最后更新: 2025-11-18 11:29 查看: 75 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

能动张量

前面我们介绍了 1 形式可以看作分割空间的一系列曲面．利用 1 形式可以读出矢量和张量的不同分量。此时，矢量与 1 形式间的作用等价于矢量穿过定义 1 形式的曲面面元的多少。比如说对于 $\mathrm{d} x^\mu$ ，有

$$
\left\langle\mathrm{d} x^\mu, \widehat{V}\right\rangle=V^\mu .
$$

在三维中，曲面面元等于单位法矢量乘以面积元．类似地，四维时空中 3 －空间的体积元为 $\widehat{n} \Delta x^\alpha \Delta x^\beta \Delta x^\gamma$ 。穿过由标量函数 $\phi=$ 常数定义的曲面的通量为 $\langle\widehat{n}, \widehat{N}\rangle$ ，其中 $\widehat{n}$是曲面的归一化余法矢量．这里的记号应该理解为 $\widehat{n}(\widehat{N})$ ，因为 $\widehat{n}$ 是一个 1 形式，而 $\widehat{N}$是一个矢量，所以它们之间不是矢量的标量积，而是由泛函关系定义的．实际上，这里的作用正是我们前面提到的 1 形式的几何意义，它与矢量的作用是由矢量穿过曲面的多少决定的．通过合适的归一化，$\widehat{n}(\widehat{N})$ 给出的确实是穿过曲面的通量．比如，如果我们取 $\phi$ 为 $\{x=$ 常数 $\}$ ，则 $n_\mu=(0,1,0,0),\langle\mathrm{d} x, \widehat{N}\rangle=N^x$ 给出穿过 $\{x=$ 常数 $\}$ 曲面的通量。而如果我们取 $\phi=t=$ 常数，则 $n_\mu=(1,0,0,0)$ ，所以 $\langle\mathrm{d} t, \widehat{N}\rangle=N^0$ 给出粒子数密度 $N^0=N$ ．也就是说，粒子数密度可以理解为一个类时通量．

类似地，我们可以理解粒子的能量和动量为 $\langle\widehat{n}, \widehat{p}\rangle$ ．比如说，能量为 $E=\langle\mathrm{d} t, \widehat{p}\rangle= p^0$ ．换句话说，这里得到的能动量与曲面的选择有关．我们的讨论已经取定了坐标系，由此选定了各种曲面，这就是上面得到的能动量看起来与坐标系选择有关的原因．

下面我们重新考虑一下前面的尘埃系统。我们在静止参考系中考虑单位体积内的能量，即能量密度．在这个参考系中，粒子都是静止的，因此我们只有能量密度

$$
\rho=n m .
$$

如果在一个运动惯性系 $S$ 中，由洛伦兹变换 $n \rightarrow n \gamma, m \rightarrow m \gamma$ ，有

$$
\left.\rho\right|_S=\gamma^2 \rho
$$

由此可见，能量密度并非一个标量或者矢量，它在洛伦兹变换下的行为告诉我们，它是某个 $(2,0)$ 型张量的 $(0,0)$ 分量．这个 $(2,0)$ 型张量就是能量动量张量 ${ }^{(4)}$（energy－ momentum tensor），简称能动张量，它作用在两个 1 形式基矢的张量积上得到其不同分量：

$$
\widehat{T}\left(\mathrm{~d} x^\alpha, \mathrm{d} x^\beta\right)=T^{\alpha \beta}=\left\{4 \text {-动量的 } \alpha \text { 分量穿过曲面 } x^\beta=\text { 常数的通量 }\right\} \text {

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