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理想流体

2．5．3 理想流体
前面介绍的尘埃是一种非常特殊的流体，我们忽略了粒子间的相互作用和随机热运动。对于实际的流体而言，除了流体单元的整体运动外，每个粒子都有随机热运动，有自己的速度。此外，粒子之间也存在着相互作用，贡献势能。这些效应如何在能动张量中体现呢？我们需要在没有整体运动的静止参考系中考虑问题。注意这里的静止参考系是相对于流体单元而言，要求其中的总空间动量为零。它是流体单元的共动参考系．两个不同的流体单元可能有相互运动，因此这个参考系只是对单独的流体单元定义的．所有与一个流体单元相关的量，如数密度、能量密度、温度等，都定义为它们在流体单元静止参考系中的值。如果我们只考虑包含一种成分（或者说一种粒子）的流体，而不考虑有互相渗透的多分量流体，则该流体的能动张量中：
（1）$T^{00}$ 是总能量密度，包含势能和动能；
（2）$T^{0 i}$ 是热传导传播的能量，所以基本上是一个热传导项；
（3）$T^{i 0}$ ，如果存在热传导，能量也会包含动量的贡献；
（4）$T^{i j}$ ，粒子的随机热运动给出动量流，所以 $T^{i i}$ 是沿第 $i$ 个方向的各向同性压强，而 $T^{i j}(i \neq j)$ 是流体的剪切黏滞．

理想流体是一种在静止参考系中没有黏滞性和热传导的流体，可以看作理想气体的流体推广。由于没有热传导，所以 $T^{0 i}=T^{i 0}=0$ 。没有黏滞性意味着 $T^{i j}=0$ ，除非 $i=j$ ．因此理想流体只有对角项，这在所有的参考系中都必须如此，因此

$$
T^{i j}=p \delta^{i j}
$$

当然，这个条件可以很容易地理解为没有热传导和黏滞性时，流体在各个空间方向应该是各向同性的，也就是说如果流体在静止参考系看来是各向同性的，则它就是理想流体。所以，在静止参考系中理想流体能动张量的分量为

$$
\begin{aligned}
T^{\alpha \beta} & =\left(\begin{array}{cccc}
\rho & 0 & 0 & 0 \\
0 & p & 0 & 0 \\
0 & 0 & p & 0 \\
0 & 0 & 0 & p
\end{array}\right) \\
& =(\rho+p) u^\alpha u^\beta+p \eta^{\alpha \beta} .
\end{aligned}
$$

利用张量的语言，能动张量可以写作

$$
\widehat{T}=(\rho+p) \widehat{u} \otimes \widehat{u}+p \widehat{g}
$$

在最后一项中，我们已经引入了一般的度规张量．在闵氏时空中，$\widehat{g}=\widehat{\eta}$ ．显然，$\widehat{T}$ 是一个 $(2,0)$ 型张量．注意，在一个运动参考系看来，

$$
T^{00}=(\rho+p)\left(u^0\right)^2-p=\frac{\rho+\boldsymbol{v}^2 p}{1-\boldsymbol{v}^2},
$$

即压强也出现在能量密度中．
如果 $p=0$ ，则理想流体是无压强的，这正对应着尘埃．理想流体没有压强，说明其中的粒子没有随机运动，如果粒子有随机速度，将会导致压强的产生．在牛顿引力中，

$$
\nabla^2 \Phi=4 \pi G \rho
$$

其中 $\rho$ 是质量密度。由狭义相对论，$\rho$ 应该替换成各种形式的能量。由上面对能动张量的讨论，$\rho$ 只是能动张量中的一个分量，$\rho \rightarrow T^{00}$ ．这暗示着在引力的相对论性理论中， $\rho \rightarrow \widehat{T}$ ．我们在爱因斯坦的广义相对论中将看到确实如此．这同时也说明压强在广义相对论中可能有很重要的用途．

在理想流体的能动张量中，有两个看似独立的量一一能量密度和压强．实际上这两个量并非独立．对于不同的理想流体，它们之间有不同的联系．通常，我们可以引入所谓的物态方程

$$
p=p(\rho)
$$

来刻画流体的性质．下面是一些在宇宙学中经常碰到的理想流体：
（1）尘埃，$p=0$ ．
（2）辐射，$p=\frac{1}{3} \rho$ ．无质量的电磁辐射在宇宙学中有着重要的物理意义，由于压强非零，辐射主导的阶段宇宙演化有其特点。
（3）真空能，也就是常说的宇宙学常数，

$$
p=-\rho
$$

因此，也常称它具有负压强．其能动张量为

$$
T^{\mu \nu}=-\rho_{\mathrm{vac}} \eta^{\mu \nu}
$$

这种特别的理想流体在宇宙演化的晚期发挥着支配性的作用．

我们可以从前面对多粒子系统取平均来讨论两种特别的理想流体．由于理想流体在其静止参考系中没有特定的方向，因此粒子的 3 －动量可以指向所有可能的方向，而它们在流体单元的和为零。我们对所有的方向取平均，可得

$$
\left\langle p_a^0 p_a^i\right\rangle_{\text {方向 }}=0,
$$

所以有 $T^{0 i}=0$ ．而由

$$
\frac{1}{4 \pi} \int \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \varphi \sin \theta p^i p^j=\frac{1}{3} \boldsymbol{p}^2 \delta^{i j},
$$

得到

$$
<p_a^i p_a^j>_{\text {方向 }}=\frac{1}{3} \boldsymbol{p}_a^2\left(\tau_a\right) \delta^{i j} .
$$

由此我们得到流体单元中的能量密度和压强：

$$
\begin{aligned}
\rho & =\left\langle\sum_a E_a\left(\tau_a\right) \boldsymbol{\delta}^3\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_a\left(\tau_a\right)\right)\right\rangle_{\text {㴹子平均 }}, \\
p & =\left\langle\sum_a \frac{\boldsymbol{p}_a^2\left(\tau_a\right)}{3 E_a\left(\tau_a\right)} \boldsymbol{\delta}^3\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_a\left(\tau_a\right)\right)\right\rangle_{\text {校子平均 }} .
\end{aligned}
$$
因为对于每个粒子而言 $E_a^2=m^2+\boldsymbol{p}_a^2 \geqslant \boldsymbol{p}_a^2$ ，所以总有

$$
\rho \geqslant 3 p \geqslant 0 .
$$

对于非相对论性的粒子，$E=m+\frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}+\cdots$ ，我们发现

$$
\rho=n\left(m+\frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T\right)
$$

这里 $k_{\mathrm{B}}$ 是玻尔兹曼（Boltzmann）常数，$T$ 是流体的温度．由于

$$
\left\langle\frac{\boldsymbol{p}_a^2\left(\tau_a\right)}{3 E_a\left(\tau_a\right)}\right\rangle \approx \frac{\boldsymbol{p}^2}{3 m}=k_{\mathrm{B}} T
$$

我们得到了理想气体的状态方程 $p=n k_{\mathrm{B}} T$ 或者 $p V=N k_{\mathrm{B}} T$ ，也就是说理想流体可以看作理想气体的一种推广。如果我们忽略粒子间的相互作用而只考虑粒子的随机运动，就得到了理想气体的状态方程．

对于极端相对论性的气体，$E=|\boldsymbol{p}|+\cdots$ ，所以 $\rho \approx 3 p$ ．特别地，对于光子气体，有

$$
p=\frac{1}{3} \rho
$$

这正是辐射满足的状态方程．此时，能动张量的迹 $\eta_{\mu \nu} T^{\mu \nu}=0$ ，这与 4 维中电磁场能动张量无迹一致．

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