最后更新: 2025-11-18 11:29 查看: 90 次纠错评论(0) 课件开VIP

能动张量

前面我们介绍了 1 形式可以看作分割空间的一系列曲面．利用 1 形式可以读出矢量和张量的不同分量。此时，矢量与 1 形式间的作用等价于矢量穿过定义 1 形式的曲面面元的多少。比如说对于 $\mathrm{d} x^\mu$ ，有

$$
\left\langle\mathrm{d} x^\mu, \widehat{V}\right\rangle=V^\mu .
$$

在三维中，曲面面元等于单位法矢量乘以面积元．类似地，四维时空中 3 －空间的体积元为 $\widehat{n} \Delta x^\alpha \Delta x^\beta \Delta x^\gamma$ 。穿过由标量函数 $\phi=$ 常数定义的曲面的通量为 $\langle\widehat{n}, \widehat{N}\rangle$ ，其中 $\widehat{n}$是曲面的归一化余法矢量．这里的记号应该理解为 $\widehat{n}(\widehat{N})$ ，因为 $\widehat{n}$ 是一个 1 形式，而 $\widehat{N}$是一个矢量，所以它们之间不是矢量的标量积，而是由泛函关系定义的．实际上，这里的作用正是我们前面提到的 1 形式的几何意义，它与矢量的作用是由矢量穿过曲面的多少决定的．通过合适的归一化，$\widehat{n}(\widehat{N})$ 给出的确实是穿过曲面的通量．比如，如果我们取 $\phi$ 为 $\{x=$ 常数 $\}$ ，则 $n_\mu=(0,1,0,0),\langle\mathrm{d} x, \widehat{N}\rangle=N^x$ 给出穿过 $\{x=$ 常数 $\}$ 曲面的通量。而如果我们取 $\phi=t=$ 常数，则 $n_\mu=(1,0,0,0)$ ，所以 $\langle\mathrm{d} t, \widehat{N}\rangle=N^0$ 给出粒子数密度 $N^0=N$ ．也就是说，粒子数密度可以理解为一个类时通量．

类似地，我们可以理解粒子的能量和动量为 $\langle\widehat{n}, \widehat{p}\rangle$ ．比如说，能量为 $E=\langle\mathrm{d} t, \widehat{p}\rangle= p^0$ ．换句话说，这里得到的能动量与曲面的选择有关．我们的讨论已经取定了坐标系，由此选定了各种曲面，这就是上面得到的能动量看起来与坐标系选择有关的原因．

下面我们重新考虑一下前面的尘埃系统。我们在静止参考系中考虑单位体积内的能量，即能量密度．在这个参考系中，粒子都是静止的，因此我们只有能量密度

$$
\rho=n m .
$$

如果在一个运动惯性系 $S$ 中，由洛伦兹变换 $n \rightarrow n \gamma, m \rightarrow m \gamma$ ，有

$$
\left.\rho\right|_S=\gamma^2 \rho
$$

由此可见，能量密度并非一个标量或者矢量，它在洛伦兹变换下的行为告诉我们，它是某个 $(2,0)$ 型张量的 $(0,0)$ 分量．这个 $(2,0)$ 型张量就是能量动量张量 ${ }^{(4)}$（energy－ momentum tensor），简称能动张量，它作用在两个 1 形式基矢的张量积上得到其不同分量：

$$
\widehat{T}\left(\mathrm{~d} x^\alpha, \mathrm{d} x^\beta\right)=T^{\alpha \beta}=\left\{4 \text {-动量的 } \alpha \text { 分量穿过曲面 } x^\beta=\text { 常数的通量 }\right\} \text {. }
$$

换句话说， $\mathrm{d} x^\alpha$ 挑出 4 －动量，而 $\mathrm{d} x^\beta$ 挑出通量．在某参考系中粒子的能量需要通过一个 1 形式 $\mathrm{d} t$ 读出 4 －动量的 0 分量，而粒子的数密度也需要一个 1 形式 $\mathrm{d} t$ 读出通量 4 －矢量的 0 分量，合起来我们就得到了能量密度．类似地，我们可以得到能动张量 $T^{\alpha \beta}$各个分量的物理意义：
（1）$T^{00}=\widehat{T}(\mathrm{~d} t, \mathrm{~d} t)$ 是能量密度．
（2）$T^{0 i}$ 是穿过 $x^i$ 面的能量通量．它来自热传导，即能量密度乘以它的流速．又因为 $m \boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}$ ，所以

$$
T^{i 0}=T^{0 i} .
$$

（3）$T^{i 0}$ 是穿过 $t=$ 常数面的第 $i$ 个动量的通量，即第 $i$ 个动量密度．
（4）$T^{i j}$ 是穿过 $x^j$ 面的第 $i$ 个动量的通量．它代表相邻流体单元间的力，称为应力（stress）．一般地，可以证明

$$
T^{i j}=T^{j i} .
$$

具体证明参见文献［3］．
（5）如果只存在垂直于相交面的力，则

$$
T^{i j}=0, \quad \text { 当 } i \neq j .
$$

（6）如果 $T^{i j} \neq 0(i \neq j)$ ，则存在黏滞性（viscosity）．
对于尘埃而言，如果取静止参考系，我们只有 $T^{00}=m n$ ，能动张量的其他分量都为零．我们可以用脱离参考系的语言给出尘埃的能动张量：

$$
\widehat{T}=\widehat{p} \otimes \widehat{N}=m n \widehat{u} \otimes \widehat{u},
$$

其分量为

$$
T^{\alpha \beta}=\widehat{T}\left(\mathrm{~d} x^\alpha, \mathrm{d} x^\beta\right)=\rho \widehat{u}\left(\mathrm{~d} x^\alpha\right) \widehat{u}\left(\mathrm{~d} x^\beta\right)=\rho u^\alpha u^\beta
$$

在一个运动参考系中，4－速度的具体形式易得，从而我们可以写下能动张量的具体形式．它明显是对称的，

$$
T^{\alpha \beta}=T^{\beta \alpha}
$$

能动张量的对称性不止对尘埃是正确的，一般的流体也有此性质．
对一个观测者而言，可以建立自己的实验室，即共动参考系，基矢为 $\left\{\widehat{e}_a\right\}$ 。观测者测到的流体的能量密度为

$$
T_{\mu \nu} u_{\mathrm{obs}}^\mu u_{\mathrm{obs}}^\nu
$$

而测得动量密度的第 $i$ 分量为 $-T_{\mu \nu} u^\mu\left(\widehat{e}_i\right)^\nu$ ，三维应力张量的 $(i j)$ 分量为 $T_{\mu \nu}\left(\widehat{e}_i\right)^\mu\left(\widehat{e}_j\right)^\nu$ ．观测到的 4 －动量密度为 $W^\mu \equiv-T^\mu{ }_\nu u^\nu$ 。

对于非尘埃的多粒子体系，有

$$
\begin{aligned}
T^{\mu \nu}(x) & =\sum_a \int \mathrm{~d} \tau_a \frac{\mathrm{~d} x_a^\mu}{\mathrm{d} \tau_a} p_a^\nu\left(\tau_a\right) \delta^4\left(x^\lambda-x_a^\lambda\left(\tau_a\right)\right) \\
& =\sum_a \int \mathrm{~d} \tau_a\left(m_a \frac{\mathrm{~d} x_a^\mu}{\mathrm{d} \tau_a} \frac{\mathrm{~d} x_a^\nu}{\mathrm{d} \tau_a}\right) \delta^4\left(x^\lambda-x_a^\lambda\left(\tau_a\right)\right)
\end{aligned}
$$

它实际上就是把所有粒子的能动张量求和而得．显然，它满足 $\partial_\mu T^{\mu \nu}=0$ ．考虑某个体积元，有

$$
\int_V \mathrm{~d}^3 x T^{0 \nu}(x)=\sum_{a \in V} \int \mathrm{~d} \tau_a \frac{\mathrm{~d} x_a^0}{\mathrm{~d} \tau_a} p_a^\nu\left(\tau_a\right) \delta\left(x^0-x_a^0\left(\tau_a\right)\right)=\sum_{a \in V} p_a^\nu=p_V^\nu(t)
$$

即 $t$ 时刻在体积 $V$ 中的总动量．因此 $T^{00}$ 是能量密度，而 $T^{0 i}$ 是动量密度．一般而言，由于粒子间存在相互作用，能量密度中不仅有粒子静止质量的贡献，也会包含相互作用势能．如果考虑上面的总动量相对于时间的变化

$$
\frac{\mathrm{d} p_V^\nu(t)}{\mathrm{d} t}=\int_V \mathrm{~d}^3 x \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} T^{0 \nu}(x)=-\int_V \mathrm{~d}^3 x \frac{\partial T^{i \nu}}{\partial x^i}=-\int_{\partial V} \mathrm{~d} S_i T^{i \nu}
$$

令 $\nu=j$ ，则有
$$
\frac{\mathrm{d} p_V^j(t)}{\mathrm{d} t}=-\int_{\partial V} \mathrm{~d} S_i T^{i j}
$$

即3－动量 $p^j$ 的时间变化率，也就是3－力，与 $T^{i j}$ 对面元 $\mathrm{d} S_i$ 的作用有关．可以认为 $T^{i j}$ 是每单位面积上的力，因此它表现为一个沿第 $j$ 个方向作用在面元上的压强．$T^{i j}$有两个指标，一个表示力的方向，另一个表示作用曲面的方向．易见 $T^{i j}=T^{j i}$ ．

利用积分等式

$$
\int \mathrm{d} \tau_a \delta\left(t-x_a^0\left(\tau_a\right)\right) f\left(\tau_a\right)=\left.\left(f\left(\tau_a\right)\left|\frac{\mathrm{d} x_a^0}{\mathrm{~d} \tau_a}\right|^{-1}\right)\right|_{x_a^0\left(\tau_a\right)=t}
$$

并考虑到世界线总是指向未来，有

$$
\frac{\mathrm{d} x_a^\mu}{\mathrm{d} \tau_a} / \frac{\mathrm{d} x_a^0}{\mathrm{~d} \tau_a}=\left(1, v_a^i\right)
$$

所以

$$
\begin{aligned}
N^0 & =\sum_a \delta^3\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_a\left(\tau_a\right)\right) \\
N^i & =\sum_a v_a^i \delta^3\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_a\left(\tau_a\right)\right)
\end{aligned}
$$
而能动张量为

$$
T^{\mu \nu}(x)=\sum_a \frac{p_a^\mu\left(\tau_a\right) p_a^\nu\left(\tau_a\right)}{E_a} \delta^3\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_a\left(\tau_a\right)\right) .
$$

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