最后更新: 2025-11-18 11:24 查看: 16 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

张量运算

2.4 张 量 运 算

利用张量作用在别的张量上可以定义各种各样的张量运算．为了简单起见，我们利用张量的分量形式进行讨论，尽管这些讨论可以利用更加形式化的定义．

首先，在张量上我们可以定义指标的缩并运算，即一个上指标和一个下指标间可以求和缩并：

$$
S^{\mu \rho}{ }_\sigma=T^{\mu \nu \rho}{ }_{\sigma \nu},
$$

这样的运算可以通过克罗内克 $\delta$ 函数来诱导．需要注意的是由于指标代表矢量空间，其顺序非常重要，有必要保持指标的相对顺序。一般而言，

$$
T^{\mu \nu \rho}{ }_{\sigma \nu} \neq T^{\mu \rho \nu}{ }_{\sigma \nu} .
$$

其次，我们可以利用度规张量 $\eta_{\mu \nu}$ 及其逆 $\eta^{\mu \nu}$ 来提升或者下降指标：

$$
T^{\alpha \beta \mu}{ }_\delta=\eta^{\mu \gamma} T^{\alpha \beta}{ }_{\gamma \delta}, \quad T_\mu{ }^\beta{ }_{\gamma \delta}=\eta_{\mu \alpha} T^{\alpha \beta}{ }_{\gamma \delta} .
$$

在升降指标和缩并时，需要注意以下几点：
（1）不要改变指标的顺序；
（2）不求和的指标保持顺序；
（3）求和指标必须在方程的同一侧；
（4）简单地，我们可以把一个矢量变成一个对偶矢量，反之亦然：

$$
v_\mu=\eta_{\mu \nu} v^\nu, \quad \omega^\mu=\eta^{\mu \nu} \omega_\nu .
$$

（5）在欧氏空间中，我们不必区分 $v_\mu$ 和 $v^\mu$ ，但在闵氏时空中，二者间会有差别：

$$
\omega_\mu=\left(\omega_0, \omega_1, \omega_2, \omega_3\right) \rightarrow \omega^\mu=\left(-\omega_0, \omega_1, \omega_2, \omega_3\right) .
$$

在弯曲时空中，二者的差别将更加明显．
利用度规场，我们可以把一个 1 形式场变成一个矢量场，从而把矢量间的标量积转化为 1 形式与矢量间的运算。而利用度规场的逆我们

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