最后更新: 2025-06-13 08:53 查看: 128 次纠错评论(0) 课件开VIP

四维动量与四维动量守恒

## 四维动量
四维动量 $\vec{p}$ 定义为

$$
\vec{p}=m \vec{U},
$$

其中 $m$ 是粒子的静止质量（rest mass，简称静质量），也就是在粒子静止的坐标系中测得的粒子质量。四动量在任一惯性系 $O$ 中的分量记作

$$
\vec{p} \underset{ O }{\longrightarrow}\left(E, p^1, p^2, p^3\right) .
$$

分量 $p^0$ 记作 $E$ ，称为粒子在坐标系 $O$ 中的能量（energy）。其余分量称为四动量的空间分量 $p^i$ 。

例子

静质量为 $m$ 的粒子在坐标系 $O$ 中沿 $x$ 轴方向运动，速度为 $v$ ，粒子四速、四动量在 $O$ 系的分量是什么？粒子在其中静止的坐标系记作 $\overline{ O }$ ，该系的时间基向量为 $\vec{e}_{\overline{0}}$ 。根据四速与四动量的定义有

$$
\begin{aligned}
\vec{U} & =\vec{e}_{\overline{0}}, & \vec{p} & =m \vec{U}, \\
U^\alpha & =\Lambda^\alpha{ }_{\bar{\beta}}\left(\vec{e}_{\overline{0}}\right)^{\bar{\beta}}=\Lambda^\alpha{ }_{\overline{0}}, & p^\alpha & =m \Lambda^\alpha{ }_{\overline{0}}
\end{aligned}
$$

由此可得

$$
\begin{array}{ll}
U^0=\left(1-v^2\right)^{-1 / 2}, & p^0=m\left(1-v^2\right)^{-1 / 2}, \\
U^1=v\left(1-v^2\right)^{-1 / 2}, & p^1=m v\left(1-v^2\right)^{-1 / 2}, \\
U^2=0, & p^2=0, \\
U^3=0, & p^3=0 .
\end{array}
$$

对于很小的 $v, \vec{U}$ 的空间分量近似为 $(v, 0,0), \vec{p}$ 的空间分量为 $(m v, 0,0)$ ，从这就能看出它们的名字——四维速度、四维动量——的合理性。还是对于很小的 $v$ ，能量近似为：

$$
E:=p^0=m\left(1-v^2\right)^{-1 / 2} \approx m+\frac{1}{2} m v^2
$$

它等于静质能（rest－mass energy）与（伽利略形式的）动能之和。

## 四维动量守恒
伽利略力学中，粒子的碰撞过程遵从能量、动量守恒定律。因为 $\vec{p}$ 的分量在非相对论极限下退化为伽利略形式的能量、动量，因此很自然地假设在相对论情形下，四维向量 $\vec{p}$ 也守恒。也就是说，几个粒子发生相互作用，粒子的总动量：

$$
\vec{p}:=\sum_{\text {所有粒子, 编号为 }(i)} \vec{p}_{(i)} \text {, }
$$

在碰撞过程的前后不变。（ $\vec{p}_{(i)}$ 是第 $i$ 个粒子的动量）
四维动量守恒定律实际上是个额外假设，因为我们只知道它的非相对论极限是正确的。不过就像 SR 的两条基本假设那样，四动量守恒经历了丰富的实验验证。至少它预言了能量守恒定律必须包括静质能：静质量可以减小、相应的能量可以转化为动能从而化为热能。这个预言每天都在被核电站所验证。

上面四动量守恒的陈述中掩藏了很重要的一点：一次碰撞＂之前＂与＂之后＂的含义是什么？假设不同的粒子发生了两次碰撞，这两个事件的间隔是类空的，如下图。要将同一时刻的四动量相加，应该沿着等 $t$ 时刻还是等 $\bar{t}$ 时刻？如图2．3所示， $O$ 系的测量结果为：事件 $A$ 发生在 $t=0$ 之前，事件 $B$ 在之后，因此 $t=0$ 时刻的总动量等于 $A$ 之后加上 $B$ 之前的动量。而在 $\overline{ O }$ 系中，事件 $A , B$ 同时发生于时刻 $\bar{t}=0$ 之前，因此 $\bar{t}=0$ 时刻的总动量等于事件 $A , B$ 之后的动量之和。甚至还可以找到一个坐标系，在其中事件 $B$ 比 $A$ 发生的更早，and the adding－up may be the reverse of $O$＇s．这实际上没问题。既然每个碰撞过程都服从动量守恒，那么事件 $A$ 之后与之前的动量和相等，事件 $B$ 也一样。因此每个惯性观者都得到相同的总的四动量 $\vec{p}$ 。（它的分量随坐标系的不同而不同，但是它是同一个向量。）有一点很重要：任意观者可以定义他自己的等时线（这实际上是等时的三维空间，称之为四维时空中等时的超平面），把那个时刻的所有动量相加，得到的向量与其他任何观者的结果都相同。理解这一点十分重要，因为这种守恒律会在之后再次出现。

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