最后更新: 2025-11-20 15:47 查看: 34 次纠错评论(0) 课件开VIP

麦克斯韦方程

2.6 电动力学的协变形式

麦克斯韦理论统一描述了电和磁现象，也激发了爱因斯坦的灵感，使他发展出狭义相对论。而狭义相对论的建立又促使人们重新理解电磁现象。利用四维张量能够以协变的方式重新表述麦克斯韦方程组，这是很有启发性的，方便我们讨论各种电动力学中的问题．限于篇幅，我们在此仅做简单的讨论．相关的系统分析参见文献［27］．

2．6．1 麦克斯韦方程
在 19 世纪中叶，麦克斯韦发现电磁现象可以统一地利用一组方程来描述．如果忽略介质的极化和磁化，这组方程的形式为

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \boldsymbol{B}-\partial_t \boldsymbol{E} & =4 \pi \boldsymbol{J} \\
\nabla \cdot \boldsymbol{E} & =4 \pi \rho \\
\nabla \times \boldsymbol{E}+\partial_t \boldsymbol{B} & =\mathbf{0} \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} & =0
\end{aligned}
$$

麦克斯韦理论实际上是爱因斯坦提出狭义相对论的源泉．在真空中这组方程变为 ${ }^{(5)}$

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \boldsymbol{E} & =0, \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} & =0, \\
\nabla \times \boldsymbol{E} & =-\partial_t \boldsymbol{B}, \\
\nabla \times \boldsymbol{B} & =\mu_0 \epsilon_0 \partial_t \boldsymbol{E} .
\end{aligned}
$$

由此可得电磁波动方程

$$
\begin{aligned}
\nabla^2 \boldsymbol{E} & =\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}, \\
\nabla^2 \boldsymbol{B} & =\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2} .
\end{aligned}
$$

也就是说电场和磁场都是以光速 $c^2=1 /\left(\mu_0 \epsilon_0\right)$ 传播．麦克斯韦理论的一个惊人结论是可见光本身就是一种电磁波，光速由电磁理论中两个常数 $\mu_0, \epsilon_0$ 确定．麦克斯韦理论
不仅统一了电和磁，也统一了光学与电磁学．然而，如果麦克斯韦理论是正确的，它与伽利略变换是不相容的。在伽利略变换下，

$$
\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{v} t, \quad t^{\prime}=t,
$$

如果一个场 $\Psi$ 在参考系 $\left(t^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$ 中满足波动方程

$$
\left(\sum_i \frac{\partial^2}{\partial x_i^{\prime 2}}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}}\right) \Psi=0
$$

则在参考系 $(t, \boldsymbol{x})$ 中，其运动方程为

$$
\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{2}{c^2} \boldsymbol{v} \cdot \nabla \frac{\partial}{\partial t}-\frac{1}{c^2} \boldsymbol{v} \cdot \nabla \boldsymbol{v} \cdot \nabla\right) \Psi=0
$$

所以波动方程的形式在伽利略变换下并非不变的，而且也不存在 $\Psi$ 的运动学重定义让方程变成标准的波动方程形式．这与非相对论的薛定谔（Schrödinger）方程不同，在薛定谔方程中可以通过重新定义波函数使方程在伽利略变换下不变，而且波函数的重新定义只是多了一个相位．
一个明显的问题是电磁波在不同的参考系下是否都以相同的速度传播．如果不是，那么两个常数如何变化？真空的意义是什么？爱因斯坦认为光的传播在所有的参考系中都应该是一样的，这是狭义相对论的重要假定之一。也就是说麦克斯韦方程组应该在洛伦兹变换下保持不变，电磁波的传播方程也应该保持不变。为看清楚这一点，我们利用分量的形式，把上面的方程变成

$$
\begin{aligned}
\varepsilon^{i j k} \partial_j B_k-\partial_0 E^i & =4 \pi J^i, \\
\partial_i E^i & =4 \pi J^0, \\
\varepsilon^{i j k} \partial_j E_k+\partial_0 B^i & =0, \\
\partial_i B^i & =0 .
\end{aligned}
$$

我们可以把 $J^0=\rho$ 和 $J^i$ 合写成流4－矢量 $J^\mu$ 。把电磁场用电磁场强来表示，$F^{0 i}= E^i, F^{i j}=\varepsilon^{i j k} B_k$ ，前两个方程就可写作

$$
\begin{aligned}
\partial_j F^{i j}-\partial_0 F^{0 i} & =4 \pi J^i, \\
\partial_i F^{0 i} & =4 \pi J^0 .
\end{aligned}
$$

更紧凑地，利用 4－矢量和张量把这两个方程写成

$$
\partial_\mu F^{\nu \mu}=4 \pi J^\nu .
$$

而后两个方程可写作

$$
\partial_{[\mu} F_{\nu \lambda]}=0 .
$$

显然，方程（2．134）和（2．135）都取协变的形式，在所有的惯性系中都相同。
实际上，我们可以引进电磁规范势来简化上面的讨论．电磁规范势 $\widehat{A}$ 是一个 1 形式场，

$$
\widehat{A}=A_\mu \mathrm{d} x^\mu
$$

而（2．135）式意味着电磁场强张量可以表达为

$$
F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu
$$

也就是说，电磁场强可以通过电磁规范势来定义．用场论的观点，$\widehat{A}$ 是一个阿贝尔 $\mathrm{U}(1)$规范势，存在规范对称性．易见，如果我们做规范变换

$$
A_\mu \rightarrow A_\mu+\partial_\mu \psi,
$$

场强张量是不变的．也就是说，存在规范选择的自由度，我们可以通过选择 $\psi$ 取不同的规范．比如说，我们可以取 $A_0=0$ ，即所谓的静态规范．一个经常使用的规范是所谓的洛伦茨（Lorenz）规范 ${ }^{(6)}$

$$
\partial^\mu A_\mu=0
$$

值得注意的是，尽管规范势在选择上有任意性，它却是比电磁场强更基本的物理量，在量子力学和量子场论中有更基本的作用．这一点已经通过阿哈罗诺夫－玻姆（Aharonov－ Bohm）效应（简称 AB 效应）得到了实验验证。

上面出现的流密度 4－矢量类似于讨论能动张量时尘埃的数密度 4－矢量．我们现在关心的是电荷密度而不是粒子数密度，因此这个流密度 4－矢量可以写作

$$
\widehat{J}=\rho_0(x) \widehat{u},
$$

其中 $\rho_0(x)$ 是流体的固有电荷密度，满足 $\widehat{J} \cdot \widehat{J}=-\rho_0^2$ ．如在参考系 $S$ 中看来，带电粒子以速度 $v$ 运动，则流密度 4－矢量的分量为

$$
J^\mu=\rho_0 \gamma_v\left(1, v^i\right) .
$$

由于电磁场强张量是反对称的，有

$$
\partial_\nu \partial_\mu F^{\nu \mu}=0
$$

从而得到

$$
\partial_\nu J^\nu=0 .
$$

这正是关于源的连续性方程，即局部地看电荷的变化与电流密切相关，也就是说电荷是守恒的．方程（2．143）即电荷守恒方程，其分量形式为

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot J^i=0
$$

电荷守恒可以认为是粒子数守恒的一个结果．这里的流 4 －矢量中，电荷密度

$$
\rho(x)=q n(x),
$$

其中 $q$ 是粒子电荷，$n(x)$ 是粒子数密度，而电流密度定义为

$$
\boldsymbol{J}(x)=q n(x) \boldsymbol{v}(x),
$$

其中 $\boldsymbol{v}(x)$ 是粒子的速度．在能动张量的讨论中我们定义了粒子数 4 －矢量 $\widehat{N}$ ，电荷流 4－矢量其实就是 $\widehat{J}=q \widehat{N}$ ，因此电荷守恒就是粒子数守恒．

麦克斯韦理论在不同的参考系下都取相同的形式．方程（2．134）和（2．135）都是张量形式，所以在洛伦兹变换下是协变的，方程的形式不变。此外，我们知道 $F^{\mu \nu}$ 是一个二阶反对称张量，而电场和磁场只是其分量．在洛伦兹变换下电场和磁场都不是简单地按照矢量来变换，而应该利用 $F^{\mu \nu}$ 来得到它们的变换规律．也就是说，我们需要从变换关系

$$
F^{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}=\Lambda_\mu^{\mu^{\prime}} \Lambda_\nu^{\nu^{\prime}} F^{\mu \nu}
$$

中得到电场、磁场的变换关系。而且从这些变换中可以看到，电和磁并非独立的，它们可以互相转换，在一个参考系中的电现象，在另一个参考系中可能变成磁现象．这一点在爱因斯坦建立狭义相对论之前并没有一个透彻的理解。

我们先考虑一个匀速运动带电粒子的电磁场。假设在参考系 $S$ 中带电粒子沿 $x$方向以速度 $v$ 运动．在这个粒子的共动参考系 $S^{\prime}$ 中，只有静电场存在，即

$$
\boldsymbol{E}^{\prime}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^{\prime 3}} \boldsymbol{r}^{\prime}, \quad \boldsymbol{B}^{\prime}=\mathbf{0} .
$$

静电场是完全沿径向、各向同性分布的．而在参考系 $S$ 中，通过洛伦兹变换，我们知道

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{B} & =\frac{1}{c} \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{E}, \\
\boldsymbol{E} & =\frac{q \boldsymbol{r}}{4 \pi \epsilon_0 \gamma^2 r^3\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^2 \sin ^2 \theta\right)^{3 / 2}}
\end{aligned}
$$

其中 $\boldsymbol{v}=(v, 0,0), \gamma$ 是相应的洛伦兹因子，而 $\theta$ 是与 $x$ 轴的夹角．在参考系 $S$ 中，不仅存在磁场，电场也不再是均匀各向同性的．当 $\theta=\pi / 2$ 时，电场最强，$E_{\max }=\gamma q /\left(4 \pi \epsilon_0 r^2\right)$ ，而当 $\theta=0$ 时，电场最弱，$E_{\min }=q /\left(4 \pi \epsilon_0 \gamma^2 r^2\right)$ ．我们可以画出电场线的图，如图 2.3 所示．由于场强正比于单位面积上的场线数目，而高斯（Gauss）定理告诉我们电场线与粒子的运动无关，运动将导致场线的分布发生变化．从图2．3中可以看到，由于洛伦兹尺缩效应，在 $x$ 方向上发生了压缩．

![图片](/uploads/2025-11/657bf0.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：四维动量与四维动量守恒

下一篇：电磁辐射

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)