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麦克斯韦方程

2.6 电动力学的协变形式

麦克斯韦理论统一描述了电和磁现象，也激发了爱因斯坦的灵感，使他发展出狭义相对论。而狭义相对论的建立又促使人们重新理解电磁现象。利用四维张量能够以协变的方式重新表述麦克斯韦方程组，这是很有启发性的，方便我们讨论各种电动力学中的问题．限于篇幅，我们在此仅做简单的讨论．相关的系统分析参见文献［27］．

2．6．1 麦克斯韦方程
在 19 世纪中叶，麦克斯韦发现电磁现象可以统一地利用一组方程来描述．如果忽略介质的极化和磁化，这组方程的形式为

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \boldsymbol{B}-\partial_t \boldsymbol{E} & =4 \pi \boldsymbol{J} \\
\nabla \cdot \boldsymbol{E} & =4 \pi \rho \\
\nabla \times \boldsymbol{E}+\partial_t \boldsymbol{B} & =\mathbf{0} \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} & =0
\end{aligned}
$$

麦克斯韦理论实际上是爱因斯坦提出狭义相对论的源泉．在真空中这组方程变为 ${ }^{(5)}$

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \boldsymbol{E} & =0, \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} & =0, \\
\nabla \times \boldsymbol{E} & =-\partial_t \boldsymbol{B}, \\
\nabla \times \boldsymbol{B} & =\mu_0 \epsilon_0 \partial_t \boldsymbol{E} .
\end{aligned}
$$

由此可得电磁波动方程

$$
\begin{aligned}
\nabla^2 \boldsymbol{E} & =\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}, \\
\nabla^2 \boldsymbol{B} & =\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2} .
\end{aligned}
$$

也就是说电场和磁场都是以光速 $c^2=1 /\left(\mu_0 \epsilon_0\right)$ 传播．麦克斯韦理论的一个惊人结论是可见光本身就是一种电磁波，光速由电磁理论中两个常数 $\mu_0, \epsilon_0$ 确定．麦克斯韦理论
不仅统一了电和磁，也统一了光学与电磁学．然而，如果麦克斯韦理论是正确的，它与伽利略变换是不相容的。在伽利略变换下，

$$
\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{v} t, \quad t^{\prime}=t,
$$

如果一个场 $\Psi$ 在参考系 $\left(t^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$ 中满足波动方程

$$
\left(\sum_i \frac{\partial^2}{\partial x_i^{\prime 2}}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^{\prime 2}}\right) \Psi=0
$$

则在参考系 $(t, \boldsymbol{x})$ 中，其运动方程为

$$
\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}

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