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能动量守恒

2．5．4 能动量守恒
在狭义相对论中，能动量守恒方程为

$$
\partial_\mu T^{\mu \nu}=0 .
$$

这个方程对一个指标求和，剩下的一个指标表明这个方程实际上包含四个方程。对于 $\nu=0$ ，这个方程给出能量守恒．而对于 $\nu=k \neq 0$ ，这个方程给出

$$
\partial_\mu T^{\mu k}=0 .
$$

为了简化讨论，我们只考虑理想流体的情形。此时

$$
\begin{aligned}
\partial_\mu T^{\mu \nu} & =\partial_\mu\left[(\rho+p) u^\mu u^\nu+p \eta^{\mu \nu}\right] \\
& =\partial_\mu(\rho+p) u^\mu u^\nu+(\rho+p) \partial_\mu\left(u^\mu u^\nu\right)+\partial_\mu p \eta^{\mu \nu}
\end{aligned}
$$

对这个矢量方程，我们可以先考虑其与 4－速度平行的部分：

$$
u_\nu \partial_\mu T^{\mu \nu}=-\partial_\mu\left(\rho u^\mu\right)-p \partial_\mu u^\mu .
$$

这里我们用到了
$$
\begin{gathered}
-\partial_\mu(\rho+p) u^\mu-(\rho+p) \partial_\mu u^\mu+\partial_\mu p u^\mu \\
=-\partial_\mu \rho u^\mu-\rho \partial_\mu u^\mu-p \partial_\mu u^\mu
\end{gathered}
$$

以及 $u_\nu \partial_\mu u^\nu=\frac{1}{2} \partial_\mu\left(u_\nu u^\nu\right)=0$ ．（2．116）式实际上是能量守恒律的相对论性推广：

$$
\partial_\mu\left(\rho u^\mu\right)+p \partial_\mu u^\mu=0 .
$$

在非相对论极限下，

$$
u^\mu=\left(1, v^i\right), \quad v^i \ll 1, p \ll \rho
$$

其中关系 $p \ll \rho$ 是因为压强来自随机运动，由于 $v^i \ll 1, p$ 非常小．在此极限下，方程 （2．117）变为

$$
\partial_t \rho+\nabla \cdot(\rho \boldsymbol{v})=0,
$$

这正是能量密度的连续性方程，即能量守恒律．

接下来我们考虑能动量守恒方程在垂直于 4－速度方向上的投影。为此，定义一个投影算子

$$
P_\nu^\sigma=\delta_\nu^\sigma+u^\sigma u_\nu,
$$

它作用在平行于 4－速度方向的矢量上为零，而作用在垂直于 4－速度方向的矢量上则保持这个矢量，即

$$
P_\nu^\sigma V_{\|}^\nu=V_{\|}^\sigma+u^\sigma u_\nu V_{\|}^\nu=0, \quad P_\nu^\sigma W_{\perp}^\nu=W_{\perp}^\sigma .
$$

因此，这个投影算子作用到能动量守恒方程时给出

$$
P_\nu^\sigma \partial_\mu T^{\mu \nu}=(\rho+p) u^\mu \partial_\mu u^\sigma+\partial^\sigma p+u^\sigma u^\mu \partial_\mu p .
$$

在静止坐标系中，$\sigma=0$ 时方程是自动满足的，只有 $\sigma=i$ 时是非平凡的．由于 $u^i=0$ ，有

$$
0=(\rho+p) u^\mu \partial_\mu u_i+\partial_i p=(\rho+p) a_i+\partial_i p,
$$

其中用到了

$$
a_\sigma=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \tau} u_\sigma=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau} \frac{\partial}{\partial x^\mu} u_\sigma=u^\mu \partial_\mu u_\sigma .
$$

方程（2．122）的物理意义并不容易看清楚．为了了解其物理意义，我们可以把它与其非相对论极限下的方程比较．在取非相对论极限时，我们只保留一阶项．$\sigma=0$ 的部分是平庸的，而 $\sigma \neq 0$ 的部分给出

$$
\rho\left[\partial_t \boldsymbol{v}+(\boldsymbol{v} \cdot \nabla) \boldsymbol{v}\right]=-\nabla p
$$

这正是流体力学中的欧拉方程．它可以写成另一种形式

$$
\rho \boldsymbol{a}+\nabla p=0 .
$$

相对论性的方程只不过是把 $\rho$ 换成 $\rho+p$ ．也就是说，在相对论情形，压强可能有重要的应用。实际上，在相对论中 $\rho+p$ 的作用类似于惯性质量密度，因为方程（2．122）基本上就是 $\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}$ 。

在结束本节之前，我们简单介绍一下能动张量在广义相对论中的重要性．在牛顿引力中，只有 $\rho \sim m$ 出现在泊松（Poisson）方程中。而相对论性地，静止质量和能量是可换的。因此，所有能量 $T^{00}$ 都应该成为引力场的源。为了建立一个好的理论，能动张量的所有分量都应该出现在理论中．爱因斯坦猜测引力的源就是能动张量 $\widehat{T}$ ．
我们强调一下压强 $p$ 在广义相对论中的重要意义．首先，它是引力场的源；其次，考虑一个致密恒星，如中子星，强引力场要求恒星内部存在一个大的压强梯度来平衡引力以保持恒星的稳定性；再次，方程（2．122）告诉我们，与牛顿引力相比，在相对论中需要更大的压强梯度来保持稳定性；最后，在后面的讨论中我们将看到，压强在宇宙学中有着重要的作用．

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