{\omega} \cdot \widehat{\omega} .
$$

如果这个值是正的，则称该 1 形式为类空的；如果是负的，则称该 1 形式为类时的；如果是零，则称该1形式为类光的或者零的。一个利用函数 $f=$ 常数定义的曲面，如果其法向 1 形式是类空的，则称这个曲面是类时的；如果其法向 1 形式是类时的，则称这个曲面是类空的；如果其法向 1 形式是类光的，则称这个曲面是类光的。通常如果曲面并非类光的，我们可以对法向 1 形式归一化，定义

$$
\widehat{n}=\frac{\mathrm{d} f}{\|\mathrm{~d} f\|} .
$$

相应地，我们可以定义一个法矢量，其分量为

$$
n^\mu=\eta^{\mu \nu} n_\nu .
$$

值得注意的是，在闵氏时空中如果曲面是类空的，法矢量与法向1形式间方向相反．比如说，对于 $t=$ 常数定义的曲面，法向1形式为

$$
n_\mu=(1,0,0,0),
$$

而法矢量为

$$
n^\mu=(-1,0,0,0) .
$$

这意味着原来向外的法向 1 形式变成了向内的法向矢量．由此可见，法向 1 形式更具有内禀的意义。

实际上，我们可以对张量在指标交换下的性质做进一步研究。我们可以只比较两个指标，如果在这两个指标交换下张量值不变，我们就说这个张量对这两个指标对称。譬如，如果 $S_{\mu \nu \rho}=S_{\nu \mu \rho}$ ，则称张量对前两个指标对称．如果更一般地，无论如何交换指标，张量的值不变，

$$
S_{\mu \nu \rho}=S_{\nu \mu \rho}=S_{\rho \mu \nu}=\cdots,
$$

则称这个张量为全对称张量．而如果张量在某两个指标交换时反号，譬如前两个指标，

$$
A_{\mu \nu \rho}=-A_{\nu \mu \rho},
$$

则称张量对前两个指标反对称．如果张量在任意指标对交换时都反号，则称张量为全反对称张量，或者斜对称（skew－symmetric）张量．显然，对于全反对称张量，如果交换指标的次数为偶数次，张量值不变，为奇数次，张量值反号．

例 2.3 度规张量是全对称张量，而列维一齐维塔张量和电磁场强张量是全反对称张量．
张量运算中可以把任一张量通过对称化或反对称化变成全对称张量或全反对称张量．对称化可以如下定义：

$$
T_{\left(\mu_1 \cdots \mu_n\right) \rho}{ }^\sigma=\frac{1}{n!}\left(T_{\mu_1 \cdots \mu_n \rho}{ }^\sigma+\text { 对所有的关于 } \mu_1, \cdots, \mu_n \text { 的置换求和 }\right) \text {. }
$$

这里我们实际上定义的是关于 $\mu_1, \cdots, \mu_n$ 的对称化．类似地，我们可以定义反对称化：

$$
T_{\left[\mu_1 \cdots \mu_n\right] \rho}{ }^\sigma=\frac{1}{n!}\left(T_{\mu_1 \cdots \mu_n \rho}{ }^\sigma+\text { 对所有 } \mu_1, \cdots, \mu_n \text { 的置换交错求和 }\right) \text {. }
$$

这里＂交错求和＂的含义是偶数次对换取原来的值，奇数次对换取原来值的相反数。同样上面的定义是对 $\mu_1, \cdots, \mu_n$ 求反对称化．通常对称化用圆括号表示，而反对称化用方括号表示。而诸如 $T_{(\mu|\nu| \rho)}$ 表示对指标 $\mu, \rho$ 全对称化，而指标 $\nu$ 不参与其中，但其顺序必须得到保持。

下面是与张量运算有关的几个特殊性质：
（1）$X^{(\mu \nu)} Y_{\mu \nu}=X^{(\mu \nu)} Y_{(\mu \nu)}$ ，无论 $Y$ 是否对称．这是显而易见的，二阶张量 $Y$ 总可分解成对称部分和反对称部分，反对称部分与对称张量 $X$ 的求和为零，只剩下对称部分．这个性质不能简单地推广到高阶张量．

（2）$T_{\mu \nu \rho \sigma}=T_{(\mu \nu) \rho \sigma}+T_{[\mu \nu] \rho \sigma}$ ，但一般没有 $T_{\mu \nu \rho \sigma}=T_{(\mu \nu \rho) \sigma}+T_{[\mu \nu \rho] \sigma}$ ．也就是说，只有两个指标时，可以简单地拆分，多个指标时不再成立。
（3）求迹．对一个 $(1,1)$ 型张量 $X^\mu{ }_\nu$ ，其迹是一个标量，定义为 $X=X^\mu{ }_\mu$ ．此时，可以把这个张量写成矩阵的形式，而求迹与矩阵求迹一样．
（4）对一个 $(2,0)$ 型或者 $(0,2)$ 型张量，迹不再是其对角项的求和．实际上我们应该首先把张量变成 $(1,1)$ 型，然后再求迹：

$$
Y=Y_\mu^\mu=\eta^{\mu \nu} Y_{\nu \mu} .
$$

注意

$$
\eta^{\nu \mu} \eta_{\mu \nu}=\delta_\mu^\mu=4,
$$

而非 $-1+1+1+1=2$ ．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：张量

下一篇：狭义相对论中的理想流体

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)