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狭义相对论中的理想流体

2.5 狭义相对论中的理想流体

作为张量分析的一个具体应用，我们在本节中讨论一下狭义相对论中的理想流体．在天体物理和宇宙学中，产生引力场的源可以非常好地用理想流体来近似，因此理想流体在研究宇宙的演化、恒星的塌缩等问题中都至关重要。

流体是一种特殊类型的连续介质．与通常的单粒子或多粒子质点力学不同，连续介质包含大量的粒子，它们的运动可能非常复杂。尽管我们没有能力追踪每一个粒子的运动，但可以采用取＂平均＂的办法来讨论系统的运动，包括单位体积内的粒子数、能量密度、动量、压强和温度等．这里＂平均＂的含义是我们首先要确定一个单元，这个单元中包含足够多的粒子，但粒子数目又不能太大，否则平均就没有意义了。此外这个单元需要足够局域，从而我们仍然可以讨论局域的压强和温度 $p(x), T(x)$ 等．对取 ＂平均＂具体细致的讨论参见文献［26］．

流体是一种会流动的连续介质．如果粒子间的空间间隔和粒子间碰撞的平均时间都小于我们感兴趣的长度和尺度，就可以看作流体。不严格地说，气体也可以归类为流体。考虑两个相邻的单元 $A$ 和 $B$ ，由于存在着相互作用和热运动，它们之间有压强存在。如果介质是刚性的，两个单元之间没有滑动。而如果单元间滑性很大，则为流体。一个理想流体指的是所有的黏滞力都为零．也就是说，流体的层之间可以任意滑动，没有任何刚性存在．
2．5．1 粒子数—通量 4－矢量
我们先考虑一个最简单的系统，这个系统由一些粒子集合而成，而粒子间的相互
 
作用可以忽略，从而在某参考系中系统中所有的粒子都保持静止．这样的粒子称为尘埃（dust），它们足够重，因此每一个粒子都可以看作独立的，它们之间的相互作用可忽略。假定每一个粒子的静止质量为 $m$ ，则在这些粒子的静止参考系中，每个单元的粒子数密度是

$$
n=N / V=N /(\Delta x \Delta y \Delta z) .
$$

单元中粒子数是一个不随参考系变化的量，但体积元不是．如果我们不是在静止参考系中，由于洛伦兹尺缩效应，单元的体积变为 $\Delta x \Delta y \Delta z \sqrt{1-v^2}$ 。因此，在一个所有粒子的运动速度都为 $v$ 的参考系中，粒子数密度是 $n / \sqrt{1-v^2}$ ．另一方面，如果粒子有速度，则会产生通量（flux）．穿过一个曲面的通量是单位时间穿过单位面积曲面的粒子数．如图 2.2 所示，在静止参考系中，所有粒子不动，通量为零，而在一个运动参考系中，比如说沿着 $x$ 轴运动，单位面积是
$$
\Delta A=\Delta y \Delta z
$$

单位时间穿过这个面积的粒子数为

$$
\frac{n}{\sqrt{1-v^2}} v \Delta t \Delta A,
$$

因此，沿 $x$ 轴的通量为

$$
(\text { 通量 })^x=\frac{n v}{\sqrt{1-v^2}} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2025-11/014fd5.jpg)
 
 即使粒子并非严格地沿 $x$ 轴运动，我们也有

$$
(\text { 通量 })^x=\frac{n v^x}{\sqrt{1-v^2}} \text {. }
$$

进一步地，我们可以定义一个粒子数－通量 4－矢量

$$
\widehat{N} \equiv n \widehat{u},
$$

其中 $\widehat{u}$ 是粒子的 4－速度．在一个速度为 $\boldsymbol{v}$ 的参考系中，4－速度的分量为

$$
u^\mu=\left(\gamma, \gamma v^x, \gamma v^y, \gamma v^z\right),
$$

所以

$$
N^\mu=\left(n \gamma, n \gamma v^x, n \gamma v^y, n \gamma v^z\right) .
$$
第一项正好是粒子数密度，而后面三项分别是沿不同坐标轴方向的通量．注意 $\widehat{N}$ 是一个与参考系无关的 4－矢量，其模长平方为

$$
\widehat{N} \cdot \widehat{N}=-n^2 .
$$

如果单元足够小，$\widehat{N}$ 可以看作一个局域的场 $\widehat{N}(x)$ ，与所处的位置相关．这个局域的 4－矢量场满足粒子数的守恒律

$$
\frac{\partial N}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{N}=0,
$$

即

$$
\frac{\partial N^\mu}{\partial x^\mu}=\partial_\mu N^\mu=0 .
$$

也就是说，在某个局域中粒子数随时间的变化等于这个局域中粒子通量的变化．
考虑多个粒子的运动．这些粒子可以不是尘埃，它们的运动并不要求是整齐划一的．这样我们可以得到

$$
N^\mu=\sum_a \int \mathrm{~d} \tau_a \frac{\mathrm{~d} x_a^\mu}{\mathrm{d} \tau_a} \delta^4\left(x^\lambda-x_a^\lambda\left(\tau_a\right)\right),
$$

其中 $a$ 代表不同的粒子，其世界线由 $x_a^\lambda$ 来表示．在单个粒子的共动参考系中，$N^\mu= \left(N^0, \mathbf{0}\right)$ ，而 $N^0=\delta^3(\boldsymbol{x})$ 说明粒子在共动参考系原点。由于

$$
\delta^3(\boldsymbol{x})=\int \mathrm{d} x^0 \delta\left(x^0-x^0(\tau)\right) \delta^3(\boldsymbol{x})
$$

$$
=\int \mathrm{d} \tau \frac{\mathrm{~d} x^0}{\mathrm{~d} \tau} \delta^4\left(x^\lambda-x^\lambda(\tau)\right)
$$

我们可以把它推广为矢量，得到

$$
N^\mu=\int \mathrm{d} \tau \frac{\mathrm{~d} x^\mu(\tau)}{\mathrm{d} \tau} \delta^4\left(x^\lambda-x^\lambda(\tau)\right)
$$

对多粒子的推广就顺理成章了．易证 $\partial_\mu N^\mu=0$ ．

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